2009年群论试题

2009年群论试题√ⅹ 一．填空

1.任意一个群G ,其单位元素e 和G 本身都是G 的子群，这两种子群称为显然子群或平庸子群 。

2.设G 是X 上变换群，x 是X 内一点，G 的子群x G 保持x 不变{}x hx G h G x =∈=，x G 称为G 对x 的迷向子群

3.有限群的所有不等价不可约表示的特征标在类函数空间是完备的。

4.有限群在内积空间的每一个表示都是酉表示。 5．

()∑===n

i pr

i r

i p

r

p

g g n

1

*)()(1

δ

χχ

χ

χ

是特征标的第一正交关系，

∑

==

q

p ij i

i p

i p n n k k 1

*)()(δχχ是特征标的第二正交关系

二.选择题.

1.下面那个是三阶对称群的内自同构映射（C ）

A.ααμg g =)(1

B. )(2αμg =（1 2）αg （1 2）

C. )(3αμg =（2 3）αg （2 3）

D. )(4αμg =（1 3 2）αg （1 3 2） 2.设A 和B 是从V 到V 的线性变换，它们之间的关系（A ）是错误的 A ))(())((x B A B Ax = B ))(())((x B A x AB = C )()())((x B x A x AB += D ))(())((x A a x aA = 3.3D 群的正则表示矩阵为（B ）

A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛100000010000001000000100000000000001 B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛101000100000010000000010000001000100

C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛000000001000100000000001000100000010 D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛10

000100001000000100000000000001

4.设G 是点群，K 是G 的转动子群，)3(SO G K ⋂=则下面那一项是正确的（B ）

A.K G =.,K 是)3(SO 的有限子群B K G =,G 是)3(SO 的有限子群

C. K G = G 不包含反演元素I

D. K G =,K 不包含反演元素I

5.利用对称群理论或直接做乘法，得到的一些四面体群T 的元素的分类中（D ）是错误的.

A {}E

B {}222,,

C C C C {}333

3,,,C C C C '''''' D {}232323,,,C C C C '''''' 三.判断题

1.有限群每类元素的个数等于群阶的因子。.........................................................................（√）

2.正交变换不仅保持两个向量的长度不变，还保持两个任意向量的内积不变………….（√） 3．3D 的恒等以为表示是1)()()(.1)()()(-======c A b A a A f A d A e A …………（ⅹ） 4.有限群在内积空间的百偶是，或是可约的，或等价于一个可约表示的直和…. ………（ⅹ） 5.等价表示的特征标相同，同一表示中，共轭元素的特征标相等……………………….（√） 四.证明题

1.设{}αg G =，G u ∈，当α取遍所有可能值是，乘积αug 给出并且仅仅一次给出G 的所有元素。

证明： 先证G 中任意元素βg 可

αug 的形式。因为G u

∈-1

，所以

G g g u

∈=-αβ1

，自然有αβug g =。

再证αug 当α不同时，给出G 中不同的元素。用反证法，设αα'≠，而αα'≠ug ug ，两边左乘1-u 得αα'=g g ，这与α可以唯一标记G 中元素矛盾。故αα'≠时，αα'≠ug ug 。于是当α改变时，αug 给出并仅一次给出G 的所有元素。

2.设x G 是G 对x 的迷向子群，则x G 的每一个左陪集，把点x 映为X 中一个特定的点y ，也就是说，含x 的G 轨道上的点，和x G 的左陪集间有一一对应关系。

证明：设y 是含x 的G 轨道上的点，即有G g ∈，使y gx =，则x G 左陪集x

gG 也将x 映

为y 。因为

{}

{

}

x

x

x

G

h gh gG

x x h G h G

∈==∈=αααα

得y gx gh ==α。反之，若有G f ∈，f 把x 映为y ，y fx =，则由gx y fx ==，得

fx g

x 1

-=，G f g

∈-1

,x

gG f ∈

即只有左陪集x

gG 中的元素，才可以把x 映为y 。因此，含x 的G 轨道上的点和x G 的左陪集间有一一对应关系 3.证明()∑===n

i pr

i r

i p

r

p

g g n

1

*)()(1

δ

χχ

χ

χ

。

证明：有限群G 的不可约p A 表示必有等价酉表示P A '，由特征标的正交性定理知

v v pr p

i n

i r

i p S g A g A n

''='=

''∑

δδδμμγ

μμμ

1)()(11

*，

两边取v =μ，v '='μ对μμ'求和，并利用等价表示的特征标相得

pr

v v pr

p

i n i r

i p

i n

i r

i p S g g n g A g A n

δ

δδδ

χχμμμμμμγ

μμμ

==

=''∑∑∑∑'

''='='1)

()(1

)

()(1

1

*

1

*