第15讲 归纳猜想——找规律

第15讲 归纳猜想——找规律
在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想.
给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是 (1)通过对几个特例的分析，寻找规律并且 归纳 (2)猜想符合规律的一般性结论；
(3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.
题型一：数字类规律
例1．观察下列各式数用含并把第n 项用含n 的式子表示、 (1) 0，3，8，15，24，……。

(2) 2，9，28，65.....
(3) 2，4，8，16.......
例2．填空
(1) 4，16，36，64， ，144，196，… (第一百个数)
(2) 2，1，1， ，
13
17
1113911，，， 。

例3．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页．而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第10行从左边数第3个位置上的数值是( )
A ．1321
B ．
3601
C ．495
1
D ．660
1
例1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…，解答下列问题：3+32+33+…+32015的末位数字是( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．9
例2．一列数a 1，a 2，a 3，…，其中a 1＝3，a n ＝1
-11
n a (n 为不小于2的整数)，则a 2015的
值为( ) A ．﹣
2
1 B ．
4
3 C ．3 D ．
3
2
例3． 观察图形，解答问题：
(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：
(2)请用你发现的规律求出图④中的数y 和图④中的数x ．
例4． 对于实数a ，我们规定：用符号[]表示不大于
的最大整数，称[
]为a 的根整
数，例如：[
]＝3，[
]＝3． （1）仿照以上方法计算：[]
＝ ；[
]＝ ． （2）若[
]＝1，写出满足题意的x 的整数值 ．
如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[]
＝3→[
]＝1，这时候结果为1．
（3）对120连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
图④ 图④ 图④ 三个角上三个数的积 1×(﹣1)×2＝﹣2 (﹣3)×(﹣4)×(﹣5)＝﹣60 三个角上三个数的和 1+(﹣1)+2＝2 (﹣3)+(﹣4)+(﹣5)＝﹣12 积与和的商 ﹣2÷2＝﹣1
例1．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第④个图形有1颗棋子，第④个图形一共有6颗棋子，第④个图形一共有16颗棋子，…，则第④个图形中棋子的颗数为()
A．226B．181C．141D．106
例2．假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：
那么请问第2007个棋子是黑的还是白的？答：．
例3．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有如图所示的两种摆放方式：
(1)当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐人；
第二种摆放方式能坐人；(结果用含n的代数式直接填空)
(2)一天中午餐厅要接待52位顾客同时就餐，但餐厅只有13张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算如何用这两种方式摆放餐桌，才能让顾客恰好坐满席？说明理由．
例1．点1A 、2A 、3A 、…、 n A (n 为正整数)都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且1
1AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为( )．
A ．2008、2009-
B ．2008-、2009
C ．1004、1005-
D ．1004、1004-
例2．我国的农历，是按照“天干”与“地支”的搭配来纪年的．
十个“天干”的顺序是：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸
十二个“地支”的顺序是：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥． 将一个天干和一个地支顺次循环逐一搭配起来，就出现了“甲子”、“乙丑”、“丙寅”等年，2018年春节后进入的农历“戊戌”年，就是由天干中的“戊”和地支中的“戌”搭配而来的． (1)公元2017年是农历“丁酉”年，2019年是农历“______”年． (2)______(填“会”或“不会”)出现“丁午”年．
(3)19世纪末，“戊戌变法”是中国近代史上一次重要的政治改革，也是一次思想启蒙运动，促进了思想解放，对社会进步和思想文化的发展，促进中国近代社会的进步起了重要推动作用．那么历史上“戊戌变法”发生在公元______年．
(4)从王老师的身份证号320821************可知王老师出生于1972年，那么他出生在农历______年．
例3．某天，张老师给任教的一班40人，二班41人，共计81人出了这么一个题：如果一班在前，二班在后，按学号(从小到大)排成一个长列，从前往后“1，2，3”“1，2，3”“1，2，3”……报数，报到1和3的同学出列，报到2的同学到队尾继续参与报数，最后选定剩余的那位同学为两个班级的总数学课代表，那么请问张老师选择的总课代表是 班 号．(填哪个班级，多少学号)
课后练习
1．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…现有等式A m＝(i，j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数)，如A7＝(2，3)，则A2017＝()
A．(31，47)B．(31，48)C．(32，47)D．(32，48)
2．小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其颗数3、6、9、12、…称为三角形数．类似地，图2中的棋子颗数4、8、12、16、…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
A．18B．20C．21D．24
3．一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，a n＝(n为不小于2的整数)，则a100＝()
A．B．2C．﹣1D．﹣2
4．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第④个图形一共有2个五角星，第④个图形一共有8个五角星，第④个图形一共有18个五角星，…，则第④个图形中五
角星的个数为()
A．84B．90C．94D．98
5．一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n+1＝b n，b2n+2＝b n+b n+1，若b0＝1，则b2015的值是()
A．1B．6C．9D．19
6．如图，将1、，三个数按图中方式排列，若规定(a，b)表示第a排第b列的数，则(8，2)与(100，100)表示的两个数的积是()
A．1B．C．D．
7．设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014＝69，(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2014+1)2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是．
8．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，点A2015表示数是．
9．已知12＝1，112＝121，1112＝12321，…，则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12个数字是．
10．自然数按如表的规律排列：
(1)求上起第10行左起第13列的数；
(2)数127应排在上起第几行，左起第几列？
(3)数2000应排在上起的第几行，左起第几列？
11．已知整数a1，a2，a3，a4…满足下列条件：
a1＝0，a2＝﹣|a1﹣2|，a3＝﹣|a2﹣3|，a4＝﹣|a3﹣4|…，依此类推，
(1)直接写出a2，a3，a4，a5的值．
(2)仔细观察(1)的结果，填写：
a1﹣a2＝a2﹣a3＝a3﹣a4＝a4﹣a5＝…
猜想：a n﹣1﹣a n＝．
(3)探究a2013的值是多少？
12．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的…第n次倒出水量是
升的…按照这种倒水的方法，这1升水经2006次后还有吗？如有，有多少升？
13．现有一组有规律排列的数：1、﹣1、、﹣、、﹣、1、﹣1、、﹣、、﹣、…其中，1、﹣1、、﹣、、﹣这六个数按此规律重复出现．问：
(1)第50个数是什么数？
(2)把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？
(3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？。