第6章刚体的基本运动

第6章 刚体的基本运动
在上一章的基础上本章的研究对象是刚体，学习的内容是刚体的平行移动和定轴转动，它构成刚体的两个基本运动，也是研究刚体复杂运动的基础。

6.1 刚体平行移动
工程实际中，如气缸内活塞的运动，打桩机上桩锤的运动等等，其共同的运动体点是在运动过程中，刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行，刚体的这种运动称为平行移动，简称平移。

如图6-1所示车轮的平行推杆AB 在运动过程中始终与它初始位置相平行，因此推杆AB 作平移。

确定平移刚体的位置和运动状况，只需研究刚体上任意直线段AB ，A 、B 两点的矢径为A r 和B r ，A 、B 两点间的有向线段AB r 之间的关系为
AB B A r r r += （6-1）
图6-1
图6-2
由平动定义知AB r 为恒矢量，A 、B 两点的轨迹只相差AB r 的恒矢量，即A 、B 两点的轨迹形状相同。

式（6-1）对时间求导，得
B A v v = （6-2） B A a a = （6-3）
结论：
（1）平移刚体上各点的轨迹形状相同；
（2）在同一瞬时平移刚体上各点的速度相等，各点的加速度相等。

因此，刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究，即点的运动学。

6.2 刚体的定轴转动
工程实际中绕固定转动的物体很多，如飞论、电动机的转子、卷扬机的鼓轮、齿轮等均绕定轴转动。

这些刚体的运动特点是：在运动过程中，刚体上存在一条不动的直线段，刚体的这种运动称为刚体的绕定轴转动，简称转动，转动刚体的不动的直线段称为刚体的转轴。

6.2.1转动刚体的运动描述
如图6-3所示，选定参考坐标系oxyz ，设z 轴与刚体的转轴重合，过z 轴作一个不动的平面0P （称为静平面），再作一个与刚体一起转动的平面P （称为动平面），令静平面0P 位于oxz 面上，初始瞬时这两个平面重合，当刚体转动到t 瞬时，两个平面间的夹角为ϕ，ϕ称为刚体的转角，用来描述转动刚体的代数量。

按照右手螺旋法则规定转角ϕ的符号，其单位为弧度（rad ）。

刚体定轴转动的运动方程是
f(t)=ϕ （6-4）
f(t)是时间t 的单值连续函数。

角速度是描述刚体转动快慢的物理量，用ω表示，即转角ϕ对时间t 的导数，
）或ϕ
ϕ
==(dt
d ω （6-5） 单位为弧度/秒（rad/s ），它是代数量。

当ϕ∆＞0，ω＞0；ϕ∆＜0，ω＜0。

角加速度是角速度ω对时间t 的导数，用α表示
）（或ϕϕα ====ωdt
d dt d ω22 （6-6） 单位为弧度/秒2（2rad/s ），它是代数量。

当α与ω同号时，刚体作加速转动；当α与ω异号时，刚体作减速转动。

工程中常用转速表示转动刚体的转动快慢，即每分钟转过的圈数，用n 表示，单位为转/分（m in)r/，角速度与转速的关系是
30
602n
πn πω=
=（rad/s ） （6-7） 注意：转动刚体的运动微分关系与点的运动微分关系有着相似之处，望初学者加以比较。

6.2.2转动刚体上各点的速度和加速度
当刚体作定轴转动时，刚体上各点均作圆周运动，故在刚体上任选一点M ，设它到转轴的距离为R ，如图6-4所示，当刚体转过ϕ角时 ，点M 的弧坐标为
ϕR s = （6-8）
图6-5
式（6-8）对时间t 求导得点M 的速度为
ωR v = （6-9） 其速度分布如图6-5所示。

式（6-9）对时间t 求导得点M 的切向加速度为
αR a τ= （6-10）
点M 的法向加速度为
22
2ωR R
ω)R (R v a n === （6-11）
点M 的全向加速度为
422222
2ωR )ωR ()R (a a a n +=+=+=αατ （6-12）
方向
2ωa a tan n α
θτ==
（6-13） 其加速度分布如图6-6所示。

结论：
（1）在同一瞬时，转动刚体上各点的速度v 和加速度a 的大小均与到转轴的垂直距离R 成正比；
（2）在同一瞬时，各点速度v 的方向垂直与到转轴的距离R ，各点加速度a 的方向与到转轴的垂直距离R 的夹角θ都相等。

6.3 点的速度和加速度的矢量表示
首先建立角速度的矢量概念，按照右手螺旋法则定义角速度的矢量表示为
o
图6-4
图6-6
k ωω= （6-14） 其中，k 为转轴z 的单位矢量，如图6-7a 所示。

刚体上任意一点M 的矢径r 、角速度ω和速度v 的矢量表示为
r ×ω=v （6-15）
同理，对于定轴转动刚体，定义角加速度的矢量概念，
k ωαα== （6-16） 式（6-15）对时间t 求导得点M 加速度的矢量表示为
v ωr αa ⨯+⨯= （6-17）
如图6-7b 所示，式（6-17）右边第一项为切向加速度，第二项为法向加速度，即
r αa τ⨯= v ωa n ⨯= （6-18） 结论：
（1）作定轴转动刚体上任意一点的速度等于角速度矢与矢径的矢量积；
（2）作定轴转动刚体上任意一点的切向加速度等于角加速度矢与矢径的矢量积，法向加速度等于角速度与速度的矢量积。

(a)
(b)
图6-7
图6-8
例题6-1如图6-8所示，曲柄OA 绕O 轴转动，其转动方程为24t =ϕ(rad)，BC 杆绕C 轴转动，且杆OA 与杆BC 平行等长，OA =BC =0.5m ，试求当s t 1=时，直角杆ABD 上D 点的速度和加速度。

解：由于OA 与BC 平行等长，则直角杆ABD 作平移，因此由平移的定义知：计算D 点的速度和加速度，只需计算A 点的速度和加速度即可。

曲柄OA 的角速度由式（6-5）得
t dt
d ω8==ϕ（rad/s ）
曲柄OA 的角加速度由式（6-6）得
8==dt
d ωα（rad/s 2）
当s t 1=时：
（1）直角杆ABD 上D 点的速度 由式（6-9）得
4850=⨯==.ωOA ωR =v （m/s ）
方向垂直OA 指向角速度方向。

（2）直角杆ABD 上D 点的加速度 切向加速度由式（6-10）得
4850=⨯==.OA αR =a τα（m/s 2） 法向加速度由式（6-11）得
32850222=⨯==.ωOA ωR =a n （m/s 2）
全向加速度由式（6-12）得：
2532324222
2.=a +a =a n =+τ（m/s 2）
全向加速度与法线间的夹角由式（6-13）得
12508
8
22.ω=a a =tan n ==αθτ
其中o .137=θ。

例题6-2鼓轮O 轴转动，其半径为m 20.R =，转动方程为t t 42+-=ϕ(rad)，如图6-9所示。

绳索缠绕在鼓轮上，绳索的另一端悬挂重物A ，试求当s t 1=时，轮缘上的点M 和重物A 的速度和加速度。

图6-9
解：鼓轮O 轴转动的角速度由式（6-5）得
42+-==t dt
d ωϕ（rad/s ）
鼓轮O 轴转动的角加速度由式（6-6）得
2-==dt
d ωα（rad/s 2）
当s t 1=时：
（1）点M 的速度和加速度 由式（6-9）得
40220..ωR =v M =⨯=（m/s ） 方向垂直R 指向角速度方向。

切向加速度由式（6-10）得
40220.)(.αR =a M τ-=-⨯=（m/s 2）
法向加速度由式（6-11）得
8022022..ωR =a M n =⨯=（m/s 2） 全向加速度由式（6-12）得：
894408040222
2...=a +a =a nM M M =+τ（m/s 2）
全向加速度与法线间的夹角由式（6-13）得
5022
22.ω=a a =tan n =-=αθτ
其中o .5726=θ。

（2）重物A 的速度和加速度 重物A 的速度为
40.=v v M A =（m/s ）
方向铅锤向下。

重物A 的加速度为
40.=a a M τA -=（m/s 2）
与速度方向相反，作减速运动。

例题6-3杆OB 绕O 轴转动，并套在套筒A 中，套筒A 在竖直滑道中运动，如图6-10所示。

已知套筒A 以匀速m /s 1=v 向上运动，滑道与O 轴的水平距离为m 40.l =，试求当杆OB 与水平线的夹角o 30=ϕ时，导的杆OB 的角速度和角加速度。

图6-10
解：由几何关系得
l
vt
tan =
ϕ （1） 由式（1）解得杆OB 绕O 轴转动的转动方程为
l
vt
tan 1-=ϕ （2）
对式（2）求导的杆得OB 的角速度和角加速度为
2
1)
l
(l v ω+==ϕ
（3） 2
2322]
1[2]1[2)l
vt (t )l v ()l vt (l v )l vt (l v ω
α+-=+-== （4） 当o 30=ϕ时，由式（1）得时间
3
34030.v tan l t o ==
代入式（3）和式（4），则杆OB 的角速度和角加速度为
8751
3401140112
2.)
.(.
)l vt (l v ω=⨯+=+==ϕ （rad/s ） n 图6-11
064]
3
4034011[33
404012]1[22
23223.)..(.).()l (t )l v (ωα-=⨯⨯+-=+-== （rad/s 2） 例题6-4变速箱由四个齿轮构成，如图6-11所示。

齿轮Ⅱ和Ⅲ安装在用一轴上，与轴
一起运动，各齿轮的齿数分别为361=z 、1122=z 、323=z 和1284=z ，如主动轴Ⅰ的转数14501=n (r/min)，试求从动轮Ⅳ的转数4n 。

解：在机械中常用齿轮作为传动部件，例如本题中变速箱，是由多组齿轮构成的，起到增速和减速的作用。

在齿轮相互啮合处其速度应相等。

如本例中的主动轮Ⅰ和从动轮Ⅱ，设其角速度分别为1ω、2ω，齿轮的半径分别为1r 和2r ，即
2211r ωr ω= （1）
定义齿轮的传动比12i 等于主动轮的角速度与从动轮角速度的比。

由式（1）有
1
2
2112r r ωωi ==
（2） 由于齿轮啮合时齿距必须相等，而齿距等于齿轮节圆周长与齿轮齿数的比。

若设齿轮齿数分别为1z 、2z ，则有
2
2
1122z r πz r π= （3） 从而由式（2）和由式（3）得
1
2
122112z z r r ωωi ===
（4） 即齿轮传递时，两个齿轮角速度的比等于两个齿轮半径的反比，或等于两个齿轮齿数的反比。

在机械中还有皮带轮传动，如图如图6-12所示。

如不考虑皮带的厚度，并假设皮带与轮无相对滑动，设轮Ⅰ和轮Ⅱ的角速度分别为1ω、2ω，半径分别为1r 和2r ，即
图6-12
2211r ωr ω= （5）
皮带轮的传动比12i 为
1
2
2112r r ωωi ==
（6） 即皮带轮的传递时，两个皮带轮角速度的比等于两个皮带轮半径的反比。

由上面公式解本题。

设四个轮的转数分别为1n 、2n 、3n 、4n ，且有
22n n = 12
2112z z n n i == 34
4334z z n n i ==
将两式相乘得
3
14
24114z z z z n n i ==
解得从动轮Ⅳ的转数4n 为
117128
11232361450423114=⨯⨯⨯==z z z z n n （r/min ） 6.4 本章小结
1．刚体平行移动
平行移动：在运动过程中，刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行。

（1）平移刚体上各点的轨迹形状相同；
（2）在同一瞬时，平移刚体上各点的速度相等，各点的加速度相等。

因此，刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究，即点的运动学。

2．刚体的定轴转动
刚体的绕定轴转动：在运动过程中，刚体上存在一条不动的直线段。

刚体定轴转动的运动方程： f(t)=ϕ
角速度： ）或ϕϕ ==(dt
d ω， 单位为弧度/秒（rad/s ） 角加速度： ）（或ϕϕα ====ωdt d dt d ω2
2， 单位为弧度/秒2（2rad/s ） 工程中转速n ：单位为转/分（m in)r/，转速与角速度的关系：
30
602n πn πω==（rad/s ）
4．转动刚体上各点的速度和加速度 速度： ωR =v 切向加速度： αR =a τ 法向加速度： 2ωR =a n
全向加速度： 4222ω+αR =a +a =a n τ
全向加速度与法线间的夹角： 2ωα
=a a =t a n n
τθ 5．点的速度和加速度的矢量表示 角速度矢： k ωω= 角加速度矢： k ωαα== 速度v 矢： r ×ω=v 加速度矢： v ωr α=a ⨯+⨯ 切向加速度矢： r α=a τ× 法向加速度矢： v ω=a n ×。