概率论第一章da1ppt课件

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二、离散型随机变量 可能取值为有限个或可数无穷个.
1. 概率函数 P X x i p x ii 1 ,2
性质： (1) pxi0; (2) pxi 1. i1
2. 分布函 数 右连续的阶梯曲线 .
3. 常见分布
1 X~B n ,p P X m C n m p m q n m ,m 0 , 1 , 2 , ,n .
解（1） F (, ) A (B )C ( ) 1(A 0) 22
对任意的x与y，有
F (x ,) A (B arx c )C ( t a ) n 0
F , 0 , F , 1 .
2. 二维离散随机变量的联合概率分布
Baidu Nhomakorabea
P X x i , Y y j p i, ji , j 1 , 2 , 3 ,
.
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3. 二维连续随机变量的联合概率密度
F x,yP Xx,Yyx y fx,ydxdy
性质： ⑴ fx ,y 0( x ,y )
F Z z P Z z P X 2 Y 2 z
fx, ydxd,y x2y2z
⑶ 最大值与最小值的分布
n
n
FmaxzFiz Fminz11Fiz
i1
i1
.
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（二）作业略解
3 20个产品中有4个次品，抽取6个产品，
（1）不放回抽样，求样品中次品数的概率分布；
（2）放回抽样，求样品中次品数的概率分布。
解XY 1
2
1
1/36 1/36
2
0 2/36
3
0
0
4
0
0
5
0
0
6
0
0
3
4
5
6
1/36 1/36 1/36 1/36
1/36 1/36 1/36 1/36
3/36 1/36 1/36 1/36 0 4/36 1/36 1/36
0
0
5/36 1/36
0
0
0 6/36
即 PXi,Yj 31 i ,,6ii jj i,j1,2,,6.ij
3 6 .
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16. 设二维随机变量（X,Y）在矩形域 axb,cyd
上服从均匀分布，求：（X,Y）的概率密度及边缘概率密度。
X与Y是 否独立？
解 （X,Y）的概率密度
f(x,y) (ba)1d (c) 0
axb, cyd 其它
X边缘概率密度
fX(x)
f(x,y)dy
(b
1
a)
0
a xb 其它
⑵ fx,ydxd 1y
⑶ fx ,y F x y x ,y
⑷ P X,Y G fx,ydx.dy
G
4. 二维随机变量的边缘分布
⑴ 离散型 pX xi pxi,yj
j
pY yj p xi, yj
i
.
5
⑵ 连续型
F XxF x, xdx f x,ydy
F Y y P Y y P lX n y
PXey
ey
0
2 x2 1 dx
所以，随机变Y量 的函 概数 率密度为
fY(y)f(ey)ey
2e y e2y 1
yR
.
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15.随机地掷一颗骰子两次，设随机变量X表示第一次出现的点 数,Y 表示两次出现的点数的最大值，求(X,Y)的概率分布 及Y 的边缘分布。
解 ⑴ 不放回抽样，设随机变量X 表示样品中次品数，
则X的所有可能取的值为： 0、 1、 2、 3、 4,
P Xi CC4iC261606i
X
0
1
2
3
4
Pxi 0.2066 0.4508 0.2817 0.0578 0.0031
⑵ 放回抽样，设随机变量Y 表示样品中次品数，
则X的所有可能取的值为：0、 1、 2、 3、 4、 5、 6,
第二章 随机变量及其分布
（一）基本内容 一、随机变量及其分布函数
1. 概念
2. 分布函数 F x P X x
( 1 )0 F x 1 , x
性 ( 2 )F x 1 F x 2 ,当 x 1 x 2 .
质 ( 3 )F 0 ,F 1
( 4 )P x 1 X x 2 F x 2 F x 1
.
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PYkC6k15k546k
X0 1 2 3 4 5 6
Pxi 0.2621 0.39320.2458 0.08190.01540.00150.0001
.
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12.
设随机变量X的概率密度为
fx
2 x2 1
当x0,
0 当x0
求随机变量函数 YlnX的概率密度。
解 对于任意 y， 的 随 实 机 Y 数 的 变分 量布函数
.
6
7.随机变量函数的分布
⑴ 和的分布
离散型 pZ zkpxi,yj
ij
pxi,zkxi pzkyj,yj .
i
j
连续型
F Z z P Z z P X Y z dxz xfx,ydy
fZz
fx,zxdx
fzy,ydy.
.
7
⑵ 平方和的分布
2 X~P PXmme,m1,2, m !
.
2
三、连续型随机变量 可取得某一区间内的任何数值.
1. 特点 PXx0.
2. 分布函数 连续 Fx x ftdt
3. 概率密度 f(x)Fx
性质：⑴ fx0; ⑵ fxdx1;
⑶ Px1Xx2 x2 fxdx
均匀分布 U[a,b] fx1 xb1a, 当axb;
4. 常见分布
0, 当xa或xb.
指数分布 e()
fxex,
0,
当0x; 当x0.
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3
四、随机变量函数的分布 1、离散型 2、连续型
五、二维随机变量
1. 二维随机变量的联合分布函数
Fx,y P X x ,Y y , x , y 性质： 0F x ,y1 ,
F x , liF m x ,y 0 , F ,y0, y
Y边缘概率密度
fY(x)
f(x,y)d
x
(d
1
0
c)
c yd 其它
X与Y是相互独立的。 .
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17：设 (X,Y）的分布函数为：
F(x,y)A (Barcxt)a C ( narcyt)an
2
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（1）确定常数A, B, C； （2）求(X,Y）的概率密度；
（3）求边缘分布函数及边缘概率密度。X、Y是否独立？
fXx
f
x,
ydy
F YyF ,yd x y fx,ydy
fYy
f
x,
ydx
6. 随机变量的独立性
⑴ 离散型 X 与Y 相互独立
⑵ 连续型 X 与Y 相互独立
p x i,y j p X x ip Y y j
F (x ,y)F X (x )F Y (y)或 f(x,y)fX(x)fY(y).