讲7麦克斯韦方程组
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1880年赫兹和亥维赛(Oliver Heaciside，1850-1925，英 国物理学家 )把麦克斯韦当初以直角坐标分量给出的20个标 量方程组简化成四个矢量方程。
1895年意大利的马可尼、俄国的波波夫分别实现无线电 传播，并很快投人实际使用。
无线电广播，1906年，美国R.A.费森登，50kHz
D感
0
D＝ D库仑＋ D感
D＝
高斯定理
一般电场：
一般电场的 基本方程
E E库仑电场 E感应场, D D库仑电场 D感应场
E＝－
B
t
法拉第电磁感应定律
D＝
高斯定理
磁场 (Magnetic Field )
一般磁场
H H恒磁场 H时变场
B B恒磁场 B时变场
全电流定律 磁通连续性定理
1861年，麦克斯韦写了《论物理力线》，提出: 一个关于力线的机械模型，即电磁以太模型。 创造性地提出位移电流和涡旋电场的两大重要假设。 提出光波就是电磁波的理论。
1865年，发表了《电磁场的动力学理论》，用场的观点总 结了电磁理论，构建了全新的理论框架。
1873年，麦克斯韦出版了《电磁学通论》一书，进一步 将电磁学实验规律和定理定律，综合概括在一个方程组中， 以简洁的数学结构，揭示了电场和磁场内在的完美对称。 《电磁学通论》是人类第一个有关经典场论的不朽之作。
kz)
J E
z y x
z
y x
B
ex
Hm
0
cos(t
kz)
E
ey
k
0
Hm
sin(t
kz)
天线的放置状态影响接收效率。
天线的尺寸影响接收效率。
若天线的尺寸与波长相比拟， 需要考虑天线上的感应电流产 生的场对空间场的影响，从而 影响天线上的感应电流，需要 由麦氏方程和边界条件精确求 解。
z y x
z
y x
H exHm cos(t kz)A/ m
E
ey
k
0
Hm
cos(t
k z)
动画演示矢量场随着时间变化的情 况。
H
D t
e y k Hm
sin(t
kz)
E
B t
ex 0 H m
sin(t
kz)
例2 求电导率为σ的导电媒质内部 的电荷密度ρ 。
解 ：本构关系 J E
静电场 共同点： 对电荷有力的作用 不同点： 由电荷产生
l E静 dl 0
感应电场 对电荷有力的作用
由变化的磁场产生
l E感 dl 0
（保守场）
电力线起始于正电 荷止于负电荷
（旋涡场） E感线为无头无尾
的闭合曲线。
直流电流与感应电流/时变电流的比较
共同点： ★都是导体中自由电荷在电场的作用下运动形成 ★都满足欧姆定律和焦耳定律 ★都能产生磁场
赫兹 (1857-1894) 德国物理学家
1878年是基尔霍夫和亥姆霍兹的学生(柏林大学)。 1880年获博士学位。 1885年发现电磁波。
1889年到波恩大学任教。
1886年，赫兹作成电磁波检验器并宣布“电磁感应是以 波动形式在空气中传播的。”
赫兹在1888年证明了电磁波的存在。这样由法拉第开创， 麦克斯韦建立，赫兹验证的电磁场理论向全世界宣告了它的 胜利。
J dm Jcm
2f0 r
2 106 1 109 81 36
4
9 8
103
1.125103
B 0 例求解ED：2ED自teeex由Dxx。20H11空452.5e5Dx间0t8211d无15e0et0x1源x130341，6Hcyc03eoz已ocxs6so(知211s(11sei500(n0时1x7(97041变71t01t2071场5t036t30H1603010y3y03101ye370zcy444so)ci4)nso1()4(11s00)(017670c7totst(1330H0703E0yyt＝yJ3－4D40)4)＝y)BtD4t)
H y x
H x y
Jz
Dz t
B 0
D＝
Bx By Bz 0 x y z
Dx Dy Dz
x y z
媒质及本构关系
简单媒质： D E B H
J E
E＝－
B
t
H
J
D
t
E
u
H
H
E
t
E
t
D＝
B 0
E
H 0
例2.5.4自由空间的磁场强度为
36
5.8
1
36 5.8
1016
1.51019 s
例2.5.3海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81若
E exEm cost
，频率为1MHz，求位移电流与传导电流的幅度的比值。
解： 传导电流
Jc E exEm cost
位移电流
Jd
D t
E t
exEm sin t
Jcm | Em | Jdm | Em |
加热金属材料的时变电流的频率不能太高；而加热非金属材料的频率相对比 较高。
2.5.2 位移电流
麦克斯韦《电磁场的动力学理论》
i上 (t)
CH dl i(t)
i下 (t) 0
C
~
i下 (t) i下 (t)
产生磁场的电流源除了传导电流和运流电流还有位移电流。
H
J
D
t
H
J
D
全电流定律
麦克斯韦的电磁理论发表后，由于理论难懂，无实验验证，并未受到重 视。
2.5 电磁感应定律和位移电流 2.5.1 电磁感应定律
电磁感应现象 当一闭合回路所包围的面积内的磁通量发生变化时 ，回路中就产生电流，这种电流被称为感应电流，这 一现象被称为电磁感应现象。
回路中感应电流的方向，总是 使感应电流所激发的磁场来阻止引 起感应电流的磁通量的变化。
不同点：
直流电流
导体内维持恒定的电场需电源和导体形成闭 合回路。
感应电流/时变电流
导体内的电场由变化的磁场产生；不需 要闭合回路。
真空高频感应电炉的外部及内部结构。
电磁炉的工作频率30KHVz，炉面是耐热陶瓷板，交变电流通 过陶瓷板下方的线圈产生时变磁场，在铁锅、不锈钢锅技术内 部产生涡流，令锅底迅速发热，达到加热食品的目的。
麦克斯韦(1831-1879)电磁场理论的建立
英国物理学家、数学家。11月13日出生于 爱丁堡时，是法拉第发现电磁感应后2个多月。 15岁在“爱丁堡皇家学报”发表论文，1854年 从剑桥大学毕业，卡文迪什试验室首任主任。
1856年，麦克斯韦发表了《论法拉第力线》 一文，受到法拉第的赞赏。 1860年，70岁的 法拉第和30岁的年轻人麦克斯韦见面了，建立 电磁理论的共同心愿，法拉第对麦克斯韦 说:“你不要停留在用数学来解释我的观点上， 而应该突破它。”
电场 (Electric Field )
E E库仑电场 E感应场,
E感＝－
B t
D D库仑电场 D感应场
旋度方程
库仑电场 感应电场 一般电场
EE感库＝仑＝－0Bt
E＝ E库仑＋ E感 E感
B
t
E＝－
B
法拉第电磁感应定律
t
散度方程 库仑电场
感应电场
一般电场
D库仑
法拉第提出力线描写电磁作用。
1831年8月29日，法拉第电磁感应定律，变化的磁场能 激发电流。1833年，楞茨发现楞茨定律，判断感应电 流的方向。
当法拉第在演示他的电磁感应现象时，一位贵妇曾问道： “您的电流计指针动一下有什么意义呢？”法拉第回答道： “夫人，当一个婴孩诞生的时候，您会想到他将会完成何 等事业吗？” 1888年南斯拉夫出生的美国发明家特斯拉 发明了交流电动机。
H exHm cos(t kz)A/ m
，
k为常数。求位移电流密度和电场强度
解：
D t
D
H
ey
H x z
ey k Hm
sin(t
k z)
J d t eykHm sin(t kz)
D
D
t k
ey
dt
ey
[k
Hm
cos(t
Hm cos(t kz)
kz) C]
D
(3)
J
t
三者 成立！
? D
t
H
J
D
t
H
(J
D
)
J
t D
J
t
(
D)
t
J
0
t
H J ?
(J ?) 0
J
t
J
t
D
i上
(t)
i
上 位移
CH dl i(t) S t dS
i
下 位移
C
~
产生磁场的电流源除了传导电流和运流电流还有位移电流。
2.6 麦克斯韦方程组 ( Maxwell Equations )
E
B
t
麦克 斯韦
电场变化产生磁场
1864年，麦克斯韦，位移电流
H
J
D
方程 组
t
1785年，库仑定律
D
1820年，安培定律
B 0
变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场
电磁波
法拉第(1791-1867): 英国物理学家
法拉第是一个穷铁匠的儿子，兄妹10人。小 学没毕业就失学，当了装订工。但失学不失志， 经常阅读书报。当了戴维助手。1821年受任为 皇家研究所试验室主任,开始电磁学的研究。
E＝－
B
t
H
J
D
t
D＝
B 0
E＝－
B
H
J
t
D
t
D＝
B 0
Maxwell方程组的标量方程
E＝－
B
t
H
J
D
t
H z y
H y z
Jx
Dx t
H x z
H z x
Jy
Dy t
Ez Ey Bx y z t Ex Ez By z x t Ey Ex Bz x y t
H
J
D
t
B 0
麦克斯韦方程组 （Maxwell equations）
微分形式
积分形式
麦 克 斯
E＝－
B
t
H
J
D
t
l
E
dl＝－S
B t
dS
l
H
dl＝S
(
J
D t
)
dS
韦
方 D＝
程 组
B 0
SD
dS＝Q
SB dS＝0
电流连续性方程
ຫໍສະໝຸດ Baidu J
t
SJ
dS
dq dt
高斯定理
E
J
电流连续性方程
J
t
0
exp
t C
/ m2
t
ρ随时间按指数减小
驰豫时间 ：ρ衰减至ρ0的1/e即36.8%的时间,
良导体内电荷/电流衰减极快， 电荷/电流仅分布在导体表面一 薄层内。
若导体为铜， 5.8107 S / m,
1 109 F / m 36
1 109 1 107
2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组
作业题:V4， 2.28(1)
静止电荷和恒定电流产生的电场和磁场是静态场。
静态场：电场和磁场相互独立。
静电场的基本方程
D
恒磁场的基本方程
B 0
电流连续性方程
J
0t
E 0
H J
电荷、电流随时间变化
时变电磁场
磁场变化感应出电场
1831年，法拉第电磁感应定律
dt
发*麦一克种斯电l韦场E的，感假这 设d种l：电变场dd化t就S磁称B场为 d在感S 其应 周电围场S 激E感Bt
dS
l E感 dl
B
dS
S t
E感
B t
感应电场存在于空间任意一点
B
l E感 dl
S E感 dS
S t
dS
I
N S
感应电场与静电场的比较
麦克斯韦(James Clerk Maxwell )，著名的英国物理学家，1831 年 6月13日生于爱丁堡，1879年11月 5日卒于剑桥。
麦克斯韦1854年毕业于剑桥大学三一学院并获数学学位。1856 年在苏格兰的马里歇尔学院任自然哲学教授，1860年到伦敦国王学 院任教。中途离休几年后，到剑桥大学任第一任卡文迪什实验物理 教授。
I
N
S
法拉第电磁感应定律
规定回路中的感应电动势的参考方向与穿过 该回路所围面积的磁通量符合右手螺旋关系，
d
dt
N匝线圈串联时的法拉第电磁感应定律
d dt
d dt
N
i
i 1
* 只要磁通量发生变化就有感应电动势。
* 要形成感应电流，除磁通量发生变化外，
还要有闭合导体回路（×）！
I
N
S
B
法拉第电磁感应定律 d
H
2H t 2
E
1
0
D
ey
k
0
Hm
cos(t
k z)
k
0 0
从感应电动势的角度考虑：
闭合线圈平行于x轴放置，
没有感应电流。
B ex0Hm cos(t kz)
d dt
S
B t
从感应电场的角度考虑：若导 线垂直于y轴，感应电流为0。
若导线平行于y轴，感应电流 最大。
E
ey
k
0
Hm
sin(t
Jt Jc Jv Jd
通常把传导电流和运流电流叫做真实电流，以便与位移电流区分开
2.5.2 位移电流
麦克斯韦位移电流假设，
《电磁场的动力学理论》
安培环路定律
H J
H
J
D
t
电流连续性方程
H 0
J
t
J 0
时变场，矛盾！
变化的电场将感应出磁场。
(1) H J ?
(2) (J ?) 0
t
1）变化的电场可等效于一种电流,称为位移电流，J d
D t
2）位移电流不是带电粒子的定向运动形成，不能直接用实验测出。
3）位移电流在产生磁场方面与传导电流等效。
4）位移电流存在于真空和一切介质中，频率越高，位移电流越大。
传导电流 运流电流
Jc
E
Jv v
全电流：传导电 流+运流电 流+位移电流的代数和。
1895年意大利的马可尼、俄国的波波夫分别实现无线电 传播，并很快投人实际使用。
无线电广播，1906年，美国R.A.费森登，50kHz
D感
0
D＝ D库仑＋ D感
D＝
高斯定理
一般电场：
一般电场的 基本方程
E E库仑电场 E感应场, D D库仑电场 D感应场
E＝－
B
t
法拉第电磁感应定律
D＝
高斯定理
磁场 (Magnetic Field )
一般磁场
H H恒磁场 H时变场
B B恒磁场 B时变场
全电流定律 磁通连续性定理
1861年，麦克斯韦写了《论物理力线》，提出: 一个关于力线的机械模型，即电磁以太模型。 创造性地提出位移电流和涡旋电场的两大重要假设。 提出光波就是电磁波的理论。
1865年，发表了《电磁场的动力学理论》，用场的观点总 结了电磁理论，构建了全新的理论框架。
1873年，麦克斯韦出版了《电磁学通论》一书，进一步 将电磁学实验规律和定理定律，综合概括在一个方程组中， 以简洁的数学结构，揭示了电场和磁场内在的完美对称。 《电磁学通论》是人类第一个有关经典场论的不朽之作。
kz)
J E
z y x
z
y x
B
ex
Hm
0
cos(t
kz)
E
ey
k
0
Hm
sin(t
kz)
天线的放置状态影响接收效率。
天线的尺寸影响接收效率。
若天线的尺寸与波长相比拟， 需要考虑天线上的感应电流产 生的场对空间场的影响，从而 影响天线上的感应电流，需要 由麦氏方程和边界条件精确求 解。
z y x
z
y x
H exHm cos(t kz)A/ m
E
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Hm
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k z)
动画演示矢量场随着时间变化的情 况。
H
D t
e y k Hm
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kz)
E
B t
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sin(t
kz)
例2 求电导率为σ的导电媒质内部 的电荷密度ρ 。
解 ：本构关系 J E
静电场 共同点： 对电荷有力的作用 不同点： 由电荷产生
l E静 dl 0
感应电场 对电荷有力的作用
由变化的磁场产生
l E感 dl 0
（保守场）
电力线起始于正电 荷止于负电荷
（旋涡场） E感线为无头无尾
的闭合曲线。
直流电流与感应电流/时变电流的比较
共同点： ★都是导体中自由电荷在电场的作用下运动形成 ★都满足欧姆定律和焦耳定律 ★都能产生磁场
赫兹 (1857-1894) 德国物理学家
1878年是基尔霍夫和亥姆霍兹的学生(柏林大学)。 1880年获博士学位。 1885年发现电磁波。
1889年到波恩大学任教。
1886年，赫兹作成电磁波检验器并宣布“电磁感应是以 波动形式在空气中传播的。”
赫兹在1888年证明了电磁波的存在。这样由法拉第开创， 麦克斯韦建立，赫兹验证的电磁场理论向全世界宣告了它的 胜利。
J dm Jcm
2f0 r
2 106 1 109 81 36
4
9 8
103
1.125103
B 0 例求解ED：2ED自teeex由Dxx。20H11空452.5e5Dx间0t8211d无15e0et0x1源x130341，6Hcyc03eoz已ocxs6so(知211s(11sei500(n0时1x7(97041变71t01t2071场5t036t30H1603010y3y03101ye370zcy444so)ci4)nso1()4(11s00)(017670c7totst(1330H0703E0yyt＝yJ3－4D40)4)＝y)BtD4t)
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媒质及本构关系
简单媒质： D E B H
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例2.5.4自由空间的磁场强度为
36
5.8
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1016
1.51019 s
例2.5.3海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81若
E exEm cost
，频率为1MHz，求位移电流与传导电流的幅度的比值。
解： 传导电流
Jc E exEm cost
位移电流
Jd
D t
E t
exEm sin t
Jcm | Em | Jdm | Em |
加热金属材料的时变电流的频率不能太高；而加热非金属材料的频率相对比 较高。
2.5.2 位移电流
麦克斯韦《电磁场的动力学理论》
i上 (t)
CH dl i(t)
i下 (t) 0
C
~
i下 (t) i下 (t)
产生磁场的电流源除了传导电流和运流电流还有位移电流。
H
J
D
t
H
J
D
全电流定律
麦克斯韦的电磁理论发表后，由于理论难懂，无实验验证，并未受到重 视。
2.5 电磁感应定律和位移电流 2.5.1 电磁感应定律
电磁感应现象 当一闭合回路所包围的面积内的磁通量发生变化时 ，回路中就产生电流，这种电流被称为感应电流，这 一现象被称为电磁感应现象。
回路中感应电流的方向，总是 使感应电流所激发的磁场来阻止引 起感应电流的磁通量的变化。
不同点：
直流电流
导体内维持恒定的电场需电源和导体形成闭 合回路。
感应电流/时变电流
导体内的电场由变化的磁场产生；不需 要闭合回路。
真空高频感应电炉的外部及内部结构。
电磁炉的工作频率30KHVz，炉面是耐热陶瓷板，交变电流通 过陶瓷板下方的线圈产生时变磁场，在铁锅、不锈钢锅技术内 部产生涡流，令锅底迅速发热，达到加热食品的目的。
麦克斯韦(1831-1879)电磁场理论的建立
英国物理学家、数学家。11月13日出生于 爱丁堡时，是法拉第发现电磁感应后2个多月。 15岁在“爱丁堡皇家学报”发表论文，1854年 从剑桥大学毕业，卡文迪什试验室首任主任。
1856年，麦克斯韦发表了《论法拉第力线》 一文，受到法拉第的赞赏。 1860年，70岁的 法拉第和30岁的年轻人麦克斯韦见面了，建立 电磁理论的共同心愿，法拉第对麦克斯韦 说:“你不要停留在用数学来解释我的观点上， 而应该突破它。”
电场 (Electric Field )
E E库仑电场 E感应场,
E感＝－
B t
D D库仑电场 D感应场
旋度方程
库仑电场 感应电场 一般电场
EE感库＝仑＝－0Bt
E＝ E库仑＋ E感 E感
B
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E＝－
B
法拉第电磁感应定律
t
散度方程 库仑电场
感应电场
一般电场
D库仑
法拉第提出力线描写电磁作用。
1831年8月29日，法拉第电磁感应定律，变化的磁场能 激发电流。1833年，楞茨发现楞茨定律，判断感应电 流的方向。
当法拉第在演示他的电磁感应现象时，一位贵妇曾问道： “您的电流计指针动一下有什么意义呢？”法拉第回答道： “夫人，当一个婴孩诞生的时候，您会想到他将会完成何 等事业吗？” 1888年南斯拉夫出生的美国发明家特斯拉 发明了交流电动机。
H exHm cos(t kz)A/ m
，
k为常数。求位移电流密度和电场强度
解：
D t
D
H
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k z)
J d t eykHm sin(t kz)
D
D
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三者 成立！
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上 位移
CH dl i(t) S t dS
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~
产生磁场的电流源除了传导电流和运流电流还有位移电流。
2.6 麦克斯韦方程组 ( Maxwell Equations )
E
B
t
麦克 斯韦
电场变化产生磁场
1864年，麦克斯韦，位移电流
H
J
D
方程 组
t
1785年，库仑定律
D
1820年，安培定律
B 0
变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场
电磁波
法拉第(1791-1867): 英国物理学家
法拉第是一个穷铁匠的儿子，兄妹10人。小 学没毕业就失学，当了装订工。但失学不失志， 经常阅读书报。当了戴维助手。1821年受任为 皇家研究所试验室主任,开始电磁学的研究。
E＝－
B
t
H
J
D
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D＝
B 0
E＝－
B
H
J
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D
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D＝
B 0
Maxwell方程组的标量方程
E＝－
B
t
H
J
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H y z
Jx
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H x z
H z x
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Ez Ey Bx y z t Ex Ez By z x t Ey Ex Bz x y t
H
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麦克斯韦方程组 （Maxwell equations）
微分形式
积分形式
麦 克 斯
E＝－
B
t
H
J
D
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E
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B t
dS
l
H
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程 组
B 0
SD
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SB dS＝0
电流连续性方程
ຫໍສະໝຸດ Baidu J
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SJ
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高斯定理
E
J
电流连续性方程
J
t
0
exp
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/ m2
t
ρ随时间按指数减小
驰豫时间 ：ρ衰减至ρ0的1/e即36.8%的时间,
良导体内电荷/电流衰减极快， 电荷/电流仅分布在导体表面一 薄层内。
若导体为铜， 5.8107 S / m,
1 109 F / m 36
1 109 1 107
2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组
作业题:V4， 2.28(1)
静止电荷和恒定电流产生的电场和磁场是静态场。
静态场：电场和磁场相互独立。
静电场的基本方程
D
恒磁场的基本方程
B 0
电流连续性方程
J
0t
E 0
H J
电荷、电流随时间变化
时变电磁场
磁场变化感应出电场
1831年，法拉第电磁感应定律
dt
发*麦一克种斯电l韦场E的，感假这 设d种l：电变场dd化t就S磁称B场为 d在感S 其应 周电围场S 激E感Bt
dS
l E感 dl
B
dS
S t
E感
B t
感应电场存在于空间任意一点
B
l E感 dl
S E感 dS
S t
dS
I
N S
感应电场与静电场的比较
麦克斯韦(James Clerk Maxwell )，著名的英国物理学家，1831 年 6月13日生于爱丁堡，1879年11月 5日卒于剑桥。
麦克斯韦1854年毕业于剑桥大学三一学院并获数学学位。1856 年在苏格兰的马里歇尔学院任自然哲学教授，1860年到伦敦国王学 院任教。中途离休几年后，到剑桥大学任第一任卡文迪什实验物理 教授。
I
N
S
法拉第电磁感应定律
规定回路中的感应电动势的参考方向与穿过 该回路所围面积的磁通量符合右手螺旋关系，
d
dt
N匝线圈串联时的法拉第电磁感应定律
d dt
d dt
N
i
i 1
* 只要磁通量发生变化就有感应电动势。
* 要形成感应电流，除磁通量发生变化外，
还要有闭合导体回路（×）！
I
N
S
B
法拉第电磁感应定律 d
H
2H t 2
E
1
0
D
ey
k
0
Hm
cos(t
k z)
k
0 0
从感应电动势的角度考虑：
闭合线圈平行于x轴放置，
没有感应电流。
B ex0Hm cos(t kz)
d dt
S
B t
从感应电场的角度考虑：若导 线垂直于y轴，感应电流为0。
若导线平行于y轴，感应电流 最大。
E
ey
k
0
Hm
sin(t
Jt Jc Jv Jd
通常把传导电流和运流电流叫做真实电流，以便与位移电流区分开
2.5.2 位移电流
麦克斯韦位移电流假设，
《电磁场的动力学理论》
安培环路定律
H J
H
J
D
t
电流连续性方程
H 0
J
t
J 0
时变场，矛盾！
变化的电场将感应出磁场。
(1) H J ?
(2) (J ?) 0
t
1）变化的电场可等效于一种电流,称为位移电流，J d
D t
2）位移电流不是带电粒子的定向运动形成，不能直接用实验测出。
3）位移电流在产生磁场方面与传导电流等效。
4）位移电流存在于真空和一切介质中，频率越高，位移电流越大。
传导电流 运流电流
Jc
E
Jv v
全电流：传导电 流+运流电 流+位移电流的代数和。