基于连续介质模型的颗粒材料孔隙度及孔隙水压力计算公式

第31卷 第8期 岩 土 工 程 学 报 Vol.31 No.82009年 8月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Aug. 2009基于连续介质模型的颗粒材料孔隙度及孔隙水压力计算公式楚锡华(武汉大学土木建筑工程学院，湖北 武汉 430072)摘 要：孔隙度是能够部分反映颗粒材料微观结构的一个宏观量，其数值及其演化对颗粒材料的宏观力学行为有重要影响。

基于连续介质模型，在颗粒体积应变均匀的前提下推导了颗粒材料的孔隙度随颗粒集合局部平均体积应变的演化公式，并应用该关系式结合孔隙水状态方程给出了饱和颗粒材料的孔隙水压力与孔隙度、固体颗粒体积模量、固体颗粒变形之间的关系。

所得公式可用于饱和含液颗粒材料流–固耦合计算或饱和多孔介质宏观–细观多尺度流–固耦合渗流分析。

关键词：孔隙度；孔隙水压力；颗粒材料；多孔介质；连续模型中图分类号：TU43 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2009)08–1255–03作者简介：楚锡华(1977–)，男，河南濮阳人，博士，讲师，从事计算固体力学、岩土颗粒材料力学行为研究。

E-mail:chuxh@。

Evolution of porosity and pore water pressure of granular materialsbased on continuum modelCHU Xi-hua(Civil & Architecture School of Wuhan University, Wuhan 430072, China)Abstract:The porosity is a macro-variable which can represent partly micro-structures of granular materials. Based on thecontinuum model of granular materials, an evolution formula for the porosity with local average volumetric strain of granularassembly is deduced. Provided the change of grain volume is uniform, and the formula is allied with pore water state equation,the relationship among the pore water pressures and the porosity, the volumetric module of grain and the volumetric strain ofgrain for saturated granular materials is presented. The results obtained can be applied to the numerical simulation of fluid-solidcoupling for statured granular materials or to the multi-scale analysis of fluid-solid seepage for porous materials.Key words:porosity; pore water pressure; granular material; porous medium; continuum model0 引 言在对含液颗粒材料流固耦合分析时，需计算孔隙度随颗粒集合及流体流动的动态演化。

当流–固均采用连续介质模型时，通常忽略孔隙度的变化[1]或孔隙度（孔隙率）的演化依赖于经验公式[2]，当固体颗粒采用离散颗粒模型，孔隙流体采用连续介质模型时，局部平均孔隙度通常可从颗粒层次直接演绎[3-4]。

文献[5]指出实现流固耦合渗流计算的关键问题之一为建立流固耦合作用下的物性参数动态模型，并给出了孔隙度和渗透率的动态模型，文献[6]在此基础上，通过考虑固体颗粒的变形进一步发展了孔隙度模型。

本文基于连续介质模型，考虑体积应变参考不同时刻的构型，推导了孔隙度与宏观平均体积应变的关系，进一步基于饱和多孔介质中孔隙水的状态方程，发展了孔隙水压力与孔隙度、固体颗粒的变形之间关系，所得结果可用于饱和含液颗粒材料流固耦合计算或饱和多孔介质宏观–细观多尺度流固耦合渗流分析。

1 颗粒材料的孔隙度与体积应变的演化关系t时刻取一个总体积为0V的多孔介质微元体，其固体骨架由若干固体颗粒组成，设骨架体积，即固体颗粒总体积为0sV，孔隙度为0n；该微元体经过系列变化至t时刻，总体积为t V，若不考虑固体颗粒变形，───────基金项目：国家自然科学基金项目（10802060）收稿日期：2008–07–141256 岩 土 工 程 学 报 2009年则骨架体积仍为0s V ，此时总体积的变化来源于固体颗粒排列方式的变化。

在模拟含孔隙水的多孔介质时，若要考虑由于孔隙水压力作用产生的土壤颗粒压缩变形，或者温度效应时，一般应计及固体颗粒的体积变形。

为简化处理，设微元体内的颗粒具有相同的体积变化倍数，记为v α，即固体颗粒体积由0s V 变化为t v 0s s V V α=，下面将给出孔隙度与体积应变的关系。

1.1 体积应变定义参照t 时刻构形由体积应变的定义知t 0tv tV V V ε−= ， (1) 即t 0tv11V V ε=− 。

(2) 由孔隙度的定义知s 01V V n =− ， (3)即 000s (1)V n V =− ， (4) t 时刻孔隙度计为t n ，则t t t ts s t t 1V V V n V V−==− 。

(5)考虑固体颗粒体积的变化有t v 0v 00s s (1)V V n V αα==− 。

(6)式（2）、（6）代入式（5）可得t v 0tv 1(1)(1)n n αε=−−− ， (7) 式中，v α的取值范围为v 0α<≤∞，当v 1α<时，表示颗粒体积收缩，v 1α>时表示颗粒体积膨胀，当1v α=时表示颗粒体积不变。

若令t 0n n =（表示颗粒集合的孔隙度未发生变化），根据式（7）可得0v 0tv 1(1)(1)n n αε=−−−， (8)t v v 11αε=−， (9)若取v 1α=，即颗粒体积不变时得到tv 0ε=，显然与实际情况相符合。

当取v 1α=时（颗粒体积变化忽略），式（7）可改写为0t 0t v 01(1)n n n nε−=+ 。

(10)式（10）表明在不考虑固体颗粒体积变化的情况下，孔隙度与多孔介质的体积应变存在线性变化关系。

特别是当00.5n =时，有t 0tv (1)n n ε=+ 。

(11) 1.2 体积应变定义参照t 0时的构形参照初始体积时有t 0tv 0V V Vε−= ， (12) 即t t0v (1)V V ε=+， (13)容易得到t t v 0ts t tv(1)11V V n n V αε−−==−+ 。

(14) 若令t 0n n =，即保持孔隙度不变，由式（14）可得tv v 1αε=− ， (15)也就是当v 1α=时，tv 0ε=，这与实际情况相符合。

当tv 1ε<<，应用级数展开定理可得到t t 2t 3v vv tv11()(())1O εεεε=−+++ 。

(16) 若式（16）只取线性项，并代入式（14）中可得t v 0tv 1(1)(1)n n αε=−−−， (17) 可以看到式（17）与式（10）在形式上完全相同。

当v 1α=时，0t 0t v 01(1)n n n nε−=+ ， (18)特别当00.5n =时，有t 0tv (1)n n ε=+ 。

(19)总之，由以上分析可以看到，在连续介质框架内的体积应变概念下，颗粒材料的孔隙度与体积应变成正比例变化。

2 饱和多孔介质孔隙水压力计算公式由前面孔隙度的计算可知，饱和多孔介质中水的体积为t t t tv 00w t(1)1n V n V n V nα==−− ， (20) 由孔隙水的状态方程知w w ww w w 111D DV Dp Dt V Dt K Dt ρρ=−=， (21)式中，w ρ为孔隙水密度，w K 为孔隙水体积模量，wp 为孔隙水压力。

式（20）代入式（21）得到v t 00t t v t 00(1)()11(1)n n V D n n n n V Dt αα−−−−−w w 1Dp K Dt = 。

(22)化简式（22）得到t v t w v t t w 11()1n n D Dp n n K αα−−=− ， (23) 式（23）左端中v tt()1n D n α−可展开为v t t t v vt t t()()111n n n D D D n n n ααα=+−−− ， (24)第8期 楚锡华. 基于连续介质模型的颗粒材料孔隙度及孔隙水压力计算公式 1257带入式（23）得到t t vw v t t w 111()1n n Dp D D K n n αα−=−−− 。

(25)对式（25）积分，即从状态（v 000,1,p n α=）积分到状态（v t w ,,p n α），w 0w w 1p p Dp K ∫v t v 00tt vv t t 11()1n n n n D D n n αααα−=−−−∫∫。

(26)对式（26）逐项积分有w 0v v 0t t 00w w 0wwv v v v 0v tt tt t t 2t t t 011()1ln ln ln 111()(1)111ln(1)ln(1)p p n n n n Dp p p K K D n Dn n n D n n n nn n ααααααα⎫=−⎪⎪⎪−=−=−⎪⎪⎪−⎬−⎪−=−−⎪−⎪⎪⎪=−−−⎪⎭∫∫∫∫，，。

(27) 将式（27）代入式（26）并整理得v w 0w t 011[ln(1)ln(1)ln ]p p K n nα=+−−−−。

(28)若不考虑固体颗粒体积的变化有w 0w t 011[ln(1)ln(1)]p p K n n=+−−− ； (29)若考虑固体颗粒体积的变化，且认为固体颗粒体积变形是由孔隙水压力变化导致，设固体颗粒的体积变形模量为s K 则w 0s s p p K ε−=， (30)式中，s ε为固体颗粒的体积应变，注意这与固体颗粒集合的体积应变不同，若参照t 时刻构形根据体积应变的定义有t 00s s s s t t v s s 111V V V V V εα−==−=− 。