7.三点共线问题

1．已知椭圆22:12x C y +=，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为椭圆上一点，若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12
且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M
三点共线．12
，所以直线RS 的斜率为2-.所以可设直线RS 的方程为2y x m =-+.由222,1,2
y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x mx m -+-=.设点()11,R x y ，()22,S x y ，()00,P x y .所以1289m x x +=
，()1212128222222299
m m y y x m x m x x m m +=-+-+=-++=-⋅+=.所以120429x x m x +==，12029y y m y +==.因为0014y x =，所以0014y x =.所以点P 在直线14y x =上.又点()0,0O ，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭也在直线14y x =上，所以,,P O M 三点共线.2．已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，
离心率e =
过椭圆的右焦点F
作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.
（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥ ，求m 的取值范围；
三点共线问题
基本方法：
三点共线问题解题策略一般有以下几种：
①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.
一、典型例题
解析：因为线段RS 的中垂线l 的斜率为
（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
⎪⎝
⎭解析：（1）设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，由题意1b =，
又e ===，∴25a =，故椭圆方程为2215x y +=．（2）由（1）得右焦点(2,0)F ，则02m ≤≤，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠）代入2
215x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-=，∴220(1)0k ∆=+>，设1122(,),(,),
A x y
B x y 则21222051k x x k +=+，212220551
k x x k -=+，且1212(4)y y k x x +=+-，2121()y y k x x -=-．∴11221212(,)(,)(2,)MA MB x m y x m y x x m y y +=-+-=+-+ ，2121(,)AB x x y y =-- ，
由()MA MB AB +⊥ ，得()0MA MB AB +⋅= ，则12211221()(2)()()()0MA MB AB x x m x x y y y y +⋅=+--++⋅-= ，
即12211221(2)()(4)()0x x m x x k x x k x x +--++-⋅-=，即2222220202(4)05151k k m k k k -+-=++，得2085m k m =>-，所以805m <<，∴当805
m <<时，有()MA MB AB +⊥ 成立．（3）在x 轴上存在定点N ，使得C 、B 、N 三点共线．依题意11(,)C x y -，
直线BC 的方程为211121()y y y x x y x x +=---，令0y =，则121122112121()N y x x y x y x x x y y y y -+=+=++， 点,A B 在直线:(2)l y k x =-上，∴1122(2),(2)y k x y k x =-=-，∴122112************(2)(2)22()(2)(2)()4N y x y x k x x k x x kx x k x x x y y k x k x k x x k +-⋅+-⋅-+===+-+-+-222222205202255151220451
k k k k k k k k k k -⋅-⋅++==⋅-+，∴在x 轴上存在定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，使得C 、B 、N 三点共线．1．抛物线2:4C y x =，已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且解析：设直线:l y kx m =+，联立24y x y kx m
⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()222240k x mk x m +-+=(*)由()()2222441610mk m k mk ∆=--=-=，解得1m k
=
，则直线1:l y kx k =+，得10,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211,4B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，直线PB x 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点A ,Q ,O 是否共线，并说明理由.
又P 关于点B 的对称点为Q ，故211,2Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，此时，(*)可化为222120k x x k -+=，解得21x k =，故12y kx k k =+=，即212,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以2OA OQ k k k ==，即点,,A Q O 共线.2．已知椭圆22143
x y +=，点F 是椭圆的右焦点.是否在x 轴上存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于,A B 两解析：由题意易知直线l 斜率不为0.设直线l 方程为x my t =+，(),0D t ，联立2214
3x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()
2223463120m y mt y t ++⋅+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,E x y -，则122212263431234mt y y m t y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩
，且0∆>，由,,A F E 三点共线有()()2112110x y x y -+-=，即()()1212210my y t y y +-+=，()22231262103434
t mt m t m m --∴⋅+-⋅=++，解得4t =，∴存在定点()4,0D 满足条件.由214x my y x
=-⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 整理得2440y my -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()11,D x y -，且12124,4y y m y y +==.
又直线BD 的方程为()122221y y y y x x x x +-=--，即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，令0y =，得1214
y y x ==.所以点()1,0F 在直线BD 上，即,,B F D 三点共线.2．已知椭圆:E 22162
x y +=，其右焦点为F ，过x 轴上一点()3,0A 作直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，设(1)AP AQ λλ=> ，过点P 且平行于y 轴的直线与椭圆E 相交于另一点M ，试问,,M F Q 是否共线，若共线请解析：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则11(3,)AP x y =- ，22(3,)AQ x y =- ，
点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且A ,F ,E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.
证明；反之说明理由.
1.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过点(-1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .证明：B ,F ,D 三点共线.
解析：依题意，直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为x =my -1(m ≠0)，
由已知得方程组()1212221122223316216
2x x y y x y x y λλ-=-⎧⎪=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪+=⎪⎩，注意到1λ>，解得2512x λλ-=，因为()()112,0,,F M x y -，所以11211211(2,)((3)1,),,22FM x y x y y y λλλλλ--⎛⎫⎛⎫=--=-+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又22(2,)FQ x y =- 21,2y λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以FM FQ λ=- ，从而三点共线.3．已知椭圆22:132
x y E +=，过定点()3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 于不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足PM
MH
PN NH =，证明：点H 恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.
答案：210x y -+=，证明见解析
解析：设()()()112200,,,,,M x y N x y H x y ，由PM
MH
PN NH =，得01122033x x x x x x -+=+-，整理可得()1212012236x x x x x x x ++=++设直线():3434l y k x kx k =++=++，联立2234132y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()
()()2222363433460k x k k x k +++++-=由题0∆>，∴()
12263432k k x x k -++=+，()21223346
32k x x k +-=+，则22122218241812122463232
k k k k x x k k --++-++==++，()()22121222692416125472728423+3232k k k k k x x x x k k ++---++=
=++，∴072846710312241212k k x k k k
++===-+---，而P 在l 上，则001053433411212k y kx k k k k k =++=-+
++=-+--，∴00210x y -+=，即H 恒在直线210x y -+=上.。