2-1运筹学数学模型

甲、乙各生产多少, 可获最大利润?
解:设产品甲、乙产量分别为变量x1 ， x2 max Z= 4x1 +5x2 x1 + x2 45 2x1 + x2 80 x1 +3x2 90 x1， x2 0
例2 3、运输问题 仓库/工地 1 2 3 需求 1 2 2 3 40 2 1 2 4 15 3 3 4 2 35 库存 50 30 10
线性规划模型特征
• 决策变量：向量(x1… xn)T 决策人要考 虑和控制的因素非负 • 约束条件：线性等式或不等式 • 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极 大或极小
一般式
( Min ) Max Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a x a x a x (, )b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 , , xn 0
提出运输问题 提出 “单纯形法”
研究对象
• 有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理 安排使用，效益最高 • 某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之 最省 • 寻求某个整体目标最优
§2.1 线性规划的数学模型
例1、生产计划问题
甲
A B C 收益 1 2 1 4
乙
1 1 3 5
备用资源
45 80 90
x11
Ⅰ
x21
Ⅱ
x31
Ⅲ
x41
Ⅳ Ⅴ
x12
x13
x32
x22
x14
x23
∑≥15
∑≥10
∑≥20
∑≥12
x11 x12 x13 x14 15
x13 x14 x22 x23 x31 x32 20 x14 x23 x32 x41 12
x12 x13 x14 x21 x22 x23 10
15 x22 x31 12 j 1, ,4) x23 x32 10 20
习题：
1、某商场是个中型百货商场，它对售货员的需求情况经 过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息， 售货员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连 续的。问应如何安排售货人员的作息，即能满足工作的 需要，又使配备的售货人员的人数最少？
例题：
某装修公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库堆放
物资。已知各月份所需仓库面积列于下表2-1。仓库租借费
用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表2-2。
租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面
积和期限。因此该公司可根据需要，在任何一个月初办理租借 合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用面积和 租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的最优决 策，目的是使所租借费用最少。
6000 ( x13 x23 ) 7300x14
x11 x12 x13 x14 x x x x 约束条件 12 13 14 21 st . x13 x14 x22 x23 x x x x 23 32 41 14 xij 0(i 1, ,4;
时间 星期一 所需售货员人数 15 时间 星期五 所需售货员人数 31
星期二
星期三 星源自文库四
24
25 19
星期六
星期日
28
28
习题：
2、某班有男生30人，女生20人，植树节去植树，根据经 验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30颗，或给25 颗树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20颗，或给 15颗树浇水。问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、 栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型。
7300x14 Z 2800 ( x11 x21 x31 x41 ) 4500 ( x12 x22 x32 ) 6000 ( x13 x23 )
( x11 x21 x31 x41 ) 4500 ( x12 x22 x32 ) 目标函数 min Z 2800
原材料名称 1 2 3
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；
表2-1
单位：100m2
月份
1
2 10
3 20
4 12
单位；元 /100m2
所需仓库面积 15
表2-2
合同租借期限
合同期内的租费
1个月
2800
2个月
4500
3个月
6000
4个月
7300
解：设 xij 表示公司在第i (i=1,2,3,4)月初签订的租期为j
(j=1,2,3,4)个月的仓库面积的合同（单位为100m2)。
应 用
• 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产 品开发，制定销售计划) • 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) • 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) • 运输问题 • 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管 理) • 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) • 设备管理(维修计划，设备更新) • 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
设xij为i 仓库运到 j工地的材料数量(i ＝1，2，3， j ＝1， 2， 3) minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 x21+x22+x23 50 30
x31+x32+x33
x11 +x21+x31 =
10
40
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 =
15
35
xij 0
例3、配料问题 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同 规格的产品甲、乙、丙，数据如表。 问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？
产品名称 甲 乙 丙 规格要求 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 不限 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 50 35 25 单价（元/kg） 65 25 35
第二章 线性规划
• 运筹学中应用最广泛的方法之一 • 运筹学的最基本的方法之一，网络规划，整数 规划，目标规划和多目标规划都是以线性规划 为基础的 • 解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的 费用最小或获得的收益最大
1939
康脱洛维奇
“生产组织与计划中的 数 学方法”
1947 库伯曼斯 DANTZIG
例4、合理下料问题 2.9m
钢筋架子 2.1m 1.5m Ⅰ 2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头 1 0 3 7.4 0 Ⅱ 2 0 1 7.3 0.1 Ⅲ 0 2 2 7.2 0.2 Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3 Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8 各100根，原料长7.4m
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根
minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5
x1 + 2x2 3x1+ x2+2x3 + x4 =100 +3x5=100
2x3 +2x4+ x5=100 xi 0 (i =1,…,5)，且为整数
以上例题共同特点
•目标明确：要解决的问题的目标可以用数值 指标反映。Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大或 极小 •多种方案：对于要实现的目标有多种方案可 选择 •资源有限：有影响决策的若干约束条件 •线性关系：约束条件及目标函数均保持线性 关系
目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%） x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供应量限制） xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
aij 结构系数或消耗系数 bi 限定系数或常数项
cj 利润系数或成本系数
隐含的假设
• 比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决 策变量改变量成正比 • 可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独 立于其它变量 • 连续性：每个决策变量取连续值 • 确定性：线性规划中的参数aij , bi , cj为确定值