典型环节的传递函数

P18 P28
2.4 典型环节的数学模型P22
思考题：
如何从该框图求得输出 与输入 之间的关系？
2.4 典型环节的数学模型P22
系统是由典型环节组成 常见的几种典型环节 比例、微分、积分、惯性、振荡、滞后 讨论内容
时域特征：微分方程，阶跃响应 复域（s域）特征：传递函数，零极点分布
'' '
六、纯时间延时环节（存滞后环节）P29
1.微分方程： 2.传递函数：
r(t)
3.阶跃响应：
c(t) t

t
P29
六、纯时间延时环节（存滞后环节）
4. 特点：
输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号
5.近似处理：
是非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制
e
s
1 1 1 s e 1 s ... 1 s
t
Re jn 1 2
极点分布图
c(t)的上升过程是振幅按指数曲线衰减的正弦运动。与 有关。
n 称为无阻尼振荡频率。 反映系统的阻尼程度， 称为阻尼系数，
当 1 时，曲线单调升，无振荡。
越小，振荡越厉害。 当0 1时，曲线衰减振荡。
当
0
时，曲线发散。
三、积分环节（Integral Element）P24
1.动态微分方程
c(t ) K r (t )dt
0
t
K
1

2.传递函数
C ( s) K 1 G ( s) R( s) s s
K—— 比例系数 —— 时间常数
3.单位阶跃响应
c(t )
c(t ) t Kt
1
c(t ) Kr (t )
uo
而
C
R2 Z2 1 R2Cs
R2
②
Uo ( s) Z2 R1 U i ( s) Z1 1 R2Cs
Uo ( s) 1 Ui ( s) RCs 1
ui
C
uo
思考？
（1） RL电路
L
ui ( t )
R
uo ( t )
（2） 直流电机的励磁部分
L
i f (t )
R
u f (t )
dr (t ) 1. 动态微分方程： c(t ) dt
P26
理想微分环节：
2. 传递函数 3.单位阶跃响应
C (s) s G (s) R( s)
r(t)
1
——时间常数
C(t)
T
c(t ) (t )
0
t
t
0
纯微分环节的阶跃相应曲线
四、微分环节（Derivative Element） P26
2.4 典型环节的数学模型P22
一、比例环节（Proportional Element）P23 二、惯性环节（Inertial Element） P23 三、积分环节（Integral Element） P24 四、微分环节（Derivative Element） P26 五、振荡环节（Oscillating Element） P28 六、纯时间延时环节（又称存滞后环节） P29

1
c(t ) K (1 e )
t
阶跃响应
求单位阶跃输入的输出响应：
C (s) K R(s) s 1 1 R(s) , s
K 1 1 ) C (s) K( 1 s ( s 1) s s
c ( t ) L [ C ( s )] K (1 e
1

t

)
二、惯性环节
4.特点：
对突变的输入其输出不能立即复现，有延迟； 非周期指数函数，无振荡； 惯性越大， 越大 当 t (3 ~ 4) 时，输出接近稳态值
5.零极点分布 j
j S平面

1

0
Re
只有一个极点 1
6.两个实例：
①
R2
+
u i R1
R
Z1 R1,
式中：k

R 2 R1 R
, T R 1C
2
五、 振荡环节（Oscillating Element）
1. 动态微分方程： 2 d c(t ) dc(t ) 2 2 c(t ) Kr (t ) 2 dt dt 2. 传递函数：
C (s) K G(s) 2 2 R ( s ) s 2 s 1

r (t ) 1(t )
0
t
三、积分环节（Integral Element）P24
4.特点：
输出量与输入量的积分成正比； 当输入消失，输出具有记忆功能
5.零极点分布
S平面
j 0 有一个0值极点
Re
6.积分环节实 例 ①：
R
C
Leabharlann Baidu
ui
－ ＋
U i ( s) U o ( s) 1 R Cs
五、振荡环节
单位阶跃响应
(0 1) P29
4.特点
环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换； 输出出现振荡
五、 振荡环节（Oscillating Element）
5. 实例——RLC电路 R
L
P28
ui (t)
C
2
uO(t)
d u0 ( t ) du0 ( t ) LC RC u0 ( t ) ui ( t ) 2 dt dt U o ( s) 1 2 U i ( s ) LCs RCs 1
一、 比例环节（Proportional
Element）
1. 动态微分方程： 2. 传递函数： 3. 阶跃响应 c(t)=Kr(t)
G (s) C ( s) K R( s)
k为放大系数(增益)
4. 特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 5. 实例： 电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。
带有惯性的微分环节
C
ui ( t )
R
uo ( t )
U o ( s) RCs U i ( s ) 1 RCs
R1
[实例]
x(t)
C
R2
y(t)
Y ( s) Z 2 ( s) , X ( s) Z1 ( s)
Z 2 R2 ,
R1 Z 1 R2 1 R1Cs
Y (s) R 2 ( 1 R 1 Cs ) k ( Ts 1 ) G (s) X (s) R 1 R 2 R 1 R 2 Cs kTs 1
P28
3.阶跃响应及零极点分布
n2 C (s) 2 G(s) 2 R ( s ) s 2n s n
五、 振荡环节（Oscillating Element）
0
c(t)
P28
0 1 1

n
Im jn 1 2
0

单位阶跃响应曲线 [分析]：
一、 比例环节
二、惯性环节（Inertial
C ( s) K G(s) R( s) s 1

Element）P23
dc(t ) c(t ) Kr (t ) 1. 动态微分方程： dt
2. 传递函数： 3. 阶跃响应
——时间常数
K——比例系数 通 过 原 点 切 线 斜 率 为
实例：
测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即
为微分环节。P28 图2-4-9
[实例]
①
R1
理想微分环节
ui
①
C
+
uo
U o ( s) R1Cs Ts U i ( s)
R1
比例微分环节
ui
C R0
+
uo
Uo (s) R1 (1 R0Cs) K(Ts 1) Ui (s) R0
五、 振荡环节（Oscillating Element）
P28
5. 实例——求质量-弹簧-阻尼系统的 和 n。见例2-1-1，p11）
X ( s) 1 2 解：mx fx kx F , G ( s ) F ( s ) ms fs k 2 当 f 4mk 0时，有一对共轭复数极点。所以： k k f 1 2 m G ( s) , n ,2 n , k s2 f s k m m m m k f n , 解得： m 2 mk
G ( s ) ( s 1) ( s 1) G(s) s 1
c(t)
P26
2.阶跃响应
K
r(t)
K
t t
3.实例：P27 图2-4-7
四、微分环节（Derivative Element）
P26
特点：
输出量正比输入量变化的速度; 能预示输入信号的变化趋势。
说明：
延迟过大会使控制效果恶化，甚至不稳定 当时间 很小时，可用一个小惯性环节代替

其他不稳定环节
1 1 , 2 2 Ts 1 T s 2Ts 1
它们的极点在s平面的右半平面
小结
典型环节的时域数学模型——微分方程 典型环节的传递函数 典型环节的单位阶跃响应 典型环节的零极点分布 常见实例
实际微分环节：微分环节和惯性环节串联
1.传递函数
C ( s ) K s G (s) R( s) s 1
c(t ) Ke

t

2.阶跃响应 3.实例：P26 图2-4-5
四、微分环节（Derivative Element）
比例微分环节：
1.传递函数
理想比例微分： 实际比例微分：
第二章 线性系统的数学模型
杜鹏英 dupy@zucc.edu.cn
第二章 线性系统的数学模型
2.0 引言 2.1 线性系统的输入输出时域描述 2.2 拉普拉斯变换（Lapalase Transform） 2.3 线性系统的传递函数 Transfer Function 2.4 典型环节的数学模型 P22 2.5 系统的方框图（结构图）Block Diagram 2.6 信号流图及梅逊公式 2.7 非线性数学模型的线性化P20
uo
U o ( s) 1 U i ( s) RCs
t
②
电动机（忽略惯性和摩擦）
齿轮组
ui
'
kui kui (t )dt 0 可见， ' ~ ui 为比例环节， ~ ui 为积分环节。
'
图中， 为转角， ' 为角速度。
四、微分环节（Derivative Element）