高三数学高考总复习概率

数学高考总复习：概率

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目标认知

考试大纲要求：

1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.

2．了解两个互斥事件的概率加法公式.

3．理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

4．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；了解几何概型的意义。

5．了解条件概率和两个事件相互独立的概念，并能解决一些简单的实际问题.

重点：

理解互斥事件的概率加法公式，古典概型及其概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率；求简单的几何概型的概率问题；条件概率和两个事件相互独立的概念，并能解决一些简单的实际问题.

难点：

古典概型及其概率计算公式；几何概型的意义，用条件概率和两个事件相互独立的概念，解决一些简单的实际问题.

知识要点梳理

知识点一：事件及有关概念

1．事件：

在一定条件下出现的某种结果。在一定的条件下，能否发生某一事件有三种可能：

①必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；

②不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；

③随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；

必然事件和不可能事件的统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，其一般用大写字母A、B、C……表示。

2. 基本事件：

一次试验连同其可能出现的一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件。如果一次试验中可能出现的结果有n个，那么这个试验由n个基本事件组成。

3．基本事件的特点：

（1）不能或不必分解为更小的随机事件；

（2）不同的基本事件不可能同时发生；

（3）一次试验中的基本事件是彼此互斥的；

（4）试验中出现的结果总可以用基本事件来描绘.

知识点二：频率与概率

1．频数与频率：

在相同条件下重复次试验，观察某一事件A是否出现，称次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率。

2．概率：

对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，则这个常数就叫事件A的概率，记作。

概率的基本性质

①任何事件的概率的取值范围：。

②P（必然事件）＝1，P（不可能事件）＝0；

3．频率与概率的区别与联系：

①频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；

②随机事件的频率，指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近

摆动，且随试验次数的不断增多，摆动幅度越来越小，这个常数就是这个随机事件的概率。

③概率可以看作是频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

知识点三：古典概型

1．定义：

具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等。

注意：古典概型也称等可能性事件的概率。

2．古典概型的基本特征：

（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事

件。

（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。

3．古典概型的概率计算公式

由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含个基本事件，由于基本事件是互

斥的，则事件A发生的概率为其所含个基本事件的概率之和，即。

所以古典概型计算事件A的概率计算公式为：

4．求古典概型的概率的一般步骤：

（1）算出基本事件的总个数；

（2）计算事件A包含的基本事件的个数；

（3）应用公式求值。

5．古典概型中求基本事件数的方法：

（1）穷举法；

（2）树形图；

（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。

知识点四：几何概型

1．定义：

事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。

2．几何概型的两个特点：

（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；

（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。

3．几何概型的概率计算公式：

随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。

所以几何概型计算事件A的概率计算公式为：

其中表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，表示构成事件A的区域的几何度量。

注意：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.

知识点五：互斥事件

1．互斥事件的概念：

不可能同时发生的事件叫做互斥事件一般地，如果事件中的任何两个都

是互斥的，那么就说事件彼此互斥

2．互斥事件有一个发生的概率：

对于事件A和事件B，用A+B表示事件A、B中有一个发生。

如果A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，则：

。

一般地，如果彼此互斥，则：

。

3．对立事件的概念：

其中必有一个发生的两个互斥事件，叫做互为对立事件。事件A的对立事件记作。

4．对立事件的概率：

如果A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生，则：

。

一般地，，。

注意：当计算事件A的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些。涉及“至少一个”多转化为求对立事件的概率。

5．对立事件与互斥事件的区别和联系：

①互斥事件研究的是两个事件之间的关系，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的，两个事件互斥是