4.2表上作业法解析
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运筹学
( Operations Research )
Chapter4 运输问题
本章主要内容：
§4.1 运输问题的数学模型 §4.2 表上作业法
§4.3 产销不平衡的运输问题及其求解方法
§4.4 应用举例
Page 3
§4.2 表上作业法
§4.2 表上作业法
Page 4
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单 纯形法。可归纳为： 步骤 描述 方法
A4 10 8 5 6
产量 7 4 9
行差额 0 1 1
产地
B1 B2 B3 销量
列差额
2
5
1
3
§4.2 表上作业法
Page 10
（2）再从行或列差额中选出最大的行或列，找出最小运价 确定供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完或得到 满足时，划去运价表中对应的行或列。重复（1)和（2)， 直到找出初始解为至。
§4.2 表上作业法
方法3：西北角法
Page 15
从表的西北角（左上角）格开始，在格的右下角标上允许 取得的最大数；然后按行（列）标下一格的数；若某行（列） 的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去；如 此进行下去，得到初始基可行解。 B1 B2 B3 B4 产量 A1 A2 A3 销量 7 3 1 7 3
求检验数的方法有两种： 1 闭回路法 2 位势法
§4.2 表上作业法
1. 闭回路法
Page 17
闭回路：它是以某空格为起点。用水平或垂直线向前划，当 碰到一数字格时可以转90°后，继续前进，直到回到起始空格 为止。闭回路如下图的(a),(b),(c)等所示。
为闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个顶点 的连线为闭回路的边。 一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须 转90°与另一顶点连接。
元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地 的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小 运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。
最小元素法： 8 2 总运费=10×8+5×2+15×1=105 15
10 5
5 1
15
10 20
15
§4.2 表上作业法
后一种方案考虑到C11与C21之间的 8 差额是8－2=6，如果不先调运x21， 2 15 就有可能x11≠0，这样会使总运费 增加较大，从而先调运x21，再是x22， 15 其次是x12 总运费=10×5+15×2+5×1=85
3 11
9 4 6
4
3
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2 2
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§4.2 表上作业法
4.2.2 最优解的判别（检验数的求法）
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求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检 验数来判断，记xij的检验数为σij由第一章知，求最小值的运 输问题的最优判别准则是：
所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优
Page 6
基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始调运， 然后次小，直到最后供完为止。 B1 A1 A2 A3 销量 3 11 B2 3 B3 B4 产量 7 4 8 5 5 6
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10
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Baidu Nhomakorabea
3
1 7 3 9 4 6 2
1 6
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§4.2 表上作业法
Page 7
总运输费＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5) =86元 方法2：Vogel法(伏格尔法)或元素差额法
2
产量 7 4
行差 额
0 1
A1 A2 A3
销量 列差额
3 2
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7
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§4.2 表上作业法
单位 销地 运价 产地
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B1 B2 B3 B4
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产量 7 4
行差 额
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A1 A2 A3
销量 列差额
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例4.2 某公司经销甲产品，运输资料如下表所示：
单位 销地 运价
产地
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B1 B2 B3 B4
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产量
A1 A2 A3
销量
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问：在满足各销售点的需要量的前提下，应如何调运可使总
运输费用最小？
§4.2 表上作业法
4.2.1 确定初始可行解 方法1：最小元素法
第一步
求初始基可行解（初始调运方案），即 最小元素法 在产销平衡表中给出m+n-1个数字格。 元素差额法
求非基变量（空格）的检验数并判断是 闭回路法 第二步 否得到最优解。若已得最优解，停止计 位势法 算，否则转第三步。 第三步 换基，对原运量进行调整得到新的基可 行解，转入第二步 闭回路法
§4.2 表上作业法
{x33 , x32 , x12 , x11, x21} 中顶点数是奇数，显然不是闭回路，也
不含有闭回路。
§4.2 表上作业法
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2
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§4.2 表上作业法
单位 销地 运价 产地
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B1 B2 B3 B4
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产量 7 4
行差 额
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销量 列差额
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该方案的总运费:(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋ (1×8)＋(3×5)＝85元
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伏格尔法给出的初始解比用最小元素法给出 的初始解更接近最优解。
§4.2 表上作业法
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（1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小 运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。
单位 销地 运价
A1 3 1 7 3
A2 11 9 4 6
A3 3 2 10 5
§4.2 表上作业法
• 闭回路 {x11 , x41, x43 , x33 , x32 , x12}
B1 A1 A2 A3 x32 x41 x33 x43 x11 B2 x12 B3
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A4
而 {x21 , x25 , x35 , x31 , x11 , x12 }不能构成一条闭回路，但A中包含有 闭回路 {x21 , x25 , x35 , x31} 。
§4.2 表上作业法
单位 销地 运价 产地
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B1 B2 B3 B4
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§4.2 表上作业法
单位 销地 运价 产地
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( Operations Research )
Chapter4 运输问题
本章主要内容：
§4.1 运输问题的数学模型 §4.2 表上作业法
§4.3 产销不平衡的运输问题及其求解方法
§4.4 应用举例
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§4.2 表上作业法
§4.2 表上作业法
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表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单 纯形法。可归纳为： 步骤 描述 方法
A4 10 8 5 6
产量 7 4 9
行差额 0 1 1
产地
B1 B2 B3 销量
列差额
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§4.2 表上作业法
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（2）再从行或列差额中选出最大的行或列，找出最小运价 确定供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完或得到 满足时，划去运价表中对应的行或列。重复（1)和（2)， 直到找出初始解为至。
§4.2 表上作业法
方法3：西北角法
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从表的西北角（左上角）格开始，在格的右下角标上允许 取得的最大数；然后按行（列）标下一格的数；若某行（列） 的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去；如 此进行下去，得到初始基可行解。 B1 B2 B3 B4 产量 A1 A2 A3 销量 7 3 1 7 3
求检验数的方法有两种： 1 闭回路法 2 位势法
§4.2 表上作业法
1. 闭回路法
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闭回路：它是以某空格为起点。用水平或垂直线向前划，当 碰到一数字格时可以转90°后，继续前进，直到回到起始空格 为止。闭回路如下图的(a),(b),(c)等所示。
为闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个顶点 的连线为闭回路的边。 一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须 转90°与另一顶点连接。
元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地 的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小 运价先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。
最小元素法： 8 2 总运费=10×8+5×2+15×1=105 15
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§4.2 表上作业法
后一种方案考虑到C11与C21之间的 8 差额是8－2=6，如果不先调运x21， 2 15 就有可能x11≠0，这样会使总运费 增加较大，从而先调运x21，再是x22， 15 其次是x12 总运费=10×5+15×2+5×1=85
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§4.2 表上作业法
4.2.2 最优解的判别（检验数的求法）
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求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检 验数来判断，记xij的检验数为σij由第一章知，求最小值的运 输问题的最优判别准则是：
所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优
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基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始调运， 然后次小，直到最后供完为止。 B1 A1 A2 A3 销量 3 11 B2 3 B3 B4 产量 7 4 8 5 5 6
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§4.2 表上作业法
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总运输费＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5) =86元 方法2：Vogel法(伏格尔法)或元素差额法
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产量 7 4
行差 额
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单位 销地 运价 产地
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例4.2 某公司经销甲产品，运输资料如下表所示：
单位 销地 运价
产地
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问：在满足各销售点的需要量的前提下，应如何调运可使总
运输费用最小？
§4.2 表上作业法
4.2.1 确定初始可行解 方法1：最小元素法
第一步
求初始基可行解（初始调运方案），即 最小元素法 在产销平衡表中给出m+n-1个数字格。 元素差额法
求非基变量（空格）的检验数并判断是 闭回路法 第二步 否得到最优解。若已得最优解，停止计 位势法 算，否则转第三步。 第三步 换基，对原运量进行调整得到新的基可 行解，转入第二步 闭回路法
§4.2 表上作业法
{x33 , x32 , x12 , x11, x21} 中顶点数是奇数，显然不是闭回路，也
不含有闭回路。
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§4.2 表上作业法
单位 销地 运价 产地
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该方案的总运费:(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋ (1×8)＋(3×5)＝85元
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伏格尔法给出的初始解比用最小元素法给出 的初始解更接近最优解。
§4.2 表上作业法
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（1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小 运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。
单位 销地 运价
A1 3 1 7 3
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§4.2 表上作业法
• 闭回路 {x11 , x41, x43 , x33 , x32 , x12}
B1 A1 A2 A3 x32 x41 x33 x43 x11 B2 x12 B3
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而 {x21 , x25 , x35 , x31 , x11 , x12 }不能构成一条闭回路，但A中包含有 闭回路 {x21 , x25 , x35 , x31} 。
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单位 销地 运价 产地
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