中北大学矩阵讲义1.3PPT课件

North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
二、 Jordan标准形的求法
Th6. A J I A I J Th7. 每个 n 阶复矩阵 A 都与一个 Jordan 标准形 J 相似，这个 Jordan 标准形在不计其中 Jordan 块的排 列次序时，完全由 A 唯一决定.
目录 上页 下页 返回 结束
因为 M 44 与 M12 互素,所以 D3 1,进而有
D2 D1 D0 1. 因此, I A 的不变因子为
d1 d2 d3 1,
d4 2 13 ,
初等因子为 2和 13 .所以A的标准形为
2 0 0 0 J 0 1 1 0
P ( , , , , , , ) 1
m1 m2 mi1 1
m1 m2 mi1 mi
n
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
为方便, 将编号
m1 m2 mi1 1, m1 m2 mi1 2, , m1 m2 mi1 mi
记为 1, 2, , mi 将 i 记为 并由 P1AP J
目录 上页 下页 返回 结束
去掉 I A的第 4 行第 4 列后的余子式 M 44 为
2 0 2
M44
det
6
1 4 1 2 2 20
10 0
同理可得
6 4 4
M12 det 10
4
2
32 28 40
7 7 2
North University of China
得 AP PJ ,从而
A( ,1, mi , ) ( ,1, mi , )J
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
A( ,1, mi , ) ( ,1, mi , )J
由此得
A1 1, A2 1 2,
Ami mi1 mi ,
即
I A1 0, I A2 1,
i 1
Ji ,其阶数为 mi ,对角线元素为 i ,这些 Jordan 块构成
一个 Jordan 标准形 J,经过计算可知,J 的全部初等因
子就是上式.
推论 8 . 复矩阵 A 可对角化的充要条件是 A 的特征 矩阵的初等因子全为一次的.
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
三、 可逆矩阵P的求法
若A J ,则必存在满秩方阵P使得 P1AP J . 在通常情况下,如果只需要找到标准形,则不必求P. 但若用Jordan标准形求解微分方程组,就少不了求P.
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
例2、求矩阵
2 0 2 1
A
6
1
10 0
4 0
4 4
的Jordan标准形.
7
0 7 2
解 矩阵A的特征多项式为
D4 det I A
2 0 2 1
det
6
1 4
4
2 13 ,
10 0 4
7
0
7 2
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
先分别求出子矩阵 A1 ，A2 的Jordan标准形. 由
I
A1
4
3
1
1
可知,A1的不变因子为d1 1, d2 12，
故初等因子为 12. 因此
1 1
A1
J1
0
1
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
再由
注：设n阶矩阵A的特征矩阵I A的初等因子
为(也称为矩阵A的初等因子)
1 m1 , 2 m2 , , t mt
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
其 中 1,2,
及 , t
m1, m2 ,
, mt 中 可 能 有 相 同 的 , 且
t
mi n ,每个初等因子 i mi 对应于一个 Jordan 块
0 0 1 1 0 0 0 1
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
例3 、求矩阵
3 1
A 4
1
2
1
的Jordan标准形.
1 0
解 将A写成分块形式
A
A1
A2
其中
3 1
A1
4
1
2 1
A2
1
0
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
下面介绍求P的一般方法.
设P为ｎ阶方阵,J的某个Jordan块 Ji 为 mi阶,其主对
角线元素为 i ,它们在J中的行数与列数分别为
m1 m2 mi1 1, m1 m2 mi1 2, , m1 m2 mi1 mi
记P的各个列向量分别为1,2, ,n ,则
1 2 6
例1、求矩阵 A 1 0 3 的Jordan标准形.
1 1 4
解 先求I A的初等因子.
1
I
A
1
1
2 1
6
3
4
1 0 0
0 1
0
0
0
12
因此, I A的初等因子为 1, 12，
1 0 0
矩阵A的Jordan标准形为 J 0
1
1
.
0 0 1
North University of China
I A mi . mi1
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
若记 H I A,以上各方程即为
H1 0, H2 1,
Hmi mi1 .
§1.3 Jordan标准形
一、 基本概念和定义
i 1
i
⑴
mi
阶
Jordan
块：形如
1
i
mi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱmi
的方阵
⑵Jordan标准形：由若干个Jordan块组成的分块对角阵
J1
J2
其中Ji i 1, 2, ,t 为 mi 阶Jordan块.
J
t
t
当 mi n时,称为ｎ阶Jordan标准形. i 1
2 1
I A2
1
可知, A2的不变因子为 d1 1, d2 1，2
故初等因子为 12. 因此
1 1
A2
J2
0
1
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
于是得到A的Jordan标准形为
1 1
J
J1
J
2
0
1
1 0
1 1