高考数学 直线与圆锥曲线的位置关系 专题

高考数学 直线与圆锥曲线的位置关系 专题
一.选择题
(1) 椭圆14
162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 ( )
A 3 B
11 C 22
D 10
(2) 过抛物线x y 42
=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和
等于5，则这样的直线 ( )
A 有且仅有一条
B 有且仅有两条
C 有无穷多条
D 不存在
(3) 设双曲线122
22=-b
y a x (0<a<b)的半焦距c, 直线l 过(a, 0), (0, b)两点. 已知原点到直线
l
的
距
离
为
4
3
c, 则双曲线的离心率为
( )
A 2
B 3
C 2
D 3
32
(4) 如果椭圆
19
362
2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ( )
A 02=-y x
B 042=-+y x
C 01232=-+y x
D 082=-+y x
(5)过双曲线2x 2-y 2-8x +6=0的由焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点, 若|AB|=4, 则这样 的直线有
( )
A 4条
B 3条
C 2条
D 1条
(6) 已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 ( )
A
2
1 B
23 C 2
7
D 5
(7) 直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M 、N 两点, 椭圆的上顶点为B 点, 若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上, 则直线l 的方程是 ( )
A 5x +6y -28=0
B 5x +6y -28=0
C 6x +5y -28=0
D 6x -5y -28=0
(8) 过抛物线2
y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分
别
为
p
、
q
，
则
11
p q
+等于
( )
A2a B 1
2a
C 4a D
4a
(9) 已知双曲线13
62
2=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为
( ) A 563 B 665 C 5
6
D
6
5 (10) 点P （-3，1）在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左准线上，过点P 且方向为)
5,2(-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 ( )
A 33
B 31
C 2
2
D
2
1 二.填空题
(11) 椭圆
19
252
2=+y x 的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ___________.
(12) 若直线l 过抛物线2
y ax =(a>0)的焦点，并且与y 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a=_______
(13) 过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线14
22
=-y x 的弦所在直线方程
为 .
(14) 已知F 1、F 2是椭圆4
2x +y 2
=1的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF 1|·|PF 2|
的最大值是 . 三.解答题
(15) 如图，O 为坐标原点，过点P （2，0）且斜率为k 的直线
l 交抛物线y 2=2x 于M （x 1,y 1）,N(x 2, y 2)两点． （1）写出直线l 的方程； （2）求x 1x 2与y 1y 2的值； （3）求证：OM ⊥ON ．
(16) 已知椭圆C ：22a x ＋22
b
y ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线
l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB . （Ⅰ）证明：λ＝1－e 2； （Ⅱ）若4
3
=λ，△PF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程.
(17) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+
=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其
中O 为原点）. 求k 的取值范围.
(18) 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值
参考答案
一选择题: 1.D
[解析]：设椭圆14
162
2=+y x 上的点P （4cos θ，2sin θ） 则点P 到直线022=-+y x 的距离
d=
5
|
2)4
sin(24|5
|
2sin 4cos 4|-+=
-+π
θθθ
105
|
224|max =--=
d
2.B
[解析]：过抛物线x y 42
=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，
若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合。

故设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为)1(-=x k y
代入抛物线x y 42
=得，0)2(22
2
2
2
=++-k x k x k
∵A 、B 两点的横坐标之和等于5，∴5)2(22
2=+k k ，342
=k
则这样的直线有且仅有两条
3.A
[解析]：直线l 过(a, 0), (0, b)两点. 即为：0=-+ab ay bx ，故原点到直线l 的距离
22|
|b
a a
b +-=43
c ，222
22163)(c c a c a =- 2216311e e =-
∴e = 3
32 或2，
又0<a<b ，故22
2
2222222
>+>+=
=a a a a b a a c e ∴e = 2
4.D
[解析]：用‘点差法’： 这条弦的两端点位A(x 1,y 1),B （x 2,y 2）,斜率为k,则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1
936
19
362
2222
121y x y x 两式相减再变形得09362121=+++y y k x x 又弦中点为(4，2)，故k=2
1
-
故这条弦所在的直线方程y －2=2
1
-
(x-4) 5.B
[解析]：过双曲线2x 2－y 2
－2=0的由焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点,
若轴，x l ⊥则AB 为通径，而通径长度正好是4，故直线l 交双曲线于同支上的A 、B 两点且|AB|=4，这样的直线只有一条，
若l 经过顶点，此时|AB|=2, 故直线l 交双曲线于异支上的A 、B 两点且|AB|=4，这样的直线有且只有两条， 故选B 。

6.C
[解析]：已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则点P 的轨迹是以A 、
B 为左右焦点的双曲线的右支，
故|PA|的最小值是A 到右顶点的距离，为2+
2
723= 7.D
[解析]：设M （x 1,y 1）、N(x 2,y 2), 而B （0，4）, 又△BMN 的重心恰好落在椭圆的
右焦点（2，0）上, 故x 1+ x 2=6，y 1+ y 2=－4，又A 、B 在椭圆上，故得
⎩⎨⎧=--=--028560
285622
11y x y x
则直线l 的方程是02856=--y x
8.C
[解析]：过抛物线2
y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，
设P （x 1,y 1）、Q(x 2,y 2),则p=a
y q a y 41
,4121+
=+ 设直线PQ 为a
kx y 41
+
=，联立直线方程与抛物线方程可得 21y y +=a k 221+，2
21161
a
y y =+ 11
p q
+=2
212121161
)(4121a y y a y y a
y y +
+++
+=4a
9.C
[解析]：已知双曲线13
622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，M(3,
)26则MF 1=2
6,故MF 2=2652662=+，故F 1到直线F 2M 的距离为562
6
5266212
1=⨯
=⋅MF MF F F 10.A
[解析]： 点P （-3，1）在椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的左准线上， 故32
=c a 点P （-3，1）关于直线2-=y 的对称的点为Q ，则Q （-3，-5），
设椭圆的左焦点为F ，则直线FQ 为)5(2
5
+=
+x y ，故
)3(2
5
5+-=
c ∴=c 1，3=a
二填空题: 11. 20
[解析]：△PQF 2的周长=4a 12.
14
[解析]：l 被抛物线截得的线段长 即为通径长
a 1 ，故 a
1
=4， 13. 0543=-+y x
[解析]： 参考选择题（4），由‘点差法’ 可得斜率为4
3
- 14. 4 .
[解析]：由焦半径公式|PF 1|=ex a -，|PF 2|=ex a +
|PF 1|·|PF 2|=（ex a -）（ex a +）=2
22x e a - 则|PF 1|·|PF 2|的最大值是2
a =4.
三解答题
(15)解
（Ⅰ）解：直线l 的方程为 )0()2(≠-=k x k y ①
（Ⅱ）解：由①及y 2=2x 消去y 可得
.04)1(22222=++-k x k x k ②
点M ，N 的横坐标x 1与 x 2是②的两个根， 由韦达定理得2
2
212122
212,2.44x y x y k k x x ====由
.
4,0,16444)(212121221-=<=⨯==y y y y x x y y 所以注意到得
（Ⅲ）证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1, k 2,
.
,14
4
.,2121212
22111ON OM x x y y k k x y k x y k ⊥-=-==
==
所以相乘得则 (16) （Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，
所以A 、B 的坐标分别是2
222222.
,
,1,).,0(),0,(b a c a b y c x b y a
x a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由.
所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a e
a
a b e a c λλ=+-=得
即22
1e a a
b e a
c e a
-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得
证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分
别是).,0(),0,(a e a -
设M 的坐标是),,(),(),,(0000a e
a
y e a x AB AM y x λλ=+=得由 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)
1(0
0a y e
a x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,122
0220=+b y a x 即.11)1(,1)()]1([2
2222222
=-+-=+-e e b a a e a
λλλλ所以
,0)1()1(2224=-+--λλe e 解得.1122e e -=-=λλ
即
（Ⅱ）当4
3
=
λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a
所以.3,1,22
2
2
=-===c a b c a 椭圆方程为.1342
2=+y x (17) 解：（Ⅰ）设双曲线方程为122
22=-b
y a x ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由
故双曲线C 的方程为.13
22
=-y x （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.
0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k 即.13
122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=
+B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x
.1373231262319)1(22222
-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01
393,213732222>-+->-+k k k k .33
12<<k ② 由①、②得 .13
12<<k 故k 的取值范围为).1,3
3()33,1(⋃-- (18)解 (Ⅰ)设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，半焦距为c ，则 2
111,a MA a A F a c c
=-=- ()
2
222224
a a a c c a a
b
c ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
由题意,
得2,1a b c ∴===
22
1.43x y +=故椭圆方程为
(Ⅱ)()004,,0P y y -≠设
00112212110
211221************
0,
22tan 115tan y y
PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π
=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠Q 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。

当=取到最大值，此时最大，故的最大值为。