高等工程数学2线性变换

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定义 设V1，V2为线性空间，若 V1→V2的映射T
满足：对任意的 , V1, k F，有
T ( ) T T, T (k) kT
则称T 为 V1→V2的线性变换.
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例 1 在线性空间Pn(t)中定义变换
Tp(t) d p(t), dt
p(t) Pn (t)
A diag{A1, A2 ,, As} 的充要条件是
Wi span{i1 ,i2 ,,ini } (i 1,2,, s)
均是 T 的不变子空间.(其中 Ai 是 i 阶方阵,i 1,2,, s)
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推论 设 ={1, ,n} 是 Vn 的基，则 T 在 下
的矩阵是对角阵
A diag{1, 2 ,, n}
则 T 是Pn(t) →Pn？-1(t) 的线性变换.
例 2 给定A m，n x n 则有Ax m.
由矩阵的运算法则可知
A 是 n m 的线性变换.
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Байду номын сангаас
① TO O, T ( ) T.
②
m
m
T ( kii ) kiTi .
i 1
i 1
③ 若{1,2 ,,m}线性相关，则
{T1,T2 ,,Tm}
nullT rankT n.
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设, 基在.基偶
在基偶
′是Vn 的两个基， , 下有 T =
, ′ 是Vm的两个 A
′, ′ 下有 T ′ = ′ B
问 矩阵A与B有什么关系？
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设 , ′是Vn 的两个基， 基在.基偶 , 下有 T =
, ′ 是Vm的两个 A
在基偶 ′, ′ 下有 T ′ = ′ B 设基变换渡矩阵分别为 P，Q ，即
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类似地定义
(T) = {
Vn | T =
O }(T) = {
Vm | =T ，
称Vn(}T) 为 T 的零空间(核)
称 (T) 为 T 的值空间(值域)
则有 null T dim (T) = dim (A) = n – rankAT dim (T) = dim (A) = rankA
称nullT 为 T 的零度，rankA 为 T 的秩，且有
的充要条件是存在数 1, 2 ,,n使得
Ti ii (i 1,2,, n).
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定义 若存在基 ={1, ,n}，使得线性变换T
在 下的矩阵A是对角阵 A diag{1, 2 ,, n}
则称 T 可对角化.
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定义 设T 是 Vn 上的线性变换，若存在数 及 V n ( 0)使得
A
称 A 为T 在基偶 { , }下的矩阵.
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例 3 设 3 的线性变换T 定义为：
5x1 4x2 2x3
Tx
4x1
5
x2
2
x3
,
x [x1 x2 x3]T
3
2x1 2x2 2x3
试求T在基
2 1 1
{
1
2
,2
1
,3
0}下的矩阵.
1
0
2
注：若T 是V 到自身的变换，则基偶可取为{ , } 此时称T在基偶下的矩阵为 T在基下的矩阵.
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设 {1,2, ,n} 是Vn的一个基 {1, 2 , , m} 是Vm的一个基
对Vn→Vm 的任一线性变换T，存在矩阵A，使得
T=
对任意的 Vn，A设 在基Vn下的坐标为x，则
有
T =T( x ) = (T )x =
即像T A在x 基Vm下的坐标为Ax.
可见：线性变换的特性完全由基偶矩阵刻画，故 对线性变换的研究可转为对基偶矩阵的研究.
例 6 设V 4 span{ex , xex , x2ex , e2x}，则
={ex , xex , x2ex , e2x} 是V4的基，定义变换T：
′是Vn 的
在基偶 ′下有 T ′ = 设基变换渡矩阵 P ，即
′B ′= P
B P1 AP
线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是相似的
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Vn→Vm线性变换 T
T L(V n V m )
Vn到自身线性变换T
T L(V n V n )
V n：B P B~
T
T
V m：B A Q B ~B
′= P， ′ = Q
B P1 AQ
线性变换在不同基偶下的矩阵是相互等价的.
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设T 是Vn 到自身的线性变换， , 两个基. 在基 下有 T = A 在基偶 ′下有 T ′ = ′ B
问 矩阵A与B有什么关系？
′是Vn 的
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设T 是Vn 到自身的线性变换， , 两个基. 在基 下有 T = A
也线性相关.
问 若{1,2, ,m}线性无关，问 {T1,T2, ,Tm}
是否也线性无关？
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设 {1,2, ,n} 是Vn的一个基 {1, 2 , , m} 是Vm的一个基
T 是Vn→Vm 的线性变换
像的坐标
T=
[T
1,T
2,…,T
n]
a
11
a 1n
[1
2
m
]
a
m1
a mn
T
则称 是T 的特征值， 是相应的特征向量.
定理 设T 是Vn上的线性变换，则 T 可对角化
A有 n 个线性无关的特征向量 1,,n
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问 怎样求T的特征值与特征向量？
是 T 的特征值 是 A 的特征值
= x 是T 的特征向量 x是 A 的特征向量
问 , 是否与基 的选取有关？
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Vm | =T ，
则 (T) ，Vn } (T) 均是T 的不变子空间.
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例 5 设W = span{ 1， 2，…， r } ，则有
W是T 的不变子空间 T i W ( i = 1,2,…,r)
定理 设 ={11, ,1n1；21,,2n2； ；s1,,sns } 是Vn 的基，则 T 在 下的矩阵是分块对角阵
B P1 AP
则 T 在基 ′ = P 下的矩阵为？B
考虑两种简单形式的矩阵：① 分块对角阵 ② 对角矩阵
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定义 设T 是Vn 上的线性变换，W是Vn的子空间，
若对任意的 W 有 T W ，则称W是 T
的不变子空间. 例 4 记T 的核与值域分别为
(T) = {
Vn | T =
O }(T) = {
B P1 AQ 即 A与B 等价
V n：B P B~
T
T
B A
B~ B
B P1 AP 即 A与 B相似
从现在开始主要研究 V n 的V线n性变换。
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设T 是Vn 到自身的线性变换. 问题 怎样求基 ′ ，使得T 在 下的矩 阵有较简单的形式？
分析： 任取V 的一个基 ，且T = A. 若将方阵 A 相似化简为 B ，即