第七章 扭转-01

2． 横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角j成 正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=jF (x，y)。
§ 7.1 位移解法 4
1855年，圣维男（Saint-venant）采用半逆解法， 从分析位移入手，提出了等截面直杆扭转的解答。 F(x，y)称为圣维南(Saint Venant)扭转函数，或者 称为翘曲函数。
转角为
j =a z
而横截面的扭转角a = j z
§ 7.1 位移解法 3
•根据观察，对柱体内部位移作以下的假设：
•1. 刚截面假设: 柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy 平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕 z 轴 转动，如图所示。 当扭转角 a 很小时，设 OP=r，则P点的位移为
u x, y = r cos a r cos = r cos a cos sin a sin r cos = ra sin = j zy v x, y = r sin a r sin = r sin a cos cos a sin r cos = ra cos = j zx
xz yz =0 x y
§ 7.1 位移解法 7

柱体扭转边界条件
x = y = z = xy = 0 ，只有 xz 和 yz 不等于零。
•对于自由扭转问题，在侧边界没有载荷作用。
•由于
•下面分为柱体侧面和端面两部份面力边界条件讨论；
2. 面力边界
Fsx = x l xy m xz n Fsy = xy l y m zy n Fsz = xz l yz m z n
柱体扭转
自由扭转——翘曲不受限制 约束扭转——翘曲受到限制
弹性力学讨论
自由扭转
§ 7.1 位移解法 2
•关于圆截面直杆的扭转问题，材料力学的解答， 即；①剪应力与点到圆心的距离r成正比且与之 垂直，②变形后横截面仍保持为平面，是正确 的。
•这一结论是库仑于1784年提出的。后来法国人 纳维叶（Navier）将这一结果应用于非圆截面直 杆的扭转，但这样作的结果是错误的，这可由 受扭矩形截面杆的剪应力与边界条件不符合得 到证明。
§ 7.1 位移解法 7
侧面边界条件:
•因此，在横截面周界S上，有
F F y l xm = 0 x y
§ 7.1 位移解法 8
F F l m = yl xm x y
（在S上）
端面边界条件:
考察右端面，l=m=0，而n=1。 面力的合力为外力矩T。
F F y , yz = Gj x x y
不计体力时， 1.平衡微分方程
x yx zx Fbx = 0 x y z xy y zy Fby = 0 x y z z yz z Fbz = 0 x y z
F = Gj ( y ), y x
F = Gj ( x) x y
将上式代入变形协调方程，则 C=2Gj 。
= 2Gj
2
•泊松方程 •扭转问题应力解法的基本方程
§ 7.2 应力解法 3
边界条件
侧面边界条件：
侧面 端面
xzl yz m = 0
dy dx l m= = =0 y x y ds x ds s
T = yz x xz y dxdy = x x y D D = x y 2 dxdy x y D = x l y m ds 2 dxdy
柱体自由扭转计算模型

扭转假设：
u = j yz v = j xz
•1. 刚截面假设 • ——扭转与圆轴扭转变形相同 •2. 翘曲假设 •——各个截面的翘曲相同
w = j Φ( x, y)
§ 7.1 位移解法 5
根据上面的分析可见，对非圆截面柱体扭转问题的 位移分量u,v,w仅是坐标x,y的二维函数。
§7.2 扭转问题的应力解法
扭转问题的位移解法方程虽然简单，但是边界条件相对 比较复杂，因此通常使用应力解法求解柱体的扭转问题。 根据扭转问题的平衡微分方程，可得
xz yz = x y
因此，必然有一个函数ψ (x,y)，使得
xz = , y
yz = x
其中KD表达了横截面的几何特征(抗扭系数)，GKD 称为柱体的
§ 7.1 位移解法 9
总之，柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界条件
F F l m = yl xm x y
求解方程
（在S上）
2F 2F 2 = F=0 2 2 x y
相对扭转角j由公式T =j GKD确定。
y y dxdy
zy

zy
2 F F 2 = j G x y x y dxdy y x D
令
2 F F 2 K D = x y x y dxdy y x D
则：
T = jGKD
抗扭刚度。
同理

D
zy
dxdy = 0
所以，在满足侧边界条件下， 端部边界条件的前两式是恒满足的。
§ 7.1 位移解法 9
对于端部边界条件的第三式，有

D
zx
dxdy = 0 dxdy = 0 x zx y dxdy = T

D D
F F T = j G x x y x D
2 xz = 0, 2 yz = 0
所以，函数(x,y) 满足
2 = 0, x
2 =0 y
§ 7.2 应力解法 2
因此
x, y = C
2
ψ(x, y)——普朗特（Prandtl）扭转应力函数
将扭转应力函数与翘曲函数公式相比较， 则扭转应力函数与翘曲函数的关系为
§ 7.1 位移解法 2
对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左 端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产 生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。
设柱体左端面形心为坐标原 点，柱体轴线为z 轴建立坐 标系。 柱体扭转时发生变形，设坐 标为 z 的横截面的扭转角为a ，则柱体单位长的相对扭
1)端面边界:L=m=0 ,n=1
Fsx = xz n Fsy = zy n Fsz = xz l yz m
2)横截面侧边界:L、m ，n=0
Fsx = zx , Fsy = zy , Fsz = 0
Fsx dxdy = zx dxdy = 0
D D
Fsx = 0 , Fsy = 0 , Fsz = 0 .
u = j yz , v = j xz , w = j Φ( x, y )
根据几何方程，应变分量为
x = y = z = xy = 0 xz
F =j x F y , yz = j x y
根据本构方程，应力分量为
x = y = z = xy = 0 xz = Gj
0
在内边界
C1 , C2 , C3 , , Cn
的值分别为
D
K1 , K 2 , K 3 , , K n
T =
C0,C1 ,C2 ,C3 , ,Cn
c xl ym ds 2 dxdy
F
D D
sy
dxdy = zy dxdy = 0 x Fsx y dxdy = zy x zx y dxdy = T
D D
自由边界给定面力为零
F
zyl zxm = 0
sy
§ 7.1 位移解法 5
•位移解法基本方程
对于位移法求解，需要将平衡微分方程用 位移分量表示
c=const
单连域取为0，即： c=0
但是应该注意，如果柱体横截面为多连域时，应力函 数在每一个边界都是常数，但是各个常数一般并不相 同。因此，只能将其中一个边界上的c取为零。
§ 7.2 应力解法 4
端面边界条件：
考察右端面，l=m=0，而n=1。 因此面力边界条件：
X = xz , Y = yz , Z = 0
第七章 柱体扭转
圆轴扭转——平面假设
非圆截面柱体——横截面翘曲
柱体扭转精确求解是十分困难的
目录
•§7.1 •§7.2 •§7.4 •§7.3 •§7.5 •§7.6 扭转问题的位移解法 扭转问题的应力解法 椭圆截面杆件的扭转 薄膜比拟法 开口薄壁杆件的扭转 闭口薄壁杆件的扭转
§7.1 扭转问题的位移解法
§ 7.1 位移解法 6
u = j yz , v = j xz , w = j Φ( x, y )
x = y = z = xy = 0 xz = Gj
F F y , yz = Gj x x y
对于
平衡微分方程，在不计体力的条件下，

D
zx
dxdy = 0 dxdy = 0 x zx y dxdy = T

D D
zy

Baidu Nhomakorabea
zy
§ 7.1 位移解法 9
对于上述边界条件的前两式，
F F y l x m=0 x y
F dxdy = j G y zx dxdy x D D F F = j G x y x dxdy x y y D x x F F = j G x y l x m ds 0 s y x
2 2 1 x x 2 = 0, 2 2 1 x x 2 = 0, 则前四个方程恒满足， 2 2 而后两个方程要求 1 x x 2 = 0,
将上述扭转应力分量 代入变形协调方程，
2 2 1 xy x y = 0 2 2 1 zy z y = 0 2 2 1 zx z x = 0
前两个方程自然满足，只有最后一个方程，为
xz yz =0 x y
将位移表达式代入上式，则
2F 2F 2 = F=0 2 2 x y
调和方程
上式为Laplace 方程， 它表示位移分量如果满足位移表示的平衡微分方程， 即Lamé方程时，则扭转翘曲函数F (x，y)为调和函数。
c D
y dxdy
= c xl ym ds 2 dxdy
c D
c=0 横截面为单连通区域，
T = 2 dxdy
＝2V
S
•扭矩方程 •Prandtl 应力丘方程
§ 7.2 应力解法 6
横截面为多连通区域
设应力函数在外边界 C 上的值为零，即 C0 x, y = 0
面力的合力为外力矩T， 则端面面力边界条件为：
X dxdy = 0
D
Y dxdy = 0
D
可以证明， 只要ψc(x,y)=C（C为常数）， 前二式是自然满足的，即端部应力之合力为零
D
Yx Xy dxdy = T
§ 7.2 应力解法 5
下面推导应力函数 x, y 表示的扭矩T关系式