巧用向量方法解立体几何题

巧用向量的方法解立体几何题

现在考查立体几何的热点之一是空间角与距离问题，空间角包括三种角：两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；距离包括六种距离：点到点的距离、点到直线的距离、点到面的距离、两条平行直线的距离、直线与平行平面的距离、两个平行平面之间的距离。六种距离中着重测试点到面的距离。试题中往往先给出柱、锥具体几何图形或不规则图形，在特定的图形环境中测试有关空间角与距离问题，从而达到考查学生空间想象能力和逻辑推理能力以及计算表达能力的目的。解决这类问题除了常规方法外，如果能比较巧妙地建立三维空间直角坐标系，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，即利用向量的方法解决此类问题将能化繁为简，化抽象为具体，从而大大降低因空间想象能力的障碍影响解题，提高解题的速度和得分率。

下面谈谈几种应用向量解决考题中有关空间角与距离问题的方法：

一：利用向量数量积定义式求异面直线的夹角（或夹角的余弦值）

向量数量积定义 ：若a 和b 是空间中两个向量， a

=（ x 1 , y 1 , z 1 ），b =（ x 2 , y 2 ,

z 2 ）则

a ·

b = │a │·│b │cos ＜a

，b ＞，.把公式变形得

cos ＜a ，b ＞

= a b

a b ⋅=⋅

例1．已知：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AA 1，BB 1的中点，

求CM 和D 1M 所成角的余弦值。

分析：要想利用向量定义式求异面直线的夹角，首先得建立适当的空间直角坐标系，再找出

对应C 、M 、D 1、、M 点的坐标，从而找出CM 和1D N

的坐标，最后利用上述公式求解。

解：建立以D 为坐标原点 ，DA 为x 轴 ， DC 为y 轴 ，DD 1为Z 轴的直角坐标系 ∵正方体的棱长为2 ∴C （ 0，2，0 ），M （2，0，1） D 1（0，0，2 ），N （2，2，1）

则CM

= （2，－2 ，1）， 1D N

= （2，2，－1）

∴cos ＜CM ， 1D N ＞=4411

99

--=-

∵两条直线的夹角取值范围是［ 0°，90°］，其余弦值为非负

∴CM 与1D N 所成的余弦值为1

9

例2．已知长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA ==直线

D 1

A

A 1

B

C1

M

BD 与平面11AA B B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于E ，F 为11A B 的中点.

求异面直线AE 与BF 所成的角；

分析：在长方体1111ABCD A B C D -中，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，

1AA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系。

由已知12,1,AB AA ==可得()(0,0,0),2,0,0A B (1,0,1)F 。

又AD ⊥平面11AA B B ，从而BD 与平面11AA B B 所成的角为30DBA ∠=︒， 又2AB =，AE BD ⊥

，1,3

AE AD ==

，

从而易得1,

,0,223E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

则()1,1,0,12AE BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭

，再利用向量定义式求异面直线的夹角。

二：利用平面的法向量求二面角的大小

如右图：若m

=（ x 1 , y 1 , z 1 ）是平面α的法向量， n

=（ x 2 , y 2 , z 2 ）是平面β法向量，则平面α与平面β所 成的二面角的大小即为向量m 与n

所成的角或其补角。

例3．在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、 SB 的中点。

（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B 的余弦值的大小；

分析：本题若想利用向量的方法解答，首先要先建立适当的直角坐标系，而所给的图形没有现成的垂直关系，但考虑到正三角形自身的对称性，不妨取AC 中点O ，连结OS 、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.要想证明AC ⊥SB ，只须证明

AC ·SB =0，由已知不难推得

A （2，0，0），

B （0，23，0），

C （-2，0，0），S

（0，0，22），M(1，3，0)，N(0，3，2).∴AC =（-4，0，0），SB =（0，23

，

22），

则AC ·SB =（-4，0，0）·（0，23，22）=0由此命题得证

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得CM =（3，3，0），=（-1，0，2）.设n =（x ，y ，z ）

为平面CMN 的一个法向量，

·n

=3x+3y=0，

则取z=1，则x=2，y=-6，

n

=-x+2z=0，

∴n

=(2，-6，1)，

又OS =(0，0，22)为平面ABC 的一个法向量，

∴cos(n

，||||OS n ⋅3

1.

∴二面角N-CM-B 的余弦值为

3

1. 三：用向量的方法计算点到平面的距离。

点到平面的距离的计算方法有多种，传统的方法经常利用等体积法达到求解的目的。但若能在具体的题目中建立适当的空间直角坐标系，利用平面外的点与平面内一点连线所成的

向量在法向量n

上的投影来求解。

例4：已知长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA ==直线

BD 与平面11AA B B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于E ，F 为11

A B 的中点.求点A 到平面BDF 的距离.

分析：点A 到平面BDF 的距离，即AB

在平面BDF 的法向量

n 上的投影的绝对值，

所以距离cos

,d AB AB n =⋅

=5AB n n

⋅=

= 所以点A 到平面BDF 的距离为

5

例5．如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，

D 1