蒙特卡罗方法及其应用

计算机处理之蒙特卡罗方

法及其应用

【标题】蒙特卡罗方法及其应用

【摘要】

蒙特卡罗方法是一种随即抽样方法，建立一个与求解有关的概率模型或随即现象来求得所要研究的问题的解。这种利用计算机进行模拟的抽样方法以其精度高，受限少等优点广泛应用于数理计算，工程技术，医药卫生等领域。本文介绍蒙特卡罗方法的简要内容，起源，基本思路及应用优点，并简要介绍了一些蒙塔卡罗方法在相关医学方面的应用，并提出了一些今后发展与应用上的展望。

【关键词】

蒙特卡罗方法基本内容应用

【正文】

一蒙特卡罗方法简介

1 概述

蒙特卡罗(Monte Carlo) 方法, 又称随机抽样法，统计试验法或随机模拟法。是一种用计算机模拟随机现象,通过仿真试验,得到实验数据,再进行分析推断,得到某些现象的规律或某些问题的求解的方法。蒙特卡罗方法的基本思想是,为了求解数学、物理、工程技术或生产管理等方面的问题,首先建立一个与求解有关的概率模型或随机

过程,使它的参数等于所求问题的解,然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征,最后给出所求解的近似值。

概率统计是蒙特卡罗方法的理论基础,其手段是随机抽样或随机变量抽样。对于那些难以进行的或条件不满足的试验而言,是一种极好的替代方法。蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，很少受几何条件限制，收敛速度与问题的维数无关。

例如在许多工程、通讯、金融等技术问题中,所研究的控制过程往往不可避免地伴有随机因素,若要从理论上很好地揭示实际规律,必须把这些因素考虑进去。理想化的方法是在相同条件下进行大量重复试验,采集试验数据,再对数据进行统计分析,得出其规律。但是这样需要耗费大量的人力、物力、财力,尤其当一个试验周期很长,或是一个破坏性的试验时,通过试验采集数据几乎无法进行,此时蒙特卡罗方法就是最简单、经济、实用的方法。因此它广泛应用在粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。

蒙特卡罗方法研究的问题大致可分为两种类型,一种是问题本身是随机的;另一种本身属于确定性问题,但可以建立它的解与特定随机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系,因而也可用随机模拟方法解决,如计算多重积分,求解积分方程、微分方程、非线性方程组,求矩阵的逆等。

2 起源

蒙特卡罗方法的起源可以追溯到18世纪著名的蒲丰问题, 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出用投针试验计算圆周率π值的问题。

2.1蒲丰问题

蒲丰问题是一个古典概率问题,在平面上有彼此相距为2a的平行线,向平面任意投一长度为2l的针,假定l

由(2)式可知,要求解π就必须知道p,而采用常用的方法是无法得到p 的,然而,从统计学的角度却可以通过实验来得到p,这就是进行投针实验. 投针实验N次可能有n次针与平行线相交,当N充分大时,可以认为

显然,实验次数N越多, p的近似程度越好。需要指出的是,上述由投针试验求得π的近似值的方法,是进行真正的试验,并统计试验结果,要使获得的频率值与概率值偏差小,就要进行大量的试验,这在实际中,往往难以做到。所以,在现代计算机技术出现之前,用频率近似概率的方法—抑或称为雏形时代的蒙特卡罗方法—并没有得到实质上的应用。

2.2蒙特卡罗方法与蒲丰问题

随着计算机和计算机技术的迅速发展,可以非常方便地利用计算机模拟随机实验。用数值模拟方法代替上述真正的投针实验,是利用均匀分布于( 0, 1)之间的随机数序列,并构造出随机投针的数学模型,然后进行大量的随机统计并求得到π的近似值。

如图1建立坐标系,平面上一根针的位置可以用针中心Ml 的坐标

x和针与平行线的夹角θ来决定,在y方向上的位置不影响相交性质,任意投针,意味着x与θ都是任意取的. 但θ的范围可限于[ 0, π] , x的范围可限于[ 0, a ] ,在这种情况下,针与平行线相交的数学条件是

其次,怎样模拟投针呢? 亦即如何产生任意的[ x,θ] , x在[ 0, a ]任意取值,意味着x在[ 0, a ]上取哪一点的概率都一样,即x的概率密度函数为

由此,产生任意( x, θ)的过程就变为由f1 ( x)抽样x,由f2 (θ)抽样θ的过程,容易得到

式中, ξ1 , ξ2均为(0, 1)上均匀分布的随机数,只要随机数的均匀性和独立性良好,如此构造的数值模型就很好地模拟了实际试验中的一次投针,并用下式判断是否相交且记录统计结果:

是相交几率p的估计值,这样就实现了用数值方法模拟真正投针实验。

3蒙特卡罗方法的基本思路和特点

用蒙特卡罗方法求解问题时,应建立一个概率模型,使待解问题与此概率模型相联系,然后通过随机试验求得某些统计特征值作为待解问题的近似解,与此相似,在一些物理问题,如核裂变、直流气体放电等过程中,粒子的输运过程及粒子输运总效应,也是可以与某些概率过程联系起来,例如,电子与原子、分子、离子的碰撞过程,实际上就是与碰撞截面有关的概率过程,这样,从数学物理特征来说,类似于用随机投针方法计算π的近似值,确定条件下的核裂变、直流气体放电中粒子的输运过程及粒子输运的总效应可以用多次掷骰子的方法近似求出。

随着现代计算机技术的出现和飞速发展,用计算机模拟概率过程,

实现多次模拟试验并统计计算结果,进而可获得所求问题的近似结果,计算机的大存储量、高运算速度使得在短时间内,获得精度极高且内容丰富的模拟结果,在历史上,也正是原子弹工程研究初期阶段的工作,为模拟裂变物质的中子随机扩散,提出了运用大存储量、高运算速度计算机的要求,这也成为当时推动计算机技术发展的重要动力,也就是在第二次世界大战期间,冯·诺依曼和乌拉姆两人把他们所从事的与研制原子弹有关的秘密工作—对裂变物质的中子随机扩散进行直接模拟—以摩纳哥国的世界闻名赌城蒙特卡罗(Monte Carlo)作为秘密代号来称呼。用赌城名比喻随机模拟,风趣又贴切,很快得到了广泛接受,此后,人们便把这种计算机随机模拟方法称为蒙特卡罗方法。二蒙特卡罗方法在相关医学方面的应用

（一）蒙特卡罗方法在辐射防护中的应用

1 蒙特卡罗方法与MCNP程序

蒙特卡罗方法利用已知的光子反应截面数据, 模拟各种微观物理过程, 通过概率抽样对源粒子的行为进行跟踪, 决定每次碰撞后次级粒子的运动方向和速度。根据需要对相应的物理量进行统计, 逐次跟踪下去, 就可以得到所需的结果。该方法相当于一种计算机模拟实验。

由于射线与物体作用是一个随机过程, 所得到的宏观物理量又是一个统计值, 对复杂条件下辐射场的计算, 射线衰减与散射过程及空间物质的几何分布有关, 做准确的解析困难很大。在这种情况下, 蒙特卡罗方法是很有效的求解方法。