【学案】人教版高中数学必修四 任意角(解析版)

1.1.1任意角
一、重点难点解读
知识点一任意角的概念
要点1角的概念
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
要点2角的分类
(1)正角：按逆时针方向旋转形成的角；
(2)负角：按顺时针方向旋转形成的角；
(3)零角：射线没有作任何旋转形成一个零角．
知识点二终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
温馨提示终边相同的角的通式表达形式不唯一，我们可利用图形来验证它们的等效性，如α＝k·180°＋90°与β＝k·180°－90°都表示终边在y轴上的所有角．
知识点三象限角、轴线角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在第几象限就称为第几象限角．若终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何象限．称为轴线角．
二、常考题型归类
题型一任意角的概念
例1(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()
A．A＝B＝C B．A⊆C
C．A⊂C＝B D．B∪C⊆C
(2)在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；
②钝角一定大于锐角；
③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；
④小于90°的角都是锐角．
其中错误说法的序号为________．
解析：(1)第一象限角可表示为k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°，由三者之间的关系可知B ∪C ⊆C .
(2)①时针经过两个小时，时针按顺时针方向旋转
60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．
②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．
③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．
④锐角θ的取值范围是0°<θ<90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确． 答案：(1)D (2)①③④
例2 一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少？按顺时针方向旋转三周后又是多少？
【解析】 终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为360°×3＝1 080°.再加这一角原本是30°，所以按逆时针旋转后的角度数是1 110°.同理按顺时针方向旋转三周后的角度是：－3×360°＋30°＝－1 050°.
变式题1 钟表经过30分钟，时针转了多少度？分针转了多少度？
解：钟表经过30分钟，时针按顺时针方向转了30×360°12×60
＝15°，表示－15°； 分针也按顺时针方向转了30×360°60
＝180°，表示－180°. 题型二 终边相同的角
例1 已知α＝－1 190°.
(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z ，0°≤β≤360°)的形式；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
解：(1)因为－1 190°÷360°＝－6余250°，
所以－1 190°＝－6×360°＋250°.
(2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z)，
因为－720°≤θ＜0°，
所以－720°≤250°＋k ·360°＜0°，
即－9736≤k ＜－2536
， 因为k ∈Z ，所以k ＝－1或－2.
即250°＋(－1)·360°＝－110°，
250°＋(－2)·360°＝－470°.
例2（1）求终边落在直线y ＝－x 上的角的集合．
(2)终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？
【解析】 （1）终边落在直线y ＝－x 上的角分为两种情况：
①若终边落在第二象限的角平分线上时，{α|α＝135°＋k·360°，k ∈Z }；
②若终边落在第四象限的角平分线上时，{β|β＝315°＋k·360°，k ∈Z }．
综合①②可得终边落在y ＝－x 上的角的集合为{φ|φ＝135°＋k·180°，k ∈Z }．
（2）答案 {β|β＝45°＋n×180°，n ∈Z }
例3 求下列轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合：
(1)终边落在x 轴的正半轴上： _________________________
终边落在x 轴的负半轴上：____________________________
终边落在x 轴上：____________________________________
(2)终边落在y 轴的正半轴上：_________________________
终边落在y 轴的负半轴上：____________________________
终边落在y 轴上：___________________________________
(3)终边落在坐标轴上：________________________________
【答案】 (1){x|x ＝k·360°，k ∈Z }
{x|x ＝k·360°＋180°，k ∈Z }
{x|x ＝k·180°，k ∈Z }
(2){x|x ＝k·360°＋90°，k ∈Z }
{x|x ＝k·360°－90°，k ∈Z }
{x|x ＝k·180°＋90°，k ∈Z }
(3){x|x ＝k·90°，k ∈Z }
变式题1 (1)与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A ．{α|α＝457°＋k ·360°，k ∈Z}
B ．{α|α＝97°＋k ·360°，k ∈Z}
C ．{α|α＝263°＋k ·360°，k ∈Z}
D ．{α|α＝－263°＋k ·360°，k ∈Z}
(2)若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )
A ．120°＋k ·360°，k ∈Z
B ．120°＋k ·180°，k ∈Z
C ．240°＋k ·360°，k ∈Z
D ．240°＋k ·180°，k ∈Z
解析：(1)由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝263°＋k ·360°，k ∈Z}．
(2)角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，则α＝120°＋k ·180°，k ∈Z.选
B.
答案：(1)C (2)B
温馨提示：终边相同角常用的三个结论：
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
题型三 象限角与区间角的表示
例1 （1）如果α是第三象限角，那么－α，α2
，2α的终边在第几象限？ 【思路分析】 本题给出一角的范围，确定与其有关的角的范围，应用不等式表示该角，再进行运算．
【解析】 ∵α是第三象限角，
∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k ∈Z .(*)
∴－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°.
∴－α为第二象限角．
又由(*)得k·180°＋90°<α2
<k·180°＋135°，(k ∈Z )． ∴k 为偶数时，α2
是第二象限角， k 为奇数时，α2
是第四象限角． 又由(*)得k·720°＋360°<2α<k·720°＋540°.
即(2k ＋1)·360°<2α<(2k ＋1)·360°＋180°.
∴2α的终边在第一、二象限或y 轴的非负半轴上．
（2）如何表示各象限角的集合？
答案 第一象限：{x|k·360°<x<k·360°＋90°，k ∈Z }．
第二象限：{x|k·360°＋90°<x<k·360°＋180°，k ∈Z }．
第三象限：{x|k·360°＋180°<x<k·360°＋270°，k ∈Z }．
第四象限：{x|k·360°＋270°<x<k·360°＋360°，k ∈Z }．
温馨提示： (1)本例中判断α2
的象限时易忽视k 的值为奇、偶两种情况，判断2α的象限时易漏掉y 轴正半轴．
(2)已知角α所在的象限或它的终边位置，判断α2
的终边所在的位置常用八卦图法． 作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴把周角等分成8个区域，从x 轴的正半轴起，按逆时针方向把这8个区域，依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的两个区域，就
是α为第几象限角时，α2终边落在区域，α2
所在的象限就可以直观地看出了，如图所示． 例2 (1)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【解析】 ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋
45°＋k·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k·360°，k ∈Z }，
终边落在OB 位置上的角的集合为
{β|β＝－30°＋k·360°，k ∈Z }．
②由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]
之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为
{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k ∈Z }．
(2)已知角α的终边在如图所示的阴影区域内(包括边界)，试写出角α的集合．
【思路分析】 先写出终边在边界上的角的集合，再写出角α的集合．
【解析】 终边在l 1上的角的集合为
{β|β＝ k·180°＋30°，k ∈Z }，
终边在l 2上的角的集合为{β|β＝k·180°－45°，k ∈Z }＝{β|β＝k·180°＋135°，k ∈Z }，从而，所求角的集合为{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋135°，k ∈Z }．
例3 (1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，在0°≤α<360°范围内，找出下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
①－150°；②730°
(2)如图所示，分别写出符合下列条件的角的集合：
①终边落在射线OB 上；
②终边落在直线OA 上；
③终边落在阴影区域内(含边界)．
解：(1)①因为－150°＝－360°＋210°，
所以在0°≤α<360°范围内，终边与－150°相同的角是210°，它是第三象限角．
②因为730°＝2×360°＋10°，
所以在0°≤α<360°范围内，终边与730°相同的角是10°，它是第一象限角．
(2)①终边落在射线OB 上的角的集合为{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}．
②终边落在直线OA 上的角的集合为{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z}∪
{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝30°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝30°＋k ·180°，k ∈Z}．
③终边落在第一象限阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|30°＋k ·360°≤α≤60°＋k ·360°，k ∈Z}，
终边落在第三象限阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|210°＋k ·360°≤α≤240°＋k ·360°，k ∈Z}，
终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为：{α|30°＋k ·360°≤α≤60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{α|210°＋k ·360°≤α≤240°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|30°＋k ·180°≤α≤60°＋k ·180°，k ∈Z}． 变式题1 (变换条件)若将例3图中直线OA 改为虚线，其他条件不变，第(3)问的结果如何？
解：{a |30°＋k ·180°<α≤60°＋k ·180°，k ∈Z}．
变式题2 (改变问法)若α在例3(3)中第三象限阴影区域内，试画出角α2
的终边所在的阴影区域．
解：
变式题3 写出终边落在阴影部分的角的集合(如下图所示，不包括边界)．
【解析】 (1)选定OB ，在0°～360°间，把图中以OB 为终边的角看成180°，则以OA 为终边的角看成240°，则有
{α|180°＋k·360°<α<240°＋k·360°，k ∈Z }．
(2)选定OA ，在360°～720°间选定OB(若取0°～360°，则无法表示出以OB 为终边的角)，把图中以OA 为终边的角看成315°，则以OB 为终边的角看成405°，则有
{α|315°＋k·360°<α<405°＋k·360°，k ∈Z }．
或选定OB，在－180°～180°间，把图中以OB为终边的角看成45°，则以OA为终边的角看成－45°，则有
{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．
(3)选定OA，在－180°～180°间，把图中以OA为终边的角看成－60°，则以OB为终边的角看成150°，则有
{α|－60°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}．
(4)把图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转180°得到的，则有{α|120°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}．
讲评此题(2)易错为{α|k·360°＋315°<α<k·360°＋45°，k∈Z}．原因是角的终边表示错误．故以OA为终边的角写成－45°，以OB为终边的角写成45°，则有{α|k·360°－45°<α<k·360°＋45°，k∈Z}或以OA为终边的角写成315°，OB为终边的角写成405°，即有{α|315°＋k·360°<α<405°＋k·360°，k∈Z}．
三、课后强化训练
A级基础巩固
一、选择题
1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是() A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A C D．A＝B＝C
解析：钝角大于90°，小于180°，故B C，选项B正确．
答案：B
2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．既是第三象限角，又是第四象限角
D．不是任何象限的角
解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．
答案：D
3．若α是第四象限角，则－α一定在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：因为α是第四象限角，
所以k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z.
所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，
由此可知－α是第一象限角．
答案：A
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
答案：D
5．下面说法正确的个数为()
(1)第二象限角大于第一象限角；
(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
(3)钝角是第二象限角．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．
答案：B
二、填空题
6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.
答案：－1 030°
7．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．
解析：α为锐角，则角α是第一象限角，
所以角－α是第四象限角，
又因为角－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，
所以角－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．
答案：四
8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.
答案：120°，300°
三、解答题
9.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出
－950°12′是否是该集合中的角．
解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，
所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，
因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，
所以－950°12′不是该集合中的角．
10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．
解：(1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．
(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，
取k＝－1，得β＝－120°，
取k＝0，得β＝60°，
取k＝1，得β＝240°，
取k＝2，得β＝420°，
取k＝3，得β＝600°.
所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.
B 级 能力提升
1．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z}，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B 等于( )
A ．{－36°，54°}
B ．{－126°，144°}
C ．{－126°，－36°，54°，144°}
D ．{－126°，54°}
解析：令k ＝－1，0，1，2，则A ，B 的公共元素有－126°，－36°，54°，144°. 答案：C
2．如图，终边落在OA 的位置上的角的集合是________；终边落在OB 的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________．
解析：终边落在OA 的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB
的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k ·360°，k ∈Z}(或{α|α＝－45°＋k ·360°，k ∈Z})，取k ＝0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．
答案：{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z} {－45°，315°}
3．已知角α的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M 有几类终边不相同的角？
(2)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．
解：(1)集合M 的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
(2)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113
， 又因为k ∈Z ，
所以k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，
所以集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330，－240°，－150，－60°，30°，120°，210°，300.
(3)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以β＝120°＋k ·360°，k ∈Z.。