毕业设计论文-有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论文
嘉应学院
本科毕业论文（设计）
（2014届）
题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会
学号：101010100
学院：数学学院
专业：数学与应用数学
指导老师：许鸿儒
申请学位：学士学位
嘉应学院教务处制
摘要
在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。
关键词：有理数域, 可约, 因式分解
Abstract
In polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements.
Key words： rational number field, reducible, factorization
目录
1 有理数域上的多项式基本内容 (i)
1.1 多项式因式分解的基本概念 (1)
1.2 本原多项式 (2)
1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 (5)
2 多项式的有理根及因式分解 (7)
2.1多项式在有理数域上的性质 (7)
2.2多项式有理根的判定 (8)
2.3多项式有理根的求法及因式分解 (10)
2.4因式分解的特殊解法 (12)
参考文献................................................... 错误！未定义书签。
1
1 有理数域上的多项式基本内容
1.1 多项式因式分解的基本概念
在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：5
315?=；在此基础上，通过
类比,我们得到因式分解的一般定义：
定义 1.1.1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论。 例1 分解44
-x 的因式
在有理数域中，它的分解式是：
)
2)(2(2
2
-+x
x
，分解到这里就不能再继续分解，不
然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中,它的分解式是：
)
2)(2)(2(2
-++x x x
，分解到这里，就不能再继续分解。在复数域中，它的分解式：
)
2)(2)(2)(2(i x i x x x -
+
-
+。由此可见，对多项式的分解，必须先明确系数的数域，
再理解其不能再分的含义。
所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。
定义1.1.2 给定[]X F 的任何一个多项式
)
(x f ， 对于F 中的任何一个不为零的元素
c
。c 是
)
(x f 的因式。c
)
(x f 也是
)
(x f 的因式，我们把)
(x f 的这样的因式叫作它的平
凡因式，任何一个零次多项式显然只有平凡因式。一个次数大于零的多项式可能只有平凡因式，也可能还有其它因式（非平凡因式或真因式）。 例2。设2
)3)(2(3)(),1(2)( ++-=-=x x x g x x f
由定义可以知道
)
(x f 只有平凡因式，()x g 有非平凡因式
因此，我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非平凡因式的积来考虑的。
2
1.2 本原多项式
定义1.2.1 若是一个整系数多项式
)
(x f 系数互素，那么
)
(x f 叫作一个本原多项式。
引理1.2.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。
证 设给了两个本原多项式
m
m i
i x
a x a x a a x f +++=10)(
n
n j
j x
b x b x b b x g ++++= 10)(
并且
n
m n m j
i j i x
c x
c x c c x g x f ++++++++= 10)()(
如果
)
()(x g x f 不是本原多项式，那么一定存在一个素数
p
，它能整除所有系数
,10,c c ,…m n
c
+ , 由于)
(x f 和)(x g 都是本原多项式，所以p 不能整除
)
(x f 的所有系数，也
不能整除)(x g 所有系数。令a i 和b j 各是)
(x f 和)(x g 的第一个不能被p 整除的系数。我
们考察
)()(x g x f 的系数 j
c +i ,们有
1
11
10b a b
a b
a b
a b a c j i j i j
i j i j
i j
i +-++-++
++++++=
这等式的左端被p 整除。根据选择i a 和j b 的条件，所有系数10,-i a a 以及01
b b j -
都能被p 整除，因而等式右端除i
a j
b
这一项外，其它每一项也都能被p 整除。因此乘积i
a j
b
也必须被p 整除。但p 是一个素数，所以p 必须整除i a 或j b .这与假设矛盾。
设
)
(x f 是有理数域上的一个多项式。若是
)
(x f 的系数不全是整数，那么以
)
(x f 系数
分母的一个公倍数c 乘)
(x f ，就得到一个整系数多项式)
(x cf 。显然，多项式
)
(x f 与)
(x cf
在有理数域上同时可约或同时不可约。这样，在讨论有理数域上多项式的可约性时，只需讨论整系数多项式在有理数域上是否可约。
设
11
)(a x a x
a x
a x f n i n n
n ++++=-- 是有理系数多项式，选取适当的整数c 乘以
)
(x f ，总可以使)
(x cf
是整系数多项式，如果)
(x cf
的各项系数有公因式d ，可以提出来，
即)
()(x dg x cf
=，
)
()(x g c d x f =
，其中)(x g 是各项系数互质的整系数多项式。
3
例3
)
6155(15
25
223
2)(2
4
2
4
-+=
-
+=
x
x
x
x
x f ，这里 6
155)
(2
4
-+=x
x
x g 。
所以[]Q x 中的非零多项式，与[]Z x 中的本原多项式有紧密的联系。 定理1.2.1 设
()[]f x Q x ∈，且()0
f x ≠。则存在一个有理数0a ≠使()af x 是[]Z x 中本原多
项式。此外，如果有理数0
b
≠，使()b f x 也是本原多项式，则a b =±。
实际上，设
1
110
()...n
n n n f x a x a x a x a
--=++++，这里n a a a ,......
,10都是有理数且0
n a ≠。取整数c 使01,,......n ca ca ca 都是整数，并令01(,,......)
n d
ca ca ca =，则
01()......n
n ca ca ca c f x x
x d
d
d
d
=
++
+
便是[]Z x 中本原多项式。
此外，如果有理数,a b ，使
()()a f x g x =
，及()()b f x h x =都是本原多项式，则
()()
b g x h x a =
，因(),()g x h x 都是本原的，故b
a
必须是整数，并且没有素因子，从而
1
b a =±，
即a b =±。这表明，[]Q x 中非零多项式本质上唯一地对应一个本原多项式。 定义1.2.2 设
()[],d eg 1f x Z x f ∈≥。如果()
f x 在Z 上仅有平凡因式的分解，即不能分解
为[]Z x 中两个正次数多项式的积，则称()f x 为[]Z x 中不可约多项式。否则称()
f x 在[]Z x 上可
约(或可分解)。
例4 22x +是不可约的，而2
22
x
-在Z 上可约。
研究()
f x 在Z 上是否可约，显然只需考虑
()
f x 是本原多项式的情形。我们注意到，如
果
()
f x 在Z 上可分解，因Z Q
?，则它在Q 上当然是可约的。下面的结果表明，反过来的结
论也成立。 定理1.2.2 设()f x ∈[]x
Z 是本原多项式，如果
()
f x 在Q 上可约，则
()
f x 在Z 上也可约。
确切地说，设()()()
f x
g x
h x =，这里(),()[]g x h x Q x ∈，且deg ,deg
1g h ≥
，则存在有理数a 使
得：
1()()
()
f x a
g x
h x a =, 且
1(),
()[]
a g x h x Z x a
∈
4
事实上，由定理1.2.1知，存在有理数,a b ，使得1()()a g x g x =和1()()
b h x h x =都是
本原多项式。于是
11()()()
a b f x g x h x =
由引理1.2.1，11()()g x h x 是本原多项式，而()
f x 也是本原多项式，故a b 必须是整数，且没有素因子，即1a b =±。因此，()a
g x 和
1()
h x a
都是(本原的)整系数多项式，证毕。
因此，[]x Z 中的多项式在Z 上是否可约，与它在Q 上是否可约是一回事。 定理1.2.3 若是一个整系数n(n>0)次多项式
()
f x 在有理数域上可约，那么
()
f x 总可以分
解成次数都小于n 的两个整系数多项式的乘积。 证明： 设
)()()(21x g x g x f =
这里)(1x g 与)(2x g 都是有理数域上的次数小于n 的多项式。令)(1x g 的系数的公分母是1b .那么)(1x g =)
(11
x h b ,这里)(x h 是一个整系数多项式。又令)(x h 的系数的最大公因数
是1a 那么
)
()(11
11x f b a x g =
这里
1
1b a 是一个有理数而
)
(1x f 是一个本原多项式。同理，
)
()(22
22x f b a x g =
这里
2
2b a 是一个有理数而
)
(2x f 是一个本原多项式。于是
)
()()()()(21212
121x f x f s
r x f x f b b a a x f ==
其中r 与s 是互素的整数，并且0
>s
。由于
()
f x 是一个整系数多项式所以多项式
)(1x f )
(2x f 的每一系数与r 的乘积都必须被s 整除。但r 与s 互素，所以
)(1x f )
(2x f 的每一个系数必
5
须被s 整除，这就是说，s 是多项式)(1x f )
(2x f 的每系数的一个公因数。但
)(1x f )
(2x f 是一
个本原多项式，因此1=s
而
12()[()]()
f x r f x f x =
)(1x rf 和)(2x rf 显然各与)(1x g 和)(2x g 有相同的次数，这样，()f x 可以分解成次数都小于n
的两个整系数多项式的乘积。
1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法
由上一节知令
()
f x 是整数环上一个大于零次的多项式。如果
()
f x 在整数环上可约，即
存在整数环上次数都小于
()
f x 次数的多项式)(x
g , )(x
h ，使得
()
f x =)(x
g )
(x h ，那么()f x ，
)
(x g , )(x h 自然可以看成有理数域上的多项式，这表明
()
f x 在有理数域上是可约的。反过
来，如果()
f x 在有理数域上是可约的，那么
()
f x 在整数环上也一定可约。
判别一个整系数多项式是否不可约，是一件极其困难和复杂的事情。下面的结果，给出了多项式为不可约的一个充分条件，用处相当广泛。 定理 1.3.1 (艾森斯坦判别法)设1
110
()...n
n n n f x a x
a x
a x a --=++++是一个整系数多项
式，其中1n
>。如果存在一个素数p
，使得n a p 不能被整除，
|(0,1,2, (1)
i p a i n =-，
但20a p 不能被整除，在Z 上不可约(从而在Q 上也不可约)。 设有两个(非常数)整系数多项式：
1
110
()...k
k k k g x b x
b x
b x b --=++++
及
1
110
() (i)
i i i h x c x c x
c x c --=++++
使
()()()
f x
g x
h x =。因0
00
a b c =被p 整除，但不被2
p 整除，故0
b 与0
c 中恰有一个被p 整除，
无妨设0
|p c ， n
k i
a b c =又不被p 整除。故i c p 。现在可取最小的下标r 使r
a p
，显然0
r
≠，
又
1
010
...r
r r r a b c
b c
b c -=+++
6
因r c b p 0，而和式中其余项都被p 整除，故r
a p ，这与定理中条件矛盾，证毕。
例 2 多项式2
)(+=n
x
x f ，取素数 2
=p
显然 p 满足 Eisenstein 判别法的三个条件，
因而
()
f x 在有理数域上不可约。
7
2 多项式的有理根及因式分解
2.1多项式在有理数域上的性质
定理2.1.1 设()f x 为一个整系数多项式,且有一个奇数k 和一个偶数m 使得()
f k 和
()
f m 均
为奇数,则
()
f x 无整数根。
证明:(反证法)设
()
f x 有一个整数根
a
，则由因式定理知：
|
()x a f x -，即有
()()()
f x x a q x =-，其中()q x 为a
x -除
()
f x 的商式,由于a
x -为整系数多项式,所以()q x 也
为整系数多项式,所以由()f m 为奇数得()()()m q a m
m f -=为奇数,所以a
m -为奇数，又因为
m
为偶数，所以a 为奇数;而由
()
f k 为奇数得()()()k q a k k f -=为奇数,即有a
k -为奇数，
又因为k 为奇数,所以a 为偶数,这样a 即为奇数又为偶数,显然矛盾,所以()f x 无整数根。 推论 2.1.1 设
()
f x 为一个整系数多项式,且()f x 有一个整数根,若存在奇数k 使得
()
f k 为
奇数,则对任意偶数,()
m f m 必为偶数。
推论2.1.2 设
()
f x 为一个整系数多项式,且
()
f x 有一个整数根,若存在偶数m 使得
()
f m 为
奇数,则对任意奇数,()
k f k 必为偶数。
定理 2.1.2 设1
11()...n
n n n
f x x a x
a x a --=++++为整系数多项式,若
()1
f x +有n 个两两不同
的整数根,则
()
f x 在有理数域Q 上不可约。
证明: (反证法) 设
()1
f x +的
n
个两两不同的整数根为
12,,...,,
n c c c 则有()1i f c +，
()1(1,2,...)
i f c i n =-=。再设
()
f x 在有理数域Q 上不是不可约多项式,因为d eg
()1,
f x n =>所
以
()
f x 在有理数域Q 上可约,也即是
()
f x 在整数环Z 上可约,所以存在整系数多项()h x 和
()
g x ，使得 ()()()
f x h x
g x =其中d e g ()
d e g ()h x f x n
>=，d e g
()d e g ()g x f x n
<=。所以
d eg (()())h x g x n
+<,所以由()1i f c =-,得()()1i i h c g c =-，因此()()0(1,2,...,)
i i h c g c i n +
==，
8
所以()()0
h x g x +
=,即有2
()
(),()(),
g x h x f x h x =-=-所以
()
f x 首项系数为负数与
()
f x 首项
系数为1矛盾，所以()
f x 在有理数域Q 上不可约。
2.2多项式有理根的判定
存在性的判定通常可以用常数项的所有因数逐个地代入多项式去验证,但当常数项较大,因数较多,多项式的次数较高时,计算量之大,没有计算机的帮助是很难实现的. 如果先判别多项式的不可约,或者将多项式分解成几个多项式的积后再作判断. 这在理论上是可行的,但实际要将一个多项式分解因式时却不是一件容易的事情. 所以,研究整系数多项式有理根的存在性问题,还是从系数开始。 引理2.2.1 设
(),()
f x
g x 是整系数多项式，且()g x 是本原的。如果
()()()
f x
g x
h x =，其中
()
h x 是有理系数多项式，那么()h x 一定是整系数的。
定理2.2.1 设
()n
n i
i i f x a x
-==
∑
是一个整系数多项式，若有素数p 和正整数2m ≥使得
(1) 0
a 不能被p 整除
(2) 1m m n n a p a p -能被整除，但不能被整除； (3) (i) 当m n
≤时，|,1,2,...,1m k
n k p a k m --=-。且12|,,...,n m
p a a a -；
(ii) 当(1)1
sn
m s n ≥>-+，s 为正整数时，|,1,2,...,1
m k
n k p
a k n --=- (注：当1s =时 ，
此时与(i)相同) ，那么 ()
f x 无有理根 。
证明：
当m n ≤时，假设多项式()
f x 存在有理根r
s
，(,)
1
r s =，则在有理数域上()|()
r x f x s
-
从
而()|
()
sx r f x -。因为,r s 互素，所以s x r -是一个本原多项式，根据上述引理知
1
2
0121()()(...)
n n n n f x sx r b x b x
b x b ----=-++++式中0121,,...,,n n b b b b --都是整数，比较两边系数，
即得
9
00110221111222
223112
1..................
.............................n m n m n m n m n m n m n n n n n n n n
s b a s b a r b s b a r b s b a r b s b a r b s b a r b s b a r b r b a -+-+-+-+-+-+-------=??=+??=+???=+??=+???=+??=+?=-??
（1）
因为p 是素数，且|n
p a ，由（1）知
1
|n p rb -，所以 |p r 或
1|n p b -，
同时，因为00
p a s b =，所以 p s
且 0
p b 。
如果|p r
，那么由 1
|n m p a -+，及 (1)中1
1n m n m n m
sb a rb -+-+-=+，所以1
|n m p
sb -+ 。
即
1
|n m p b -+，故
2
1
|n m p
r b -+。
又因为
2
2
|n m p
a -+及 222
n m n m n m sb a rb -+-+-+=+，所以2
2
|n m p sb -+，即2
2
|n m p b -+。
由m n ≤，依次类推，即得 2
2
|m m p
b --，所以
1
2
|m m p
rb -- 。
又因为1
1
|m n p
a --及 1
12
n n n sb a rb ---=+ ,所以1
1
|m n p sb --,即
1
1|m n p
b -- ,
所以1|m n n
p r b a -=-,故
m n
p a =。与m n p a 矛盾。必有p r
，则
1|n p b -。
由于
1
|n p a - 及由 (1)式中 211n n n rb sb a ---=-，所以
2
|n p rb -，但p r ，必有 2|n p b -。
由(1)式依次类推知
1|p b 。
由1|p a 及110sb a rb =+，得0
|p rb 。又由前面所述知0
|p b 且p r ，p 为素数。
则
p r 。矛盾,故
()
f x 无有理根。 当(1)1,sn m s n s
≥>-+是正整数且1
s >时， (因为1s =的情况为上述所证明)。此时，
在
()
f x 中，令x =
1
s p
y
-，得
1
()()
s f x f p y -=
10
(1)(1)(1)
1
1
011...s n
n
s n n s n n a p
y a p
y
a p
y a ------=++++
(1)1
(1)1101
(1)(1)
(1)[...]()
n
s n
n
n n m
n s s n s n
a a a p
a y
y
y p
g y p
p
p
--------+
++
+
=
由定理的条件显然知，
()
g y 的系数(2)(1,2,...,)i s i
a i n p
-
=均为整数 因为
(
1)
1s n m s n s ≥
>-+，1
s >是正整数，且由定理的 (1) (2)知
p a ，
(1)2
(1)|
m s m n s n
a p p
----，但
()(2)2
2m s m n s n
a p
p
----
又由定理中 (3) (ii)知
(1)1
(1)(1)
|
m s n n s n a p
p
-----其中1,2,...i =，(1)1m s n --- 及
1122
(2)
(2)(1)
|,
,...,
n s s s n a a a p p
p
p
-----，同时(1)(1)m s n sn s n n --≤--=，由以上证明知()g y 无有
理根， 故
()
f x 无有理根。
推论2.2.1 设()
f x 为定理中的多项式 ，如果有一个素数p ，使
(1)0
p a ；或 t
m m t a p
a p t t
,,,|,|01
0<+是正整数；
(2)12|,,...,n
n
p a a a ；
(3)
1
,,m n p
a m s n s
+≠是正整数 ,
那么，
()
f x 无有理根。由定理知推论显然成立 。
2.3多项式有理根的求法及因式分解
定理2.3.1设
11
1)(a x a x
a x
a x f n n n
n ++++=--
是一个整系数多项式．若
q
p 是f (x )的一个有理根，这里(p ，q )=1，则
(1)0|a p ，n
a q
|；
11
(2)
∈-
=)(),
()()(x g x g q
p x x f ()Z
x
证 因为q
p 是()
f
x 的一个有理根，所以qx
p
-是()
f
x 的一次因式，故
()()()f
x q x p h x =-
由(),1p q =知道qx p
-
是本原多项式，所以由引理2.2.1知道()h x ∈ ()Z x .于是设
12
21
1)(b x b x
b x
b x h n n n n ++++=---- ，
因此
)
()()()(01
pb x
qb
x h p qx x f n
n -++=-=- 。
比较两边系数，得
01
,
pb a qb
a n n -==-，
故
|,
|a p a q n 。
又
=)(x f )
()())()(()()(x g q
p x x qh q
p x x h p qx -
=-
=-，
其中[]x Z x qh x ∈=)()(g
定理2 .3.1给出了求整系数多项式有理根的一种方法．设()f x 的首项系数n a 的因数为
s
j q j ,,2,1, =，常数项0a 的因数是t
i
p i ,,2,1, =，
则()f x 的有理根只可能是
j
i q
p 。为求得有理根，可对j
i q
p 逐个用综合除法进行试验。
当
j
i q
p 个数较多，逐个试验比较麻烦时，还可考虑如下事实。
若c 是()f x 的一个根, 则()()()f x x c q x =-,()[]q x Z x ∈ .因此
)
1(1)1(),1(1)1(--=+-=-q c
f q c
f
关于因式分解的论文
初中数学因式分解常用的方法与技巧 阿舍中学曹金凤 【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法 【关键词】多项式因式分解应用 因式分解是中国数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地初中数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 一、多项式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。 二、多项式因式分解的方法 （一）提公因式法 定义：把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两 因式相乘的形式叫提公因数法。 提公因式法基本步骤 1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； 2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式 除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
例1 ()c b a m cm bm am ++=++； ()()()()()()()()b a y x y x b y x a x y b y x a x y b y x a --=---=-+-=-+- （二）运用公式法 运用公式分解因式，就是把一些形如公式的多项式按公式的形式分解成几个 因式的乘积的形式的方法。 平方差公式：()()b a b a b a -+=-2 2； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； 注：(1)首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，同号正，异号负 （2）公式法的关键是寻找首尾项，符号同中央。 （3）分解因式一定要彻底。 例2 分解因式 2 2 2 222 2 22 222 22)( )2()5()2( ) 44-)4()34()3() )(2( ) )(()2() 32)(32(14)(4))(5(44)4(9 2416)3()())(2(9 4)1(m n m n m y x y xy x x q p q p x q x p x q x p x x x m n m m n m y xy x x x q x p x x -=-+=--=+-=+=-++=--++++=-+=++-+-+-+++-+-原式（原式原式原式）原式解（ (三)提公因式法与公式法的混合应用 当题目要因式分解时，首先要先考虑有没有公因式，有公因式要先提公因式，在考虑运用公式。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
因式分解16种方法
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
毕业论文数学系因式分解
XXX大学 本科生毕业论文 题目 ________________ 浅析因式分解 _____________ 院系： _______________ XXX学院________________ 专业： _________________ 数学 __________________ 学生姓名： _____________________________________ 学号： __________________ 01612 _______________ 指导教师： ____________ 初教授__________________ 二?一九年六月
课题来源： 教师提供。 课题研究的目的和意义： 中学代数式的问题，可以概括为四大类：计算、求值、化简、论证。解代数式问题的关键是通过代数运算，把代数作恒等变形。代数式恒等变形的重要手段之一是因式分解，它贯穿、渗透在各种代数式问题之中。 因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。所以因式分解是中学代数教材的一个重要内容，它具有广泛的基础知识的功能。 由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解 的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点。 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 现查阅到的国内参考文献【1—11】中作者对因式分解都有一些思考和归纳总结，但都没有进行深入的研究，没有比较全面系统的探讨。 在所查到的国外参考文献中，对因式分解都做了介绍，也给出了相关的例题说明，但未作深入系统的研究。
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
因式分解的思考方法(论文)
31理化之窗摘要：因式分解是中学数学的重要内容之一，思想、内容和方法贯穿于整个中学数学教学之中。因此，在中学数学教学中这部分内容应使每个学生切实掌握好。本文谈谈中学数学中的因式分解方法。关键词：因式分解公因式公式分组在初中数学思维训练中，因式分解的试题以及相关联的试题屡见不鲜，对因式分解掌握的程度直接影响分式、方程等知识的训练，因此学好因式分解是十分必要的。关于因式分解的基本方法，数学教材作过专门介绍，这里只介绍几种典型的常用方法与技巧。1．首先看多项式的各项是否有公因式可取，若有，先提取公因式。2．然后看是否可用公式。（公式有平方差公式，完全平方公式）3．若上述方法都不能奏效，则应考虑用分组分解法分解因式。步骤：（1）提公因式法基本步骤：①第一步找公因式，可按照确定公因式的方法先确定系数，当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，再确定字母，字母取各项的相同的字母，最后确定指数，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“－”号时，多项式的各项都要变号。②第二步提公因式，并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别去除原多项式的每一项，所得到商的和作为另一个因式。③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。如：－am＋bm＋cm ＝－m （a－b－c ）；再如：a （x－y ）＋b （y－x ）＝a （x－y ）－b （x－y ）＝（x－y ）（a－b ）。（2）公式法基本步骤：平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b ）（a－b ）；完全平方公式：a 2±2ab＋b 2＝（a±b ）2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。如：x 2－4xy＋（2y ）2＝（x－2y ）2再如：（x＋y ）2＋2（x＋y ）（a－b ）＋（a－b ）2＝［（x＋y ）＋（a－b ）］2＝（x＋y＋a－b ）2（3）分组分解法：能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。（当然还有五项或以上的分法，这就不一一分析了。）比如：ax＋ay＋bx＋by ＝a （x＋y ）＋b （x＋y ）＝（a＋b ）（x＋y ）我们把ax 和ay 分一组，bx 和by 分一组， 利用分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做：ax＋ay＋bx＋by ＝x （a＋b ）＋y （a＋b ）＝（a＋b ）（x＋y ） 当然有时提取公因式法，公式法， 分组分解法等三种方法还要综合运用：请看实例：例1：分解因式：（1）4a 3－24a 2y＋36ay 2；（2）9ay 2＋9by 2－4a－4b 分析研究：（1）容易看出有公因式4a 可提取，且提取公因式后，可用公式法分解因式。4a 3－24a 2y＋36ay 2；＝4a （a 2－6ay＋9y 2）（提取公因式）＝4a （a－3y ）2（运用公式）（2）在此，既无公因数可提取，又不能运用公式，因此应该考虑用分组法分解因式。9ay 2＋9by 2－4a－4b ＝（9ay 2＋9by 2）－（4a＋4b ）（分组）＝9y 2（a＋b ）－4（a＋b ）（提取公因式）＝（a＋b ）（9y 2－4）（再提取公因式）＝（a＋b ）（3y＋2）（3y－2）（运用平方差公式）例2：分解因式：（1）a 2－a 2b－ab 2－b 2＝（a 2－b 2）－（a 2b +ab 2）（分组）＝（a＋b ）（a－b ）－ab （a +b ）（运用公式和提取公因式）＝（a＋b ）（a－b－ab ）（再提取公因式） 而且，有时会因为用的方法顺序不同而有不同的结果： 比如：81x 4－36 解法（一）：81x 4－36＝9（9x 4－4）（提取公因式）＝9（3x 2＋2）（3x 2－2）（运用平方差公式）＝9（3x 2＋2）（3x＋2）（3x－2）（再运用平方差公式） 解法（二）：81x 4－36 ＝（9x 2 ＋6）（9x 2－6）（运用平方差公式） ＝3（3x 2＋2）（3x＋6）（3x－6）（再提取公因式和再运用平方差公 式） 这两种解法对吗？是两种不同的结果。但这两种解法都是对的，结果也对，都成功地解决了问题， 说明只要方法正确，结果不一定相 同。正确运用方法时，要坚持已见。小结：（1）分解因式的思维规律是：提取公因式法———运用公式法———分组分解法。（2）分组应遵循的原则是：首先是分组后的每一组能用 基本方法分解因式；最后就是每一组分解因式后，各组之间又可用基本方法分解因式。【参考文献】 《中学生理科》（广西师范大学出版） 《中学数学教学参考书》（人民教育出版社）（作者地址：广西陆川县乌石 镇初级中学）因式分解的思考方法 筲广西/谢方玲 教学全现 场
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4 b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
因式分解定理
§5 因式分解定理 §6 重因式 教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积 教学重点：不可约多项式 重因式 课时：4 教学方式：讲授式 教学内容： 一、不可约多项式 1、定义：数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为不可约多项式，如果)(x p 不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 低的多项式的乘积。 问：为什么一定要强调数域P 呢 例： 上不可分了 在复数域上不可分了在实数域上不可分了 在有理数域C i x i x x x R x x x Q x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=- 注：1、不可约多项式)(x p ，的因式只有非零常数c 与自身的非零常数倍。 2、)(x p 与任意多项式)(x f 之间的关系只可能有两种关系：或者)(|)(x f x p ，或者1))(),((=x f x p 。事实上，若)())(),((x d x f x p =，那么)(|)(x p x d ，所以1)(=x d 或者)()(x cp x d =。 2、重要性质（定理5）： （1）)()()()(),()()(],[)(),(,)(x g x p x f x p x g x f x p x P x g x f x p 或则若对不可约若∈? （2）{}s i x f x p x f x f x f x p x p i s ,,2,1,)()(),()()()(,)(21 ∈对某个则若不可约 二、因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式)(x f 均可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果)(x f 有两个分解式 )()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==
多项式
第二章 多项式 §2.1一元多项式的定义和运算 1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 222)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x f 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明： ! ) )...(1()1(! ) 1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n n ---=+---+--+ - §2.2 多项式的整除性 1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x 3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且 ()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g 4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式 ()() ()() ()(),121211 n k n k n k x x x x x x f ++++++=-++ 这里k 和n 都是非负整数．证明： ()()() .11|1 n k 1+++++-x x f x x k
《浅谈多项式因式分解的方法》
贵州师范大学求是学院本科期末论文（设计） 期末论文（设计）题目 《浅谈多项式因式分解的方法》 学生姓名：何娜 科任教师：龙伟锋 专业：数学与应用数学 年级： 2012级 学号： 122008011013 2015年 12 月 10 日
多项式因式分解的方法 摘要：在数学学习过程中以及上个学期的实习实践中（上初三的数学课），常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。 关键词：一元多项式，因式分解 多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个(n n ＞)0次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。多项式因式分解的方法很多，但具体到某一个多项式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率。所以我们要灵活掌握这些方法，这会为我们解题带来很多方便。 １ 求根法 （参见文献[]2）设多项式()x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式， 第一步 写出首项系数n a 的全部因数i v ，s i ,,2,1 =； 第二步 写出常数项0a 的全部因数j u ，t j ,2,1=； 第三步 用综合除法对j i u v 试验，确定()x f 的根； 第四步 写出()x f 的标准分解式。 例1 求()x f =251074234-+++x x x x 在有理数域上的因式分解式。 解 先把它转换成求()x f =251074234-+++x x x x 的有理根。 ()x f 的常数项和首项系数的全部因数分别为1±，2±与1±，2±，4±,则需要检验的有 理数为1±，2±，12±，14 ±. 由于()1-f =0，故-1是()x f 的根，且易知()x f =()() 2734123-+++x x x x .
因式分解常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。 即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m（a+b+c） 二、运用公式法? 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
F 面再补充两个常用的公式: ⑸a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ; (6)a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca); 例.已知a, b, c 是 ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2 则ABC 的形状是() A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 2 2 2 2 2 2 解：a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ，后两项都含有 b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之 间的联系。 式分解中常用的公式，例如： (1)(a+b)(a-b) = a 2 -b 2 ------- a (2)(a ±b)2 = a 2 ±2ab+b 2 ------- a ⑶(a+b)(a 2 -ab+b 2) =a 3+b 3 ⑷(a-b)(a 2+ab+b 2 ) = a 3 -b 3 2 -b 2 =(a+b)(a-b) ； 2 ±2ab+b 2 =(a ±b)2 ； a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )； a 3 _b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ). ab bc ca ,
因式分解的16种方法
因式分解の16種方法 因式分解沒有普遍の方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。 注意三原則 1 分解要徹底 2 最後結果只有小括弧 3 最後結果中多項式首項係數為正（例如：()1332--=+-x x x x ） 分解因式技巧 1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左邊必須是多項式；②分解因式の結果必須是以乘積の形式表示； ③每個因式必須是整式，且每個因式の次數都必須低於原來多項式の次數； ④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。 基本方法 ⑴提公因式法 各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。 如果一個多項式の各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積の形式，這種分解因式の方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是整數時，公因式の係數應取各項係數の最大公約數；字母取各項の相同の字母，而且各字母の指數取次數最低の；取相同の多項式，多項式の次數取最低の。 如果多項式の第一項是負の，一般要提出“-”號，使括弧內の第一項の係數成為正數。提出“-”號時，多項式の各項都要變號。 提公因式法基本步驟： （1）找出公因式； （2）提公因式並確定另一個因式： ①第一步找公因式可按照確定公因式の方法先確定係數在確定字母； ②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得の商即是提公因式後剩下の 一個因式，也可用公因式分別除去原多項式の每一項，求の剩下の另一個因式； ③提完公因式後，另一因式の項數與原多項式の項數相同。 口訣：找准公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把22a +21變成2(2a +4 1)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2 b a ±
特殊数域上的多项式
1.7特殊数域上的多项式 1.分别在R 上与C 上分解因式: (1)4 5x -; (2)3 2 423x x x +-- 在R 上: 42225((x x x x x x -=+=++ 在C 上:425(()()(x x x x x x x x -=++=++ (2) 在R 上与在C 上都有:3 2 4231()(x x x x x x +--=-+ + 2.已知多项式329609232()f x x x x =---有一个二重根,求()f x 的所有根. 2271209294632()()()f x x x x x '=--=-+,易知32x +是()f x 的因式,所以是 ()f x 的二重因式.,所以2328()()()f x x x =+- 3.求下列多项式的有理根. (1)32 61514x x x -+-; (2) 32 4761x x x --- (3) 5432 614113x x x x x +---- 3 2 2 61514247()()x x x x x x -+-=--+,有理根为2 (2) 3 2 2 47614121()()x x x x x x ---=+--,有理根为14 - ; (3) 5 4 3 2 4 61411313()()x x x x x x x +----=+-;有理根为四重根1-,单根3; (4) 4 3243211 65421210822 ()x x x x x x x x + -++=+-++ 3121682()()x x x = +-+,有理根为12 - 5.判断下列多项式在有理数域是否可约. (1)4 3 2 8122x x x +++;
多项式因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。” 几道例题 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． （分解因式的过程也可以参看右图。） 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y 互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三条边， ∴a＋2b＋c＞0． ∴a－c＝0， 即a＝c，△ABC为等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
毕业设计论文-有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论文
嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2014届） 题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会 学号：101010100 学院：数学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：许鸿儒 申请学位：学士学位 嘉应学院教务处制
摘要 在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。 关键词：有理数域, 可约, 因式分解
Abstract In polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements. Key words： rational number field, reducible, factorization
目录 1 有理数域上的多项式基本内容 (i) 1.1 多项式因式分解的基本概念 (1) 1.2 本原多项式 (2) 1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 (5) 2 多项式的有理根及因式分解 (7) 2.1多项式在有理数域上的性质 (7) 2.2多项式有理根的判定 (8) 2.3多项式有理根的求法及因式分解 (10) 2.4因式分解的特殊解法 (12) 参考文献................................................... 错误！未定义书签。
因式分解的十二种方法 因式分解的方法顺口溜
因式分解的十二种方法因式分解的方法顺 口溜 因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x3-2x2-x (2003淮安市中考题) x3 -2x2 -x=x(x2 -2x -1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 + 4ab + 4b2 (2003南通市中考题) 解：a 2 + 4ab +4b2 =（a+2b）2 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m 2 + 5n - mn - 5m 解：m 2 + 5n - mn - 5m= m2 - 5m - mn + 5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)
4、十字相乘法 对于mx 2 +px+q形式的多项式，如果a ×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x 2 -19x-6 分析： 1 - 3 7 2 2 - 21=-19 解：7x 2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x 2 +3x-40 33解 x 2 +3x - 40=x 2 + 3x + ( 2) 2 - ( 2 ) 2 -40 313=(x + 2 ) 2 - ( 2 ) 2 313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 ) =(x+8)(x-5) [1**********]注：( ) 2 + ==( ) 2=( ) 2 244422 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c – a + a +b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
对称式和轮换对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式. 二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解. 对称式的因式分解 在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式. 例7分解因式x4+(x+y)4+y4 分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解. 解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. ∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4 =2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2 =2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2] =2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2, 例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b). 此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方
便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为 f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0. 因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式). 如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上 f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2). 证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 若f(a)=0,则 f(x)=f(x)-f(a) =(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0) =(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
有理数域的认识
对有理数域的认识 1.有理数的认识 数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比（ratio），通常写作a/b，故又称作分数。希腊文称为λογο?，原意为“成比例的数”（rational number），但并非中文翻译不恰当。 有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国明代传入日本时，出现错误。 明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（即“logos”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。 当有理数从日本传回中国时又延续错误。 清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数” 和“无理数”的说法 可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。 不是有理数的实数遂称为无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。 定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。除了无限不循环小数以外的实数统称有理数（rational number）。整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。 分类：有理数可分为整数和分数。 也可分为三种：一；正数，二；0，三；负数。 以下都是有理数： (1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。 (2）分数包含了：正分数、负分数统称为分数。
趣味探究有理数域(系)构成与扩充
趣味探究小学数学中数域（系）的构成与扩充世界是什么？有人说是水，有人说是气，我记得曾经有一位希腊的数学家毕达哥拉斯认为世界是“数”，虽然这个说法多少有些牵强，但在数学研究中“数系”绝对是基础的基础。作为研究数量关系的起点，我们有责任将它把握清晰，作为一名小学数学教师，我更有责任将它趣味性的呈现给学生。 一、“有理数”名字的由来，有理数集的构成。 小学数学中研究的数指有理数，课本上没有刻意强调它的名字，但是要探究数系的构成和扩充，必须先从名字谈起，这样就可以在茫茫数域中找准它的位置，我们今天要探究的就是有理数集的构成和扩充过程，对了，我们还提到了“趣味”，那就必须从一个真实的故事谈起，有理数的名字其实来自于与它相对的“无理数”，从名字上可以这样说：先有无理数，后有有理数，这个故事是就是有关无理数，无理数顾名思义，无理、蛮横。上文中提到了希腊著名数学家毕达哥拉斯，他有一位学生叫希帕索斯，希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。毕氏本应接受这新数源。然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑
推理推翻希帕索斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。鲁迅先生说：“悲剧就是将人生极有价值的东西，毁灭给人看”。当人们渐渐明白除了他们所认识的数字0、自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但是也真实地记录了毕达哥拉斯学派中的学阀的蛮横无理。表面上枯燥乏味的数学知识，其实背后的故事也是血泪斑斑，可歌可泣，数学绝对不仅仅是一些公式、定理、符号的记录，它还是人与人、人与自然的斗争史。 小学数学范围内主要要研究是的“有理数”，它包括整数和分数，下面是有理数分类的图解： 我们通常说的自然数是正整数和零的统称，即像0、1、2、3、4…的数是自然数。正数前面加上负号就是负数，例如-1、-2、-3、-4…。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫分数，例如、、…。小学数学中小数的比例占的也比较多，但是因为分数