n阶行列式的定义汇总

§2.3
n阶行列式的定义
问题：如何定义n阶行列式？ 一、二阶与三阶行列式的构造
a11 a12 a21 a22 a11a22 a12 a21 1
j1 j2
j1 j2
a1 j1 a2 j2
特点： （1）二阶行列式是一个含有 2! 项的代数和； （2）每一项都是两个元素的乘积，这两个元 素既位于不同的行，又位于不同的列， 并且展开式恰好是由所有这些可能的乘 积组成； （3）任意项中每个元素都带有两个下标，第 一个下标表示元素所在行的位置，第二 个下标表示该元素所在列的位置。当把
1 1 s s t t n n
s s
s s
1 1
t t
s s
n n
( j1
故 与
(i1
is
(i1
(i1
js it
it
jt
in ) 与 (i1
jn ) 与 ( j1
it
jt
is
js
in ) js
jn )
的奇偶性互化，
is
is
in )
it
+ ( j1
in ) + ( j1
jt
jt
Байду номын сангаасjn )—(3)
js
jn ) 有相同的奇偶性
2、逐次交换（1）中的元素的次序，可以把（1）化为
第二章 行列式
—（4） 而（4）的行下标与列下标所成排列和 12 n k1k2 kn k1k2 kn 的奇偶性与（3）相同，于是 i1 is it in j1 js jt jn k1k2 1 1
1 2 n
1 2
n
j1 j2
jn
1
2
n
根据定义可知： n阶行列式共由n!项组成；


要计算n阶行列式，首先作出所有可能的位于 不同行不同列元素构成的乘积； 把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺
行列式
第二章

序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定； n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。
2、例子 例2.3.1：计算行列式
二、n阶行列式的定义 a1n 1、 a11 a12
D a21 an1
第二章
a22
a2 n ann
为一个n阶行列式，它等于所有
an 2
行列式
取自不同行不同列的n个元素乘积 a1 j1 a2 j2 anjn 的代 数和，这里 j1 , j2 , , jn 是 1, 2, , n 的一个排列。 每一 项 a1 j a2 j anj 中把行下标按自然顺序排列后，其符号 由列下标排列 j1 j2 jn 的奇偶性决定。当 j1 j2 jn 是 偶排列时取正号，当 j1 j2 jn 是奇排列时取负号， 即 D 1 j j j a1 j a2 j anj
a23a12 a41a34 , 是，取符号：-1
第二章 行列式
a g 例2.3.5：设 D2 s w
b c d h p q t u v x y z
问：（1）dhsy与ptaz是否为 D2 的项？应取何符号？ （2） D2 含有t的项有多少？ （6项） 注： 在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标， 即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的行 与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按 照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。 在一般情况下，把n阶行列式中第i行与第j列交叉位置上的元 素记为 aij 在行列式 D 中，从左上角到右下角这条对角线称为主对角线

1
a1 j1 a2 j2 a3 j3 a4 j4
acfh adeh b deg bcfg
例2.3.3：用行列式定义计算
a11 D1 a21 an1
第二章
0 a22 an 2
0 0 ann
a11a22
ann
行列式
a11 D2 0 0
a12 a22 0
a1n a2 n ann
a11a22
a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
ann
a11
a12 a22 a32 a42
例2.3.4：设
D1
a21 a31 a41
问：a13a21a42 , a12a24a32a41 , a14a21a32a43 , a23a12a41a34 , 是不是四阶行列式 D1 的项？ 如果是，应取何符号？ a14 a21a32 a43 , 是，取符号：-1
因此项 ai1 j1 ai2 j2
第二章 行列式
定理2.3.1 在n阶行列式 D 中，项 ai1 j1 ai2 j2 ain jn 所带的符 i1i2 in j1 j2 jn 号是 1 证明：1、交换项 ai j ai j ai j ai j —(1) 中任两个元素 ai j js jt jn ) 与 ait jt 的位置，不改变 (i1 is it in ) ( j1 的奇偶性。把（1）中 ai j 与ait jt 对换后得 ai j ai j ai j ai j —(2) 由于对换改变排列的奇偶性,故
第二章 行列式
每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每 一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排 列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。
对三阶行列式也有相同的特点
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
j1 j2 j3
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32
0 0 D 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
1
4321
a14 a23 a32 a41 24
第二章
行列式
例2.3.2：计算行列式
a 0 0 b 0 0 h
j1 j2 j3 j4
0 c d D 0 e f g 0 0

j1 j2 j3 j4
j1 j2 j3
1
第二章
a1 j1 a2 j2 a3 j3
行列式
特点：（1）共有3！项的代数和； （2） 每一项是三个元素的乘积，这三个元素 既位于不同的行又位于不同的列，展开 式恰由所有这些可能的乘积组成； （3）当把每一项乘积的元素按行下标排成自 然顺序后，每一项的符号由这一项元素 的列指标所成的排列的奇偶性决定。