2008年全国大学生数学建模竞赛C题获奖论文

题目地面搜索问题
[摘要]
我们经过认真读题，抓住了本题中的几个要点，分别是：每个人搜索时的可探测半径为20米；步话机通讯半径为1000米；每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告；且搜索时不能留一点死角。

就这些约束条件进行分析，我们得到了“一个20人每人隔20米排成一排一同沿一个路线前进”的方案。

然后，我们根据总时间最短的原则，设计了一个不搜索只行进的距离最短的部队行进方案（如图一）。

再是根据“不留一点死角”和“总时间最短”的原则，对180度拐角处和90度拐角处，进行了认真地分析分别制定其通过方案（如图二、图三）。

之后，便计算总路程（包括边行进边搜索的路程和不搜索只行进的路程），分别除以其速度求20人搜索该区域时所用的时间。

其时间大于48小时，因此，要增加一人帮助其搜索。

我们本着总时间小于48小时的条件，分析了以上我们所建立的模型，认为：搜索时间是不能节省的，只行走的时间又过短，只能节省在过第一个180度弯时等待的时间（过第一个180度弯之后，最快与最慢的之间相差3040米，与步话机1000米的通讯半径不符，所以，期间需等待0.48小时）。

故增加一人使他在过第一个180度弯时和之前帮助较慢的人员前进，以节省其等待时间。

经计算最终时间小于48小时。

做第二问时我们用到第一问的数据，将50人分成20人、20人和10人，再根据人数按比例划分面积。

之后，根据条件“搜索完成后需要进行集结”，对该区域进行了划分，并设计了各个小组的行进路线（如图四）。

最终，搜索总时间为21.39小时。

关键词：步话机通讯半径、不能留一点死角、时间最短、小于48小时
§ 1问题的重述
5.12汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪。

救灾指挥部紧急派出多支小分队，到各个指定区域执行搜索任务，以确定需要救助的人员的准确位置。

在其它场合也常有类似的搜索任务。

在这种紧急情况下需要解决的重要问题之一是：制定搜索队伍的行进路线，对预定区域进行快速的全面搜索。

通常，每个搜索人员都带有GPS定位仪、步话机以及食物和生活用品等装备。

队伍中还有一定数量的卫星电话。

GPS可以让搜索人员知道自己的方位。

步话机可以相互进行通讯。

卫星电话用来向指挥部报告搜索情况。

下面是一个简化的搜索问题。

有一个平地矩形目标区域，大小为11200米×7200米，需要进行全境搜索。

假设：出发点在区域中心；搜索完成后需要进行集结，集结点（结束点）在左侧短边中点；每个人搜索时的可探测半径为20米，搜索时平均行进速度为0.6米/秒；不需搜索而只是行进时,平均速度为1.2米/秒。

每个人带有GPS定位仪、步话机，步话机通讯半径为1000米。

搜索队伍若干人为一组,有一个组长，组长还拥有卫星电话。

每个人搜索到目标，需要用步话机及时向组长报告，组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。

现在有如下问题需要解决：
1．假定有一支20人一组的搜索队伍, 拥有1台卫星电话。

请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。

按照你的方式，搜索完整个区域的时间是多少? 能否在48小时内完成搜索任务? 如果不能完成，需要增加到多少人才可以完成。

2．为了加快速度，搜索队伍有50人，拥有3台卫星电话，分成3组进行搜索。

每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。

请设计一种你认为耗时最短的搜索方式。

按照你的搜索方式, 搜索完整个区域的时间是多少?
§2 问题的分析与假设
1.人员完全听从组长的安排，组长在队伍中间。

2.假设搜索区域的地面规则平整，搜索任务不受天气地形等影响能不间断进行。

3.假设记录通讯时间为零。

4.假设搜索过程完全按照题中路线图进行，无突发事件发生。

§3 模型的建立与求解
3.1关于模型1（问题一）的建立与分析
3.1.1宏观路线的制定
终点
起
点图一
我们进过分析之后，打算采用20人排成一排，一同前进，并根据一定的路线对该区域进行搜索。

如图一为队伍行进路线图。

要是总时间最少，则队伍行进过程中重复扫描时间最少，即，使徒步行进距离最短。

经分析得，图一中，反复扫描时间较少。

则我们认为此行进路线为最佳行进路线（图中每个方格为800*800的正方形）。

3.1.2 180度与90度的拐弯方式
2号1号
图二
图三
在此行进路线中，有180度和90度的拐角，为使其搜索没有一点遗漏的地方，且考虑到1000米的步话机的通讯半径，我们对其进行了如下处理：180度拐角，如图二（图简化成二个人在搜索，且每个小格为40*40），搜索人员在到达应拐弯的方格时到达该格的下边缘，转个90度的弯贴着其边缘走到另一转弯格时再回转90度沿着该格的中心向前走，如图二中外侧红线，在到达1号格时转弯，到达2号格时再转弯；90度拐角，如图三（图三格式同图二，且蓝线为人员不搜索只行走的路程），搜索人员在到达应拐弯的方格时到达该格的下边缘，再往回退20米到转弯格的中心，转90度前进，并沿着方格的中心线。

从图一得，180度拐角有14个，90度拐角有2个。

同时发现180度拐角为偶数个，且因为在拐弯时内测与外侧的路程不一，但在经过偶数个拐角之后，其路程有处于平齐，则为使计算简单拐180度角的路程用其平均值。

3.1.3关于等待的考虑
又经分析得，在拐第一个180度角之后，最快与最慢的人员距离为3040米（最慢的人员路程为3160米，最快的人员路程为120米，3040
3160 ），与步话机1000
120
-
米的通讯半径不服。

为使其符合条件，我们使快的人员停下等慢的人员，要等1040米。

经分析在过了第一个180度的弯之后，再过其余的180度弯时，其最快与最慢的相差的距离分别为1040米、2000米、1040米、2000米······这样一直循环下去，且都在步话机1000米的通讯半径之内，便不需考虑。

3.1.4模型计算
最终，经计算得，队伍边搜索边行走的路程为102880米，其时间约为47.63小时；只行走的路程为880米，时间为0.20小时；在第一个180度拐角处，较快的人员要等较慢的人员1040米，时间为0.48小时。

最后，所需要总的时间约为48.31小时。

则，不能在48小时内完成搜索任务。

增加1人便可完成任务。

3.1.5模型改进
增加的这1人，让他分别在拐第一个弯前和拐第一个弯中去帮那些较慢的人员，以节省等待较慢人员的时间，来缩短总时间。

为使总时间在48小时内，即，增加的人员要帮最慢的人员节约至少0.31小时。

当
增加的人员帮助其他人员搜索1米时，其节约的时间约为000231
.03600
2.11-6.01≈⎪⎭⎫ ⎝⎛小时/米。

即，要帮助最慢的人员搜索1342000231
.031
.0≈米。

经过以上分析得到，最慢与最快的人员相差3040米，平均得：每人之间相差160米。

即，增加的人员要帮在拐第一个弯时外侧第二个人员节约至少
24.03600
6.0160
-31.0≈小时。

即，要帮助拐第一个弯时外侧第二个人员搜索
1022000231.024.0≈米。

同理得，帮外侧第三个人员701米，第四个人员381米，第五个人员60米，第六个人员0米，其他的也为0米。

则只需帮拐第一个180度弯时外侧
的五个人员向前搜索。

经证明得，该模型能在48小时内完成。

3.2关于模型2（问题二）的建立与求解
在问题一中我们把该区域分为126个800⨯800的网格，只有20人的时候探测范围为800米，所以我们把50人的队伍分为20、20、10，通过对图一的分析，我们得到图四为本题的路线（图中红线区域将800⨯800的正方形细分为400⨯400的）。

终点
起点
10人
20人（一组）
20人（二组）
图四
根据题一的数据，得：蓝线路与黄线路的时间为20.9小时；红线路的时间为21.39小时。

最终，该模型所需时间为21.39小时。

§4 模型的评价与改进
上诉模型的建立与求解，在假设中我们忽略了一些问题，在上述中我们假设通讯时间为零，但这在实际生活中可能会有所改变，但以上误差是可以允许的，亦是不可避免的。

宏观评价一个事物的好坏应该从客观角度去分析，要使搜索时间最短，同时满足在中点出发在左端中点集结，同时要达到合理易操作，正是从客观角度去分析的，从这一角度分析也更符合实际情况。

本模型具有以下优点：
1、此模型是用实际数据进行检验计算，误差也是在可以允许的范围内，因
此更具有实际应用价值。

2、此模型具有的最大优点就是简洁实用，可以用来解决同类问题，适用范
围广，推广性强。