大学物理习题册及解答(第二版)第二章 质点的运动定律

O
解：在x和y方向应用牛顿第二定律
θ
2
l
T
H
N
T sin θ − N cosθ = ma = mω r = mω l sin θ T cosθ + N sin θ − mg = 0
2
x mg
∴(1)N = mgsinθ − mω l sinθ cosθ
2
T = mg cosθ + mω l sin θ
质点的运动定律（ 第二章 质点的运动定律（一）
一 选择题
1．站在电梯中的人，看到用细绳连接的质量不同的两物体，跨 过电梯内一个挂在天花板上的无摩擦的定滑轮而处于“平衡 静止”状态，由此，他断定电梯在作加速度运动，加速度是： (A) 大小为g，方向向上. (B)大小为g，方向向下． (C) 大小为g/2，方向向上． (D) 大小为g/2,方向向下
(B)
2mυ
B
(D) 2mυ
C
6.一质点作匀速率圆周运动时， (A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变． (B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变． (C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变． (D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变．
7．如图所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为v，圆 半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重 力冲量的大小为
=∫
b
= ∫ kdr = k (rb − ra ) a b r b r b W2 = ∫ F2 ⋅ dr = F2 ds = ∫ kds = kS a a ∫
a
a b
r r b F1 ⋅ dr = ∫ F1ds cos θ
a
a
ra
O
F2 S
θ
F1
rb
b
(2) 因F1所作的功与具体路径无关，由质点开末位置确定，而F2作 的功与具体路径有关，所以F1是保守力。
x
y
y
0
x
x
0
7．设作用在质量为1kg的物体上的力F＝6t＋3（SI）． 如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在 0到2.0 s的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小 18 N·s Ｉ＝____________． 8．一人站在质量（连人带船）为m1＝300 kg的静止的船 上，他用F＝100 N的恒力拉一水平轻绳，绳的另一端系在 岸边的一棵树上，则船开始运动后第三秒末的速率为 1 m/s __________；在这段时间内拉力对船所做的功为 ____________．（水的阻力不计） 150 J 分析：利用动量定理和动能定理求解
3 顶角为2θ的直圆锥体,底面固定在水平面上,如图所示。质量为m的小球系在 绳的一端，绳的另一端系在圆锥的顶点，绳长为l，且不能伸长，质量不计。圆 柱面是光滑的，今使小球在圆锥面上以角速度ω绕OH轴匀速转动，求： (1)锥面对小球的支持力N和细绳的张力T； (2)当ω增大到某一值ωc时小球将离开锥面，这时ωc及T又各是多少？ y
M g =G R
E 2
F −m g a= m +m
2 1 2
v F
v T
m1 m2
m T= (F + m g) m +m
2 1 1 2
6．质量为m的小球自高为y0处沿水平方向以速率v0抛出, 与地面碰撞后跳起的最大高度为y0/2，水平速率为v0/2. 则碰撞过程中 (1)地面对小球的竖直冲量的大小为___________； (2) 地面对小球的水平冲量的大小为_________． 解：碰前小球沿x和y方向的速度分别为：
y 方法1 利用动量定理求解
r r 小球初态动量 p初 = mRωj
r r r r r p末 = -mRωi ,-mRωj , mRωi , mRωj v r r 利用动量定理得： I = p末 - p初
O R
ωt
x
小球经过(1) 1/4圆周，(2) 1/2圆周，(3) 3/4圆周，(4) 整个圆周后的 末态动量
A
m B
θ
Tcosθ = mg
绳断后，小球沿BC长度方向受力平衡， T2 张力与球重量的关系为：
T
T’
T′ = mgcosθ
从上两式易得：
mg 剪断前
mg 剪断后
T : T′ =1/ cos θ
2
3 一块水平木板上放一砝码，砝码的质量m＝0.2kg，手扶 木板保持水平，托着砝码使之在竖直平面内做半径R＝0.5 m的匀速率圆周运动，速率v=1m/s．当砝码与木板一起运 动到图示位置时，砝码受到木板的摩擦力为_____，砝码 受到木板的支持力为___． y 解：砝码在x方向上所受的力就等于木板 的摩擦力，即有： m N x v mg 45°f f = m cos 45 =0.28 N R 在y方向写出牛顿第二定律有： v N − mg = −m cos 45 R v N = mg − m cos 45 =1.68 N R
2．竖立的圆筒形转笼，半径为R，绕中心OO′转动，物体A紧靠 在圆筒的内壁上，物体与圆筒间的摩擦系数为µ，要使物块A不下 O ω 落，圆筒转动的角速度ω至少应为 R （A） µ g （B） µg A R g g （D） （C） R µR O ' 解：A物体不下滑的条件是重力不大于摩擦力，并且圆筒对 它的压力作为它作圆周运动的向心力，即有：
2 2
(2)ω = ω
c
c
N =0
ω = g / l cosθ T = mg / cosθ
r r dθ θ r v θ r dθ 2 2 = ∫ (−mRω cos θi − mRω sin θj ) I = ∫ Fdt = ∫ F 0 0 ω ω r r θ = ∫ (−mRω cosθi − mRω sinθj )dθ 0 r r r = −mRω sin θi + mRω cos θj − mRωj π 3π 将 θ = ,π , ,2π 分别带入上式，得到冲量 2 2 r v r v r I 1/ 4圆周 = −mRωi − mRωj I 1/ 2圆周 = −2mRωj v r r v I 3 / 4圆周 = mRωi − mRωj I 整圆周 = 0
dυ k dυ = d υ ⋅ dx F =υ ∴a = = − 2 = dx dt mx dt m dx
k vdv = − dx 2 mx
k dx ∫ vdv = ∫ − 2 mx 0 x
v x
0
v2 k 1 1 = − 2 m x x0
v=
k 1 − 1 2 m x x 0
2 B 2 2 2 2
Ｔ１ Ａ
mg
1
Ｔ２ Ｔ３ Ｂ Ｃ
mg
2
m1
A
Ｔ２ m a = m g − T = m g − ( m + m )g
3
Ｔ３
mg
3
m2 m3 x
B C
v v a =―(m3/m2)g i
B
Ａ物体受力情况不变
v a =0
A
C
2．质量为m的小球，用轻绳AB 、 BC连接，如 图，其中AB水平．剪断绳AB前后的瞬间，绳 BC中的张力比T : T′＝ ． 解：绳断前小球在竖直方向受力平衡，即有：
M
a
mg
N cos θ − mg = 0
则外力
F = (m + M )a = (m + M)gtgθ
由牛顿第三定律，m对M的压力与N大小相等方向相反，数值为:
N = mg / cosθ
2． 一质量为 m的物体，最初静止于x0 处,在力 F= - k/x2 的作用 下沿直线运动，试求出物体在任意位置x处的速度 k 解： Q F = ma= − 2 x
y y0 1 y0 2
O m
v =v
x
x
0
v = − 2gy
y
v0 1 v0 2
0
v ' = gy 地面对小球的竖直冲量大小 mv ' − mv = ( + 2)m gy 1 地面对小球的水平冲量大小 mv ' − mv = mv / 2
v '= v / 2
0
碰后小球沿x和y方向的速度分别为：
y 0
4 质量为m的小球在水平面内作半径为R的匀速圆周运动，圆 周运动的角速度为 ω .试通过小球受到合外力的时间积分计算， 小球在经过(1) 1/4圆周，(2) 1/2圆周，(3) 3/4圆周，(4) 整个圆 周，几个的过程中向心力的冲量，以及由动量定理得出这几个 y 过程中的冲量． ωt O 解：方法1 小球所受合力作为它作圆周运动的向 R x 心力，合力的冲Βιβλιοθήκη Baidu表示为：
2
1 (A) θ = π 2
(B) θ = arccos(
Rω
2
).
(D) 需由小珠的质量m决定
解：小珠相对于圆环静止时，它以半径为Rsinθ ，角 速度ω绕竖直轴转动，分别对水平方向和竖直方向写 出牛顿第二定律：
mg ≤ f 摩 = µN = µmRω 2
ω≥
g µR
3． 一单摆挂在木板的小钉上（摆球的质量<<木板的质量）， 木板可沿两根竖直且无摩擦的轨道下滑，如图．开始时木板被 支撑物托住，且使单摆摆动．当摆球尚未摆到最高点时，移开 支撑物，木板自由下落，则在下落过程中，摆球相对于板 (A) 作匀速率圆周运动 (C) 仍作周期性摆动 (B) 静止 (D) 作上述情况之外的运动
得到四种情况下小球受到的冲量为：
v r r I 1/ 4圆周 = −mRωi − mRωj v r r I 3 / 4圆周 = mRωi − mRωj
v r I 1/ 2圆周 = −2mRωj
v I 整圆周 = 0
5. 质点在力的作用下，由位置ra运动到位置rb，经过路程为S，如图 所示．如果力的函数分别为： 和 ,其中k为常数， 分别是沿矢径 、速度 的单位矢量．(1) 分别求两种力 在该过程中作的功；(2) 说明哪个力是保守力． 解：（1）W1
2 o 2 o
2 o
4． 假如地球半径缩短 1％，而它的质量保持不变，则地 球表面的重力加速度g增大的百分比是_______． 2％ 5．在如图所示的装置中，两个定滑轮与绳的质量以及 滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计，绳子不可伸长， m1与平面之间的摩擦也可不计，在水平外力F的作用下， 物体m1与m2的加速度a＝______________，绳中的张力T ＝_______________.
第二章 质点的运动定律（二） 质点的运动定律（ 一 选择题
1． 一小珠可在半径为R竖直的圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以 其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度ω转动，小珠 偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖 直方向的角度为 g
Rω (C) θ = arctg( ) g
µ0 g
R
3µ0 g (B) ω ≤ 2R
µ0 g
R
ω
O
A R
3µ0 g R
( D) ω ≤ 2
解：工件在转台上无滑动的条件是，它所受的摩擦 力刚好等于它的向心力，即有：
Q mRω = f ≤ µ0 N
2
ω≤
µ0 g
R
二、填空题
1．质量分别为m1、m2、m3的三个物体A、B、C，用一根细绳和两 根轻弹簧连接并悬于固定点O，如图．取向下为x轴正向，开始时 系统处于平衡状态，后将细绳剪断，则在刚剪断瞬时，物体B的加 速度 物体A的加速度 。 O 解：因开始时系统处于平衡状 态，绳刚剪断时，弹簧形变状 态未变，对Ｂ物体应用牛顿第 二定律有：
三、计算及证明
1． 质量为m的木块放在质量为M倾角为θ的光滑斜劈上，斜劈与 地面的摩擦不计，若使m相对斜面静止，需在斜劈上施加多大的 N θ y 水平外力？木块对斜劈的压力为多少？ 解：在 x方向和y方向分别应用牛顿第二定律
x
F
N sin θ = ma
a = gtgθ
N = mg / cos θ
m
µgR
(D) 还应由汽车的质量M决定
解：汽车不发生侧向打滑的条件是，它所受的摩擦力 不得小于向心力，即有：
υ f = µN = µmg ≥ m R υ ≤ µgR
2
5．质量为m的质点，以不变速率v沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动．质点越过A角时，轨道作用于质 点的冲量的大小为 A
(A) mυ (C) 3mυ
( A ) 2 mv
( B)
( 2mv ) + ( mgπR / v )
2
2
( C) πRmg/v
( D) 0
m
8． 在作匀速转动的水平转台上，与转轴相距R处有一体 积很小的工件A，如图所示．设工件与转台间静摩擦系数 为µ0，若使工件在转台上无滑动，则转台的角速度ω应满 足
( A) ω ≤
(C) ω ≤
mg
分析：在板上来看小球受到竖直向上的平移 惯性力与所受重力抵消，所以小球所受合力 沿绳指向中心。
支撑物
mg
4． 一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为R，汽车轮 胎与路面间的摩擦系数为µ，要使汽车不会发生侧向打滑， 汽车在该处的行驶速率 (A) 不得小于 (C) 必须等于
µgR
2 gR
(B) 不得大于