6,7第三篇(1,2,3)

方程的解：
特征方程 r 2 2ωr ω2 0
特征根
r1 2 1 r2 2 1
（1）若 1 ，
r1 、r2 为负实数，
方程的解： x(t ) c1e r1t c2 e r2t
体系不振动 ——过阻尼状态
齐次方程： x(t) 2ωx（t）ω2x（t） 0
特征方程 r 2 2ωr ω2 0
x(t) 2ωx（t）ω2 x（t） 0 P
且在小阻尼情况之下： 当 0 1
x（t）
e （t x0
cos t
v0
x0
s in t）
t
式中，x0、v0 为结构施加脉冲荷载后的瞬时位移和速度 dt
设体系原先处于静止状态，即施加脉冲荷载前质点的初位移和初速度均为零，
由于作用脉冲荷载前后的瞬时，位移不发生变化，即x0=0
k m
x(t)
0 0 1
1 1
t
各种阻尼下单自由度体系的自由振动
初始条件: 初始位移 x0 x(0) , 初始速度 x0 x(0)
当 0 1
x（t） e（t Acost B sin t） 其中 1 2
则：A= x0 体系自由振动位移方程
B v0 x0
x（t） e（t x0
§3.1 概述
一、地震作用
作用 ：能引起结构内力、变形等反应的各种因素
直接作用 ——各种荷载：如重力、风载、土压力等
作用分类
间接作用 ——各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等
地震
：地震释放能量 ，以地震波的形式扩散，引起地面运动，使地面 原来静止的建筑物受到动力作用而产生强迫振动
地震作用
：在振动过程中作用在结构上的惯性力称为地震作用。
建筑结构抗震设计
第一章 绪论 第二章 场地、地基与基础
地震与结构抗震基本知识Biblioteka Baidu
第三章 结构地震反应分析与抗震验算 第四章 建筑抗震概念设计
结构抗震计算
第五章 多层及高层钢筋混凝土房屋抗震设计 结构抗震设计 第六章 砌体结构的抗震设计
第三章 结构地震反应 分析与抗震计算
第三章 结构地震反应分析与抗震计算
初位移、初速度引起 迅速衰减，可不考虑
地面运动 引起
•
x（t）
et x(0) cos' t
x(0)
x(0) '
sin'
t
1
t 0
x（g ）e （t ）sin （t
）d
杜哈梅积分也就是初始处于静止状态的单自由度体系地震位移反应的计 算公式
第三章 结构地震反应分析与抗震计算
3.1 概述 3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析的振型分解法 3.5 多自由度弹性体系的水平地震作用 3.6 结构的地震扭转效应 3.7 地基与结构的相互作用 3.8 竖向地震作用 3.9 结构地震反应的时程分析法 3.10 建筑结构抗震验算
（3）若 0, 1 2 x（t） Acost Bsint
无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动
体系自由振动 ——无阻尼状态
（4）若 1 ， 1 2 0
x（t） Aet
临界阻尼系数 cr： 1时的阻尼系数c
c 1 2m
cr c 2m 2 km
阻尼比：
c
cr
体系不振动 ——临界阻尼状态
k —地震系数；
(T ) —动力系数
k xg max g
Sa xg max
一、地震系数
定义：
k xg max g
表示地面运动的最大加速度和重力加速度之比，加速度越大，地震烈度 越高，最大加速度和地震烈度之间存在着对应关系
基本烈度 地震系数k
c、多、高层建筑
((bb)) 厂 厂房房 d、烟囱
c) 多主(c、 要) 质高多量层、：建 高楼层筑盖建筑部分 多质点体系
结构(无(dd)主) 要烟烟质囱囱量部分
结构分成若干区域
集中到各区域质心
多质点体系
3.2.2运动方程的建立
作用在质点上的三种力：
惯性力 I 、弹性恢复力S、阻尼力D
＊惯性力 I m xg (t) x(t)
sa(T)
ζ= ζ 0
T1
T2
T3
T4
T5
T
T1
T2
T3
x（0 t）
T4
T5
3.3.3 标准反应谱
为了便于应用，可在地震作用基本公式中引入反映地面运动强弱的地面运动
最大加速度 xg max ，
••
Fmax
m Sa
mg
x g (t )
max
g
Sa
••
x g (t )
Gk
max
G —体系的重量；
特征根
r1 2 1 r2 2 1
(2) 若0 1(一般结构),
r1 、r2 为共轭复数， 特征根为
r1 1 2 i r2 1 2 i
方程的解： x（t） e（t Acost B sint）
其中 1 2
体系产生振动 ——欠阻尼状态
x（t） e（t Acost B sint） 其中 1 2
3.1 概述 3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析的振型分解法 3.5 多自由度弹性体系的水平地震作用 3.6 结构的地震扭转效应 3.7 地基与结构的相互作用 3.8 竖向地震作用 3.9 结构地震反应的时程分析法 3.10 建筑结构抗震验算
则根据动量定理，Pdt= m v0-0，（P为脉冲荷载）
故得 v0= Pdt/m， 则可得：
x（t） et Pdt sin t m
p
在t=0时刻施加脉冲后在t时刻的响应：
x（t） et Pdt sint m
o
t
dt p
在 t = 时刻施加脉冲后在t时刻的响应：
x（t ） e(t ) Pd sin(t ) m
x（t）
2 x（t）
设Sa为质点最大绝对加速度值
x（t）
t dx（t） 1
0
t 0
x（g ）e（t）sin（t
）d
有阻尼频率与无阻尼频率相差不大,
Sa
t 0
x（g ）e（t）sin（t
）d
max
2 T
t 0
x（g ）e（t）sin
2（t
T
）d
max
水平地震作用最大值Fmax
§3.3 单自由度体系的 水平地震作用及其反应谱
3.3.1水平地震作用的基本公式
质点所受惯性力，即 F（t） ma t m x（ g t） x（t）
•
c x(t) kx(t)
F（t） m x（g t） x（t） cx（t） kx（t）
kx（t）
a(t)
x（g t）
x（t）
k m
ω——体系的圆频率；ζ——体系的阻尼比
上式是一个常系数的二阶非齐次微分方程。它的解包含两部分：一个 是对应于齐次微分方程的通解，另一个是特解。前者表示自由振动，后者 表示强迫振动。
3.2.3自由振动
齐次方程的通解——自由振动
自由振动：在没有外界激励的 情况下结构体系的运动
齐次方程： x(t) 2ωx（t）ω2x（t） 0
cos t
v0
x0
sin
t）
当 0 （无阻尼）
x(t)
x0
cos t
x0
sin t
k
m
——固有频率
T 2 2 m
k
——固有周期
无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动
有阻尼体系 自振的振幅将不断衰减，直至消失
T 2 /
对于实际的房屋结构，阻尼比ξ一般为0.01～0.1，通常取ξ =0.05，此时 ω’=0.99875ω≈ω，在实际计算中可近似地取ω’=ω ，也就是说，在计算结 构体系的自振圆频率或自振周期时，可不考虑阻尼的影响。
等效地震荷载 ：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用
由于属于间接作用，不称为“地震荷载”，而称为“地震作用”。
二、地震作用效应
地震作用在结构中所产生的内力和变形，主要有弯矩、 剪力、轴力和位移。
三、结构地震反应
1.结构地震反应 指地震动引起的结构振动，包括结构内力、 变形、位移及结构运动速度与加速度等
Fmax mS a
•在结构抗震设计中，求出水平地震作用的最大绝对值，即质点 质量m与最大绝对加速度的乘积，作为反映地震影响的等效力。 求得地震作用后，即可按静力分析方法计算结构的地震反应
3.3.2 地震反应谱
地震加速度反应谱（地震反应谱）：
单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期T 的关系，记为 S a (T )
2
Sa T
t 0
x（g ）e
（t
）sin
2（t
T
）d
max
＊地震加速度反应谱的意义
地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通
过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起
的各体系最大加速度反应与相应体系自振周期间的关系曲线 。
＊地震加速度反应谱的意义
地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比 相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应 与相应体系自振周期间的关系曲线 。
o
d
t
3.2.4.2 杜哈默积分----微分方程的特解
x(t) 2ωx（t）ω2 x（t） x（g t）
在t=τ时，此一瞬时荷载为 mx（ g ）， 其作用时间为dτ，则瞬时冲量为 mx（g ）d
体系由这一瞬时冲量所引起的位移
x（t ） e（t）x（g ）sin（t ）d
微分位移为：
dx（t
）
e
（t
）
x（g ）sin
（t
）d
将所有瞬时冲量引起的微分位移叠加，即可得体系在整个受荷过程中引起的总 位移反应，
x（t）
t dx（t ） 1
0
t 0
x（g ）e（t）sin（t
）d
上式称为杜哈默(Duhamel)积分，它就是所求的特解
方程通解（单自由度体系）：
体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）
3.1 概述 3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析的振型分解法 3.5 多自由度弹性体系的水平地震作用 3.6 结构的地震扭转效应 3.7 地基与结构的相互作用 3.8 竖向地震作用 3.9 结构地震反应的时程分析法 3.10 建筑结构抗震验算
k
1103 /10 2
3.2.4 强迫振动
强迫振动方程：非齐次微分方程
x(t) 2ωx（t）ω2 x（t） x（g t）
在小阻尼情况之下，对应齐次方程的通解： 当 0 1
x（t）
e （t x0
cos t
v0
x0
s in t）
则只要找到非齐次微分方程的一个特解，就可得到其通解
3.2.4.1 瞬时冲量及其引起的自由振动（脉冲荷载） 脉冲荷载：瞬时施加给结构的荷载，产生瞬时冲量 运动方程：自由振动方程（因为脉冲荷载是瞬时作用于结构上）
结构地震反应 影响因素
地震作用的大小及其随时间的变异特性
地面运动随机、不规则
结构本身的动力特性（自振周期、振型和阻尼）
由不同构件组成的空间结构动力特性复杂
2、结构地震反应分析（求解）方法
目前在工程上求解结构地震反应的方法主要有两类：
1）、拟静力方法（等效荷载） 2）、直接动力法（时程分析法）
第三章 结构地震反应分析与抗震计算
§3.2 单自由度弹性体系的 地震反应分析
3.2.1 结构动力计算简图及体系自由度
描述结构质量的两种方法
1. 连续化描述（分布质量）
2. 集中化描述（集中质量） 工程上常用 采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）：
定出结构质量集中 位置（质心）
将区域主要质量集中在质心； 将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去
集中化描述举例
a、水塔建筑
h
hh
b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）
主要(a质) 水量塔：水箱部分
(b) 厂房
主要质量：屋面部分
(a次) 要水质塔量：塔柱部分
厂房各跨质量(b) 厂集房中到各跨屋盖标高处
水箱全部质量 集中到水箱质心 部分塔柱质量
(c) 多单、质高层点建体筑 系
(d) 烟囱
集中化描述举例 (a) 水(a塔) 水塔
D
I
S
＊弹性恢复力 ——由结构弹性变形产生
S=-kx(t)
＊阻尼力
k —— 体系刚度
——由结构内摩擦及结构周围介质（如空气水等）对结构运动的阻碍造成
D cx（t）
C —— 阻尼系数
力的平衡条件： I+D+S=0
D
I
mx（t） cx（t） kx（t） mx（g t）
S
令
k m
c 2m
x(t) 2ωx（t）ω2 x（t） x（g t）
对单自由度弹性体系
T 2 2 m
k
ω=2π/T=2πf
1 2
例题3-1 已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。
m 10000kg， k 1kN/cm
求该结构的自振周期。
解：直接由式
h
h
T 2 2 m
k
并采用国际单位可得:
(a) 水塔
T 2 m 2 10000 1.99s