【学案】人教版高中数学必修四 任意角(解析版)

1.1.1任意角

一、重点难点解读

知识点一任意角的概念

要点1角的概念

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

要点2角的分类

(1)正角：按逆时针方向旋转形成的角；

(2)负角：按顺时针方向旋转形成的角；

(3)零角：射线没有作任何旋转形成一个零角．

知识点二终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

温馨提示终边相同的角的通式表达形式不唯一，我们可利用图形来验证它们的等效性，如α＝k·180°＋90°与β＝k·180°－90°都表示终边在y轴上的所有角．

知识点三象限角、轴线角

使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在第几象限就称为第几象限角．若终边落在坐标轴上，认为这个角不属于任何象限．称为轴线角．

二、常考题型归类

题型一任意角的概念

例1(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()

A．A＝B＝C B．A⊆C

C．A⊂C＝B D．B∪C⊆C

(2)在下列说法中：

①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；

②钝角一定大于锐角；

③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；

④小于90°的角都是锐角．

其中错误说法的序号为________．

解析：(1)第一象限角可表示为k ·360°<α

(2)①时针经过两个小时，时针按顺时针方向旋转

60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．

②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．

③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．

④锐角θ的取值范围是0°<θ<90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确． 答案：(1)D (2)①③④

例2 一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少？按顺时针方向旋转三周后又是多少？

【解析】 终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为360°×3＝1 080°.再加这一角原本是30°，所以按逆时针旋转后的角度数是1 110°.同理按顺时针方向旋转三周后的角度是：－3×360°＋30°＝－1 050°.

变式题1 钟表经过30分钟，时针转了多少度？分针转了多少度？

解：钟表经过30分钟，时针按顺时针方向转了30×360°12×60

＝15°，表示－15°； 分针也按顺时针方向转了30×360°60

＝180°，表示－180°. 题型二 终边相同的角

例1 已知α＝－1 190°.

(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z ，0°≤β≤360°)的形式；

(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.

解：(1)因为－1 190°÷360°＝－6余250°，

所以－1 190°＝－6×360°＋250°.

(2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z)，

因为－720°≤θ＜0°，

所以－720°≤250°＋k ·360°＜0°，

即－9736≤k ＜－2536

， 因为k ∈Z ，所以k ＝－1或－2.

即250°＋(－1)·360°＝－110°，

250°＋(－2)·360°＝－470°.

例2（1）求终边落在直线y ＝－x 上的角的集合．

(2)终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？

【解析】 （1）终边落在直线y ＝－x 上的角分为两种情况：

①若终边落在第二象限的角平分线上时，{α|α＝135°＋k·360°，k ∈Z }；

②若终边落在第四象限的角平分线上时，{β|β＝315°＋k·360°，k ∈Z }．

综合①②可得终边落在y ＝－x 上的角的集合为{φ|φ＝135°＋k·180°，k ∈Z }．

（2）答案 {β|β＝45°＋n×180°，n ∈Z }

例3 求下列轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合：

(1)终边落在x 轴的正半轴上： _________________________

终边落在x 轴的负半轴上：____________________________

终边落在x 轴上：____________________________________

(2)终边落在y 轴的正半轴上：_________________________

终边落在y 轴的负半轴上：____________________________

终边落在y 轴上：___________________________________

(3)终边落在坐标轴上：________________________________

【答案】 (1){x|x ＝k·360°，k ∈Z }

{x|x ＝k·360°＋180°，k ∈Z }

{x|x ＝k·180°，k ∈Z }

(2){x|x ＝k·360°＋90°，k ∈Z }

{x|x ＝k·360°－90°，k ∈Z }

{x|x ＝k·180°＋90°，k ∈Z }

(3){x|x ＝k·90°，k ∈Z }

变式题1 (1)与－457°角的终边相同的角的集合是( )

A ．{α|α＝457°＋k ·360°，k ∈Z}

B ．{α|α＝97°＋k ·360°，k ∈Z}

C ．{α|α＝263°＋k ·360°，k ∈Z}

D ．{α|α＝－263°＋k ·360°，k ∈Z}

(2)若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )

A ．120°＋k ·360°，k ∈Z

B ．120°＋k ·180°，k ∈Z

C ．240°＋k ·360°，k ∈Z

D ．240°＋k ·180°，k ∈Z

解析：(1)由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝263°＋k ·360°，k ∈Z}．

(2)角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，则α＝120°＋k ·180°，k ∈Z.选

B.

答案：(1)C (2)B

温馨提示：终边相同角常用的三个结论：

(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；

(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；

(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．

题型三 象限角与区间角的表示

例1 （1）如果α是第三象限角，那么－α，α2

，2α的终边在第几象限？ 【思路分析】 本题给出一角的范围，确定与其有关的角的范围，应用不等式表示该角，再进行运算．

【解析】 ∵α是第三象限角，

∴k·360°＋180°<α

∴－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°.

∴－α为第二象限角．

又由(*)得k·180°＋90°<α2

是第二象限角， k 为奇数时，α2

是第四象限角． 又由(*)得k·720°＋360°<2α

即(2k ＋1)·360°<2α<(2k ＋1)·360°＋180°.

∴2α的终边在第一、二象限或y 轴的非负半轴上．

（2）如何表示各象限角的集合？