静电平衡

计算 E , U 分布
（ 方法同前 ）
电荷守恒定律
电荷分布
练习： 若 A 带电 q1 , B 带电
〈1〉图中1，2，3，4 各区域的 并画出 E r 和
q2 ，求： E 和 U 分布，
U r 曲线.
〈2〉若将球与球壳用导线连接，情况如何？ 〈3〉若将外球壳接地，情况如何？
R3
R2 R1
Qq - - q - q - -
q q q -



3）空腔能屏蔽腔内电荷 q 的电场吗？ 有什么办法能实现这种屏蔽？ 腔不接地：腔内不受腔外电荷影响 腔外要受腔内电荷影响
- + - E0 E + + - 0 + + -
2
导体 内E 0
S
1
E
S E dS ES
s
这里的E不单是一个带电平面产生的。 式中 1 ，不产生矛盾。
0
3. 孤立导体 与表面曲率有关 .
尖端放电现象 及其应用
三. 有导体存在时的 E , U 分布
求解思路： 静电平衡条件 导体上的 电荷分布
0 ; 内 0 , 净电荷只能分布于外表面
+ + + + + +
+
+
- -
- -
-
-

- + - E E + + - 0 - 0 + + -
腔外电荷的电场线不能进入腔内，即：静电屏蔽.
思考：静电屏蔽是否意味着腔外电荷不能在腔内 产生电场？
应用举例
不是！在腔内：
' E内 E 0 E 0
A 所带部分电荷入地.
qB外
( R1 R2 )R3q q q 0 R2 R3 R1 R3 R1 R2
'
qB外 ( R1 R2 ) q UB 0 40 R3 40 ( R2 R3 R1 R3 R1 R2 )
UB
[例三] 内半径为 R 的导体球壳原来不带电，在腔 内离球心距离为 d ( d R )处，固定一电量 q的 点电荷，用导线将球壳接地后再撤去地线，求球心 处电势.
静电场中的导体、电介质
相互作用机制，稳定时 E , U 分布
§9.6 静电场中的导体
要求： 电场与金属导体相互作用机理 及相互影响后电场的计算.
一 . 金属导体与电场的相互作用
特征：体内存在大量的自由电子
无外场时自由电子无规运动：
“电子气”
在外场 E0 中： 1. 无规运动；2. 宏观定向运动
如何变化？ 解：( 1 )
R3
R2
q
q
q B内 q ; q B外 q
B
A q
R1
R3
R2
R1
q
q
Br A q
P
( q ) q UB UP 40 r 40 r 40 R3 q q 40 R3
〈2〉将 B 接地再重新绝缘，结果如何？
R3
R2
B 接地 : U B U地 0
s S
1 ' E dS S E dS ES 0 S S 侧
E内 0
cos 0
S
E0
S'
P
S
E

E 0 E n 0
思考 〈1〉设带电导体表面某点电荷密度为 ，外侧 附近场强 E 0 ，现将另一带电体移近， 该点场强是否变化？公式 E 0 是否仍成立？ 导体表面 变化，外侧附近场强
解： 〈1〉画出未接地前的电荷分布图.
+
+ + -
+
+
R
-
q -
o d q
+
+
+
腔内壁非均匀分布的负电荷 对外效应等效于：
q
在与 q 同位置处置 q .
+ + - q -
+
〈2〉外壳接地后电荷分布如何变化？
+
+ +
R
-
q -
o d q
+
+
U壳 U地 Uq U内壁 U外壁 0
2）空腔导体（有内、外表面），腔内无电荷 同上，导体内 0 紧贴内表面作高斯面 S 1 1 E内 dS q内
s
s
S
'
0

内 0 内表面

dS 0
若
q
内
0, 内 0.
则必然有 0 , 0 处，
s
电场线由 . ，沿电场线方向电 势降低，导体内表面有电势差，与静电 平衡条件：导体表面为等势面矛盾. 所以 内 0 净电荷只能分布于外表面.
q
q外壁 0
内壁电荷分布不变
〈3〉由叠加法求球心处电势 .
U 0 U q U内 壁 q
q 4 0 d

q 4 0 R
1 1 ( ) 4 0 d R
[例四] 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电 场强度 E 垂直于地面向下，大小约为 100N / C ； 在离地面 1.5km 高的地方，E 也是垂直于地面向下的， 大小约为 2 5 N/C .
（1）
（2 ）
1 2 3 4 Ea内 0 2 0 2 0 2 0 2 0
1 2 3 4 Eb内 0 2 0 2 0 2 0 2 0
（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）解得：
Qa Qb 1 4 2S Qa Qb 2 3 2S
R1 q
B
A q
q B内 q

q B外 0
A, B 电荷分布及 B 电势如何变化？ 〈3〉然后将 A 接地， A 球电荷入地，B 球壳 q 分布于表面，对吗？
R3
R2
q
B
A
R1

q q
q U A UB 0 40 R3
与接地条件矛盾，不对！ 设
A 带电 q 则
' '
'
R3
B
A
R1 q
R2
qB内 q , qB外 q q
由：
q' q' q UA 0 40 R1 40 R2 40 R3 q'
q
R3
B
A
R1 q
R2
q q
R1 R2q q q R2 R3 R1 R3 R1 R2
'
q
即
Er
R3
, U r
q1 q2
R2
曲线
E
q1 q1 R1
1 2 3 4
A
B
U
o R1 R2 R3
r
r
<2>若将球与球壳用导线连接，情况如何？
qA qB内 0 ; qB外 q1 q2
R3
R2 R1
1 2 3 4
q2 q1
E1 E 2 E 3 0 q1 q2 E4 4 0 r42
S
E2
h
的直圆柱为高斯面 .
由高斯定理 E dS E2 S E1S
s

1
0
q
内

1
0
hS
8.85 10 12 ( 100 25 ) 3 h 1.5 10 13 3 4.43 10 ( C m )
0 ( E 2 E1 )
计算 E , U 分布
（ 方法同前 ）
电荷守恒定律
[例一] 相距很近的平行导体板 a , b ，分别带电
Qa , Qb 求电荷分布.
a
b
解：设平板面积为 S
4

1
2
3
由电荷守恒：
S

ห้องสมุดไป่ตู้
Qb
Qa
1 S 2 S Qa 3 S 4S Qb
由静电平衡条件：
（3）
〈1〉试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度.
〈2〉假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在
地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度 . E1 解：地球——球对称， 离地面不远处 ( h<<R )—— 面对称
可以用高斯定理求解
S
h
S
E2
如何选择高斯面？
E1
S
〈1〉作底面平行于地面，高 h=1500 m
3）空腔导体，腔内有电荷 紧贴内表面作高斯面 S
1 E内 dS q内 0
s

0
q

S



q
q
内
0
空腔内表面电荷与腔内电荷等值异号.
空腔外表面电荷由电荷守恒决定.
思考： 1）空腔原不带电，腔内电荷
q ，腔内、外表面电量？
2）空腔原带电
Q .腔内电荷 q ，腔内、外表面电量？
〈2〉作高斯面如图 .
由高斯定理：
S
E2
S
导体内
1 s E dS E2S 0 S

地面
S E 0
0 E2 8.85 1012 100
8.85 10
小结：
静电平衡条件 导体上的
10
( C m )
2
E
变化，
而
E 0 仍然成立。
〈2〉无限大带电平面： E 2 0
E
带电导体表面附近： E 0 2 1 S E dS 2 ES s 0 E
是否矛盾？

S
如果计及带电面的厚度 式中 1 2 2 1
几何面
q q - q
-


q
q
腔接地：内外电场互不影响.
4）腔内电荷 q 的位置移动对 内， 外，E内，E外
分布有无影响？
q q - - q
- -
q
q
-
腔内电荷 q 的位置移动对 内，E内， 分布有影响； 对 外，E外 分布无影响。
1）实心导体（只有外表面）
高斯面 S（宏观小，微观大）
s
1 1 E内 dS q内 dV 0
s
静电平衡条件 E内 0
净电荷只分布于外表面.
0
0
0
0
净电荷只分布于外表面.
- 0 -- -
-
-
+ +
+
+
+ +
0
+ +
一种极酷的发型！
a
b
1
2
3
4

S

Qb
Qa
即：相背面
相对面

等大同号，
等大异号.
[例二]带电量 q ，半径 R1 的导体球 A 外有一内 半 径 R2，外半径 R3 的同心导体球壳 B ,求:
〈1〉外球壳的电荷分布及电势
〈2〉将 B 接地再重新绝缘，结果如何？
A, B 电荷分布及 B 电势 〈3〉然后将 A 接地，
q2 q1 1 A
2 3 4
B
R3
R2
q1 q2
R1
<1> qA q1 qB内 q1 qB外 q1 q2
E1 0 E3 0 E2 4 0 r22 q1
q1 q1
1 2 3 4
A
B
q1 q2 E4 2 4 0 r4
q1 q1 q1 q2 1 q1 q2 U1 ( ) ; U3 40 R1 R2 R3 40 R3 1 q1 q1 q1 q2 U2 ( ) ; 40 r2 R2 R3 1 1 q1 q2 U4 40 r4
-




条件：
' E内 E 0 E 0 ' E 表 面 E 0 E 表面
导体是等势体
导体表面是等势面.
或:
证明
b
a
要计算静电平衡时的电场分布，
首先要知道其电荷分布.
U ab
b
a
E dl 0
二.静电平衡时导体上的电荷分布
1.导体内无净电荷（ 0 ），电荷只分布于导体表面.
E0
' 导体内电荷重新分布，出现附加电场 E
－“静电感应”
－直至静电平衡
（暂态过程）
E内 E0 E 0
E0 E
静电平衡： 导体内部及表面均无电荷定向运动，
导体上电荷及空间电场分布达到稳定.
空间电场： E E E 0
E内 0 E表 面 表 面
同学们好！
?
将来人类的知识将会大 大的增长，今天我们想不到 的新发明将会屡屡出现，我 有时候几乎后悔我自己出生 过早，以致不能知道将要发 生的新事物。 －（美）富兰克林
发现尖端放电，发明避雷针，
（1706－1790）
研究雷电现象
第九章要点： • 描述静电场基本性质的两个物理量： 电场强度、电势 • 描述静电场性质的两个基本定理： 高斯定理、环路定理 • 静电场与物质的相互作用：
当静电平衡时，导体 0 ，净电荷只能分布于表面.
表 ?
2. 静电平衡时导体表面电荷面密度与表面紧邻处场强
成正比. 过表面紧邻处 P 作平行于表面 的面元 S ,以 S 为底，过 P 法向为轴，作如图高斯面 S 。
S
E0
S'
P
S
E
E dS E dS