中北大学矩阵讲义1.3PPT课件
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矩阵论课件ppt
代数法
通过求解特征多项式来找到特征值， 然后求解相应的线性方程组找到特征 向量。
数值法
在数值计算中，可以使用数值方法来 计算特征值和特征向量，如Arnoldi 方法、Lanczos方法等。
CHAPTER 06
应用实例
在机器学习中的应用
线性分类器
特征提取
矩阵论中的线性代数原理在支持向量 机、逻辑回归等线性分类器中有重要 应用，用于构建分类模型。
02 03
详细描述
矩阵的加法与减法是基本的矩阵运算之一，其规则是将两个矩阵的对应 位置上的元素进行加法或减法运算。在进行加法或减法运算时，必须保 证两个矩阵的维度相同，否则无法进行运算。
总结词
矩阵的乘法是矩阵运算中的重要运算之一，其结果是一个新的矩阵。
矩阵的运算 矩阵的加法与减法
• 详细描述：矩阵的乘法需要满足一定的规则，即第一个矩阵的 列数必须等于第二个矩阵的行数。乘法的结果是一个新的矩阵 ，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数 。矩阵乘法的具体计算方法是对应元素相乘并求和，即第一个 矩阵的第i行第j列元素与第二个矩阵的第j行第k列元素的乘积之 和，作为新矩阵的第i行第k列元素的值。
矩阵的行变换
将矩阵的某一行乘以一个非零常数、与另一行交换、 或加上另一行的倍数。
矩阵的逆
一个矩阵的逆是其与原矩阵相乘为单位矩阵的唯一矩 阵。
线性方程组的解空间与基
01
解空间的定义
线性方程组的所有解构成的集合称 为解空间。
基的定义
线性无关的解向量的有限集，可以 生成整个解空间。
03
02
解空间的性质
解空间是一个向量空间，具有加法 和数乘封闭性。
矩阵的QR分解
矩阵讲义全
本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。
要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。
§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。
④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。
记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
大学数学矩阵ppt课件
，达到降维的目的。
矩阵运算过程
02
构建协方差矩阵，计算特征值和特征向量，选择主成分进行投
影。
应用场景
03
高维数据处理、数据可视化、异常检测等。
图像处理和计算机视觉中矩阵运算实例
图像处理基础
图像可以表示为矩阵，矩阵运算可用于图像处理的各种操作，如 滤波、变换等。
计算机视觉应用
矩阵运算在计算机视觉领域有广泛应用，如目标检测、图像分割等 任务中的特征提取和降维处理。
拓展延伸：广义逆矩阵、张量等概念简介
广义逆矩阵
介绍广义逆矩阵的概念、性质及其在解决实际问题中的应用，如最小二乘法等。
张量简介
引入张量的概念、性质及其在数学、物理和工程领域的应用，为学生提供更广阔的视野。
THANKS
感谢观看
适用于求解中小规模线性方程组，具有计算简单、直观易懂等优点。
矩阵求逆方法及性质讨论
要点一
矩阵求逆方法
包括伴随矩阵法、初等行变换法等，用于求解方阵的逆矩 阵。
要点二
逆矩阵性质讨论
探讨逆矩阵的唯一性、性质及其在线性方程组求解中的应 用。
线性方程组解存在性判定
齐次线性方程组解存在性 判定
利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关 系，判断齐次线性方程组是否有非零解。
具体实例
卷积神经网络中的卷积运算、图像压缩中的离散余弦变换等。
机器学习算法中优化问题转化为矩阵形式求解
机器学习优化问题
许多机器学习算法可以转化为优 化问题进行求解，如线性回归、
支持向量机等。
矩阵形式表示
优化问题可以表示为矩阵形式，便 于使用矩阵运算进行高效求解。
求解方法
常用的求解方法包括梯度下降法、 牛顿法等，这些方法可以通过矩阵 运算实现并行计算，提高求解效率 。
《矩阵分析》ppt课件
包括结合律、分配律、 数乘的结合律和分配律 等。
特殊矩阵类型介绍
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
对称矩阵
若一个方阵满足$A^T = A$， 则称该方阵为对称矩阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为零的方阵称为单位 矩阵。
反对称矩阵
牛顿法
利用矩阵微积分计算目标函数的二阶导数（海森矩阵），通过迭代 更新参数实现更快速地最小化目标函数。
最小二乘法
利用矩阵微积分求解线性方程组的解，实现数据拟合和回归分析等 任务。
矩阵级数展开式
矩阵幂级数展开
01
将矩阵函数表示为幂级数的形式，便于进行矩阵运算和求解矩
阵方程。
矩阵指数函数展开
02
将矩阵指数函数表示为级数形式，便于计算矩阵指数函数的值
03
CATALOGUE
特征值与特征向量问题
特征值和特征向量定义及性质
特征值和特征向量的 定义：对于n阶方阵A ，如果存在数λ和非零 n维列向量x，使得 Ax=λx，则称λ是A的 一个特征值，x是A的 对应于特征值λ的一个 特征向量。
特征值和特征向量的 性质
不同特征值对应的特 征向量线性无关。
特征值的和等于方阵 主对角线上元素的和 ，即迹。
解的唯一性条件
当系数矩阵A满秩（即r(A) = n）时，线性方程组有唯一解。
高斯消元法求解线性方程组原理步骤
高斯消元法步骤
从最后一个方程开始，逐个回代求解未知数列向量x 。
高斯消元法原理：通过初等行变换将系数矩阵 A化为上三角矩阵，然后回代求解未知数列向 量x。
对系数矩阵A和常数列向量b组成的增广矩阵 [A|b]进行初等行变换，将其化为上三角矩阵。
矩阵知识点完整归纳ppt课件
a31x a32 y a33z d3
a11 a12 a13
则其系数矩阵为A
a21
a22
a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13 d1
增广矩阵为
A
a21
a22
a23
d2
a31 a32 a33 d3
2
矩阵变换：
一、矩阵的基本概念
12、、矩元阵素：：矩矩形 阵数 中表 的， 每Am一n 表个示数m，行aij表n列示矩第阵i行 第j列的元素 34、、方单矩位阵矩：阵m：=aini 1其余元素均为0的方矩阵
1
二、矩阵变换与解方程组
a11x a12 y a13z d1 有方程组 a21x a22 y a23z d2
AE EA A A(B C) AB AC ( A B)C AC BC A(BC) ( AB)C AB BA
5
变换矩阵 几何意义
变换矩阵
几何意义
a 0 横坐标变为原来的a倍 cos sin 绕原点旋转角度θ
0
b
纵坐标变为原来的b倍
a11 a12 a13
A
a21
a22
a23
，则
A
a21
a22
a31 a32 a33
a31 a32 a33
4、矩阵与矩阵的乘法
Am p Bpn Cmn
4
运算法则：
AB B A
A A (A B) A B
a11 a12 a13
则其系数矩阵为A
a21
a22
a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13 d1
增广矩阵为
A
a21
a22
a23
d2
a31 a32 a33 d3
2
矩阵变换：
一、矩阵的基本概念
12、、矩元阵素：：矩矩形 阵数 中表 的， 每Am一n 表个示数m，行aij表n列示矩第阵i行 第j列的元素 34、、方单矩位阵矩：阵m：=aini 1其余元素均为0的方矩阵
1
二、矩阵变换与解方程组
a11x a12 y a13z d1 有方程组 a21x a22 y a23z d2
AE EA A A(B C) AB AC ( A B)C AC BC A(BC) ( AB)C AB BA
5
变换矩阵 几何意义
变换矩阵
几何意义
a 0 横坐标变为原来的a倍 cos sin 绕原点旋转角度θ
0
b
纵坐标变为原来的b倍
a11 a12 a13
A
a21
a22
a23
，则
A
a21
a22
a31 a32 a33
a31 a32 a33
4、矩阵与矩阵的乘法
Am p Bpn Cmn
4
运算法则：
AB B A
A A (A B) A B
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
线性代数第一章、矩阵PPT课件
矩阵的秩的计算方法
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
《矩阵概念简易入门》课件
些基本的数学性质，如加法、数乘、乘法等。
详细描述
矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，数乘则是将矩阵 中的每个元素乘以一个常数。此外，矩阵还可以进行乘法运 算，但要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
特殊类型的矩阵
总结词
特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵等。
系数矩阵
线性方程组中的系数和常数项可以组 合成一个系数矩阵，通过对方程组进 行初等行变换，可以化简系数矩阵， 从而求得方程组的解。
在向量空间中的应用
向量空间
矩阵可以表示向量空间中的线性 变换，通过矩阵的乘法运算，可 以实现向量的线性组合、缩放、 旋转等操作。
特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量在向量 空间中具有重要应用，它们可以 描述矩阵对向量空间的变换性质 ，以及向量在变换下的表现。
《矩阵概念简易入门》ppt课件
目录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的应用 • 总结与展望
01
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
总结词
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常用于表示二维数据。
详细描述
矩阵是一个由行和列组成的二维表格，其中每个元素由行索引和列索引唯一确 定。矩阵可以用于表示各种数据结构，如线性方程组的系数矩阵、概率分布等 。
03
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
01
02
03
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A存在一个 逆矩阵A^(-1)，使得A * A^(-1) = I（单位矩阵） ，则称A为可逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的，且逆矩 阵与原矩阵的乘积等于单 位矩阵。
逆矩阵的计算方法
通过高斯消元法或LU分解 等数值方法求解。
详细描述
矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，数乘则是将矩阵 中的每个元素乘以一个常数。此外，矩阵还可以进行乘法运 算，但要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
特殊类型的矩阵
总结词
特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵等。
系数矩阵
线性方程组中的系数和常数项可以组 合成一个系数矩阵，通过对方程组进 行初等行变换，可以化简系数矩阵， 从而求得方程组的解。
在向量空间中的应用
向量空间
矩阵可以表示向量空间中的线性 变换，通过矩阵的乘法运算，可 以实现向量的线性组合、缩放、 旋转等操作。
特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量在向量 空间中具有重要应用，它们可以 描述矩阵对向量空间的变换性质 ，以及向量在变换下的表现。
《矩阵概念简易入门》ppt课件
目录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的应用 • 总结与展望
01
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
总结词
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常用于表示二维数据。
详细描述
矩阵是一个由行和列组成的二维表格，其中每个元素由行索引和列索引唯一确 定。矩阵可以用于表示各种数据结构，如线性方程组的系数矩阵、概率分布等 。
03
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
01
02
03
逆矩阵的定义
如果一个矩阵A存在一个 逆矩阵A^(-1)，使得A * A^(-1) = I（单位矩阵） ，则称A为可逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的，且逆矩 阵与原矩阵的乘积等于单 位矩阵。
逆矩阵的计算方法
通过高斯消元法或LU分解 等数值方法求解。
矩阵PPT课件
11
1 3 2 4
例1.设
A
1
5
7
8
0 4 6 9
求A+B
3 7 2 11
B
4
10
9
0
2 8 6 5
41310 34715 2 2 411
解： A+B
032121425
516108
7 9
412814 6 6
80 95
12
三、数与矩阵的乘法 (P30)
1. 定义
设 是常数， A = ( aij ) m×n ，则矩阵
a1n
a2
n
,
0
ann
其中 aij = 0, i > j
9.下三角矩阵
a11 a 21
a 22
0
,
其中 aij = 0, i < j
a n1 a n 2 a nn
8
§2 矩阵的运算
一、矩阵的加 法（P29)
1. 定义
设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n
2
1012
0 1
3 0
1
2
1 0
3 6
注：1.一般地AB BA 即矩阵乘法不满足交换律
2.只有A的列数等于B的行数，AB才有意义.也称 AB可乘，A右乘B，B左乘A
19
例4 设
A
1 1
1 1
,
B2 1 , 2 1
C 2 3 , 1 3
D1 5 2 5
试证： (1) AB = 0 ；
(2) ( A + B ) = A + B
(3) ( + μ ) A = A + μ A
1 3 2 4
例1.设
A
1
5
7
8
0 4 6 9
求A+B
3 7 2 11
B
4
10
9
0
2 8 6 5
41310 34715 2 2 411
解： A+B
032121425
516108
7 9
412814 6 6
80 95
12
三、数与矩阵的乘法 (P30)
1. 定义
设 是常数， A = ( aij ) m×n ，则矩阵
a1n
a2
n
,
0
ann
其中 aij = 0, i > j
9.下三角矩阵
a11 a 21
a 22
0
,
其中 aij = 0, i < j
a n1 a n 2 a nn
8
§2 矩阵的运算
一、矩阵的加 法（P29)
1. 定义
设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n
2
1012
0 1
3 0
1
2
1 0
3 6
注：1.一般地AB BA 即矩阵乘法不满足交换律
2.只有A的列数等于B的行数，AB才有意义.也称 AB可乘，A右乘B，B左乘A
19
例4 设
A
1 1
1 1
,
B2 1 , 2 1
C 2 3 , 1 3
D1 5 2 5
试证： (1) AB = 0 ；
(2) ( A + B ) = A + B
(3) ( + μ ) A = A + μ A
《矩阵的概念》课件
矩阵的数乘
总结词
矩阵的数乘是指用一个标量与矩阵中的每个元素相乘。
元素乘以一个标量来实现的。假设有一个标 量k和一个矩阵A，数乘后的矩阵B可以通过将A中的每个元素乘以k得到，即 bij=k×aij。
矩阵的乘法
总结词
矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
对角矩阵
• 举例：对于一个$3x3$的对角矩阵，其形式如下
对角矩阵
``` ab0
cd0
对角矩阵
• ef0
对角矩阵
``` 其中a、b、c、d、e、f是主对角线上的元素，其他元素都为零。
上三角矩阵和下三角矩阵
总结词
上三角矩阵和下三角矩阵是特殊类型的矩阵，它们的非主对角线上的元素全为零，且上三角矩阵的主 对角线以下的元素全为零，而下三角矩阵的主对角线以上的元素全为零。
延。
未来发展方向和挑战
高维矩阵研究
矩阵计算优化
随着科技的发展，高维数据的处理变得越 来越重要，如何处理高维矩阵是一个值得 研究的方向。
随着大数据时代的到来，如何高效地处理 大规模矩阵计算成为了一个挑战。
矩阵在其他领域的应用
矩阵理论的完善
如何将矩阵的理论和方法应用到其他领域 ，如机器学习、图像处理等，是一个值得 探索的方向。
``` ab0
0cd
上三角矩阵和下三角矩阵
• 0ef
上三角矩阵和下三角矩阵
```
对于一个$3x3$的下三角矩阵，其形式如下
上三角矩阵和下三角矩阵
``` a00 bc0
上三角矩阵和下三角矩阵
• edf
上三角矩阵和下三角矩阵
```
其中a、b、c、d、e、f是非主对角线上的元素，其他元素都为零。
矩阵的概念精品PPT课件
某航空公司在A、B、C、D四城市之间开辟了若干航线：
A
B
A
B
C
D
A
0
1
0
1
B
1
0
1
1
C
D
C
0
1
0
1
D
1
1
10
1
1
0 1 0 1
1
1
1
0
矩阵的概念
案例3：线性方程组
含有n个未知量、m个方程的线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
0
0 6
矩阵的概念
4.对角矩阵
除主对角线上的元素不全为0外，其余元 素均为0.
diag(b1, b2 ,
b1 0
,
bn
)
0
b2
0
0
0
0
bn
2 A 0
0
0 1
0
0 0 5
A既是上三角阵，又是下三角阵
矩阵的概念
5.数量矩阵
若 b1 b2 bn b 0
b 0
0
0
b
0
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。
矩阵的概念
1.零矩阵
所有元素全为0的m×n矩阵，称为零矩阵.
记作Om×n 或O
0 0 0
0
O23
0
0 0
0
0
O33
0
0
0 0
0
0
矩阵的概念
2.负矩阵
矩阵教学课件
例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位 矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学 （见P49）
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式 定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
,
x
1.3——矩阵线性代数课件PPT
A,C可逆，A C 2 0可逆，但A1 C 1 ( A C )1 0 1
故 ( A B)1 A1 B1
例 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
则称A为可逆矩阵, A1为A 的逆阵.
1、可逆矩阵的概念和性质
定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B, 使得
AB BA E
则称矩阵A是可逆的, 并把矩阵B称为A的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1, 即 A1 B
注 可逆矩阵也称为非退化阵或非奇异阵.
注 方阵才有可逆矩阵.
例
设
1
A
1
1 1 2
1
,
B
1
2
1 2
1
2
解 因为 AB BA E, 则B是A的一个逆矩阵.
定理 (唯一性) 若A是可逆矩阵, 则其逆矩阵是唯一的. 证 设B和C 都是A的逆矩阵, 则有
AB BA E, AC CA E 可得 B EB (CA)B C( AB) CE C
所以A的逆矩阵是唯一的, 即 B C A1
逆矩阵的求法一：待定系数法（第2章讲解）
a1
注 对角矩阵 A
a2
,其中
a1a2
an nn
对角矩阵A可逆, 且其逆矩阵
an 0
1 a1
A1
1 a2
1
an
nn
单位阵E可逆, 且其逆矩阵为其自身: E 1 E
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
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1 2 6
例1、求矩阵 A 1 0 3 的Jordan标准形.
1 1 4
解 先求I A的初等因子.
1
I
A
1
1
2 1
6
3
4
1 0 0
0 1
0
0
0
12
因此, I A的初等因子为 1, 12，
1 0 0
矩阵A的Jordan标准形为 J 0
1
1
.
0 0 1
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§1.3 Jordan标准形
一、 基本概念和定义
i 1
i
⑴
mi
阶
Jordan
块：形如
1
i
mi
mi
的方阵
⑵Jordan标准形：由若干个Jordan块组成的分块对角阵
J1
J2
其中Ji i 1, 2, ,t 为 mi 阶Jordan块.
J
t
t
当 mi n时,称为ｎ阶Jordan标准形. i 1
i 1
Ji ,其阶数为 mi ,对角线元素为 i ,这些 Jordan 块构成
一个 Jordan 标准形 J,经过计算可知,J 的全部初等因
子就是上式.
推论 8 . 复矩阵 A 可对角化的充要条件是 A 的特征 矩阵的初等因子全为一次的.
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二、 Jordan标准形的求法
Th6. A J I A I J Th7. 每个 n 阶复矩阵 A 都与一个 Jordan 标准形 J 相似，这个 Jordan 标准形在不计其中 Jordan 块的排 列次序时，完全由 A 唯一决定.
P ( , , , , , , ) 1
m1 m2 mi1 1
m1 m2 mi1 mi
n
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为方便, 将编号
m1 m2 mi1 1, m1 m2 mi1 2, , m1 m2 mi1 mi
记为 1, 2, , mi 将 i 记为 并由 P1AP J
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三、 可逆矩阵P的求法
若A J ,则必存在满秩方阵P使得 P1AP J . 在通常情况下,如果只需要找到标准形,则不必求P. 但若用Jordan标准形求解微分方程组,就少不了求P.
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先分别求出子矩阵 A1 ，A2 的Jordan标准形. 由
I
A1
4
3
1
1
可知,A1的不变因子为d1 1, d2 12，
故初等因子为 12. 因此
1 1
A1
J1
0ห้องสมุดไป่ตู้
1
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再由
2 1
I A2
1
可知, A2的不变因子为 d1 1, d2 1，2
故初等因子为 12. 因此
1 1
A2
J2
0
1
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于是得到A的Jordan标准形为
1 1
J
J1
J
2
0
1
1 0
1 1
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因为 M 44 与 M12 互素,所以 D3 1,进而有
D2 D1 D0 1. 因此, I A 的不变因子为
d1 d2 d3 1,
d4 2 13 ,
初等因子为 2和 13 .所以A的标准形为
2 0 0 0 J 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 0 1
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例3 、求矩阵
3 1
A 4
1
2
1
的Jordan标准形.
1 0
解 将A写成分块形式
A
A1
A2
其中
3 1
A1
4
1
2 1
A2
1
0
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I A mi . mi1
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若记 H I A,以上各方程即为
H1 0, H2 1,
Hmi mi1 .
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去掉 I A的第 4 行第 4 列后的余子式 M 44 为
2 0 2
M44
det
6
1 4 1 2 2 20
10 0
同理可得
6 4 4
M12 det 10
4
2
32 28 40
7 7 2
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注：设n阶矩阵A的特征矩阵I A的初等因子
为(也称为矩阵A的初等因子)
1 m1 , 2 m2 , , t mt
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其 中 1,2,
及 , t
m1, m2 ,
, mt 中 可 能 有 相 同 的 , 且
t
mi n ,每个初等因子 i mi 对应于一个 Jordan 块
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例2、求矩阵
2 0 2 1
A
6
1
10 0
4 0
4 4
的Jordan标准形.
7
0 7 2
解 矩阵A的特征多项式为
D4 det I A
2 0 2 1
det
6
1 4
4
2 13 ,
10 0 4
7
0
7 2
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得 AP PJ ,从而
A( ,1, mi , ) ( ,1, mi , )J
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A( ,1, mi , ) ( ,1, mi , )J
由此得
A1 1, A2 1 2,
Ami mi1 mi ,
即
I A1 0, I A2 1,
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下面介绍求P的一般方法.
设P为ｎ阶方阵,J的某个Jordan块 Ji 为 mi阶,其主对
角线元素为 i ,它们在J中的行数与列数分别为
m1 m2 mi1 1, m1 m2 mi1 2, , m1 m2 mi1 mi
记P的各个列向量分别为1,2, ,n ,则