最新4-11-常系数高阶线性齐次方程的解法汇总

4-11-常系数高阶线性齐次方程的解法
4.2 常系数高阶线性方程基本解组求法
(How to Solve higher order Linear ODE with constant coefficients)
[教学内容] 1. 介绍常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的概念; 2.介绍如何由常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的根来获得原微分方程基本解组; 3. 介绍如何说明常系数齐次线性微分方程一组解能否构成基本解组;4. 介绍欧拉方程及其解法.
[教学重难点] 重点是知道并会常系数高阶齐次线性微分方程（或欧拉方程）特征方程来获得原微分方程基本解组；难点是如何由特征方程的特征根来写出原微分方程的基本解组.
[教学方法] 预习1、2；讲授3
[考核目标]
1. 能写出常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的形式
2. 能由常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组;
3. 知道试解法以及微分方程复函数解概念以及其与实函数解关系.
1.认识常系数高阶齐次线性微分方程的试解法.
例45. 考察微分方程«Skip Record If...»，由分离变量法可得其通解为«Skip Record If...».
现考察常系数齐次线性微分方程«Skip Record If...». 大胆假定方程具有形如«Skip Record If...»的解，将其代入原方程得到，«Skip Record If...».
注意到«Skip Record If...»，因此«Skip Record If...»是方程的解«Skip Record If...»«Skip Record If...».
我们称代数方程«Skip Record If...»为微分方程«Skip Record If...»的特征方程. ( 如何由常系数齐次线性微分方程来写出其特征方程？)
由特征方程«Skip Record If...»解出«Skip Record If...»，相应地得到原微分方程的两个解«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
下面验证«Skip Record If...»线性无关：
«Skip Record If...»（这里行列式叫做范德蒙行列式，参见《高等代数》 P79例2）
因此，«Skip Record If...»构成了原微分方程一个基本解组，原方程的通解为
«Skip Record If...».
例46. Solve the differential equation «Skip Record If...».
Solution The associated characteristic equation is «Skip Record If...».
By applying the quadratic formula, we get two different roots:«Skip Record If...»。

Thus, the general solution to the differential equation is
«Skip Record If...».
注解47. 一般的n阶齐次线性方程的特征方程具有n个不同实根情形下基本解组参见教材P137 表达式 (4.22).
作业44. Solve the following differential equations (1) «Skip Record If...»;
(2)«Skip Record If...».
例48. 求解«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». 解：原方程的特征方程为«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...».
于是，我们得到原方程的一个非零解«Skip Record If...».
我们知道二阶齐次线性微分方程的基本解组含有两个线性无关的解函数，如何求出另一个与之线性无关的解函数呢？
考察方程«Skip Record If...»，其特征方程为«Skip Record If...»，得特征值为
«Skip Record If...». 此处很容易求出方程«Skip Record If...»两个线性无关的解函数«Skip Record If...». 因此，通解为«Skip Record If...».
考察方程«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，代入方程得到，
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
注意到«Skip Record If...»为方程«Skip Record If...»的解，于是«Skip Record If...»，因而«Skip Record If...».
解得«Skip Record If...»，相应地，原方程的两个解为«Skip Record If...». 下证
«Skip Record If...»线性无关. 考察«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，注意到«Skip Record If...»，于是上式两边同除«Skip Record If...»得到，«Skip Record If...»，这是等式成立只能是«Skip Record If...». 因此，«Skip Record If...»为原方程的基本解组，因此«Skip Record If...»通解为«Skip Record If...».
注解49.一般的n阶齐次线性方程的特征方程具有重根情形下的基本解组参见教材P140的表达式(4.26).
例50. Find the general solution of differential equation «Skip Record If...». Solution The associated characteristic equation is «Skip Record If...». This algebraic equation only has one single solution «Skip Record If...». So fundamental solutions of differential equation are «Skip Record If...». The general solution of the differential equation is «Skip Record If...».
作业45. Find particular solution of differential equation «Skip Record If...»satisfying «Skip Record If...».
例49. 求解方程«Skip Record If...».
解：相应的特征方程为«Skip Record If...»，运用二次根式公式得到«Skip Record If...».
问：此时方程的基本解组是什么？
2.复值函数和复值解（complex value function and complex value solution）
(1)复数：«Skip Record If...»，分别称«Skip Record If...»为复数z的实部(Real part)和虚部(Imaginary part), 称«Skip Record If...»为复数z的共轭复数（conjugate of z).
复数相等：设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».
复数乘法：«Skip Record If...».
复数除法：«Skip Record If...».
(2)复值函数：若«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»都是实函数，则称
«Skip Record If...»为定义在[a, b]上的复值函数，分别称«Skip Record If...»为z(t)的实部和虚部，称«Skip Record If...»为z(t)的共轭函数.
(3)复值函数«Skip Record If...»的极限、连续性、可导性、可积性都是由其实部函数和虚部函数来确定的，具体来说，若«Skip Record If...»都是连续（可导、
可积）函数，则称复值函数z(t)连续（可导、可积）.
(4)复指数函数及其性质：设«Skip Record If...»，定义«Skip Record If...»，称之
为复数z的指数. 特别地Euler’s formula: «Skip Record If...».
复指数函数«Skip Record If...»的性质：«Skip Record If...»；«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为复数.
(5)复值解：考察方程«Skip Record If...»，将«Skip Record If...»代入方程得到，
«Skip Record If...»，因此，z(t)代入方程等式成立，于是z(t)称之为方程的复值解.
(6）实系数齐次线性微分方程复值解成对出现：
(i) 考察实系数代数方程«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»为方程的解，则«Skip Record If...»的共轭«Skip Record If...»也是代数方程的解. （自己试着证明！）
(ii) 考察实系数齐次线性微分系统«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»为微分方程的解，则z(t)的共轭«Skip Record If...»也是微分方程的解；进一步由Superposition Principle知，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»都是方程的实函数解.
例49. 求解方程«Skip Record If...».
解：相应的特征方程为«Skip Record If...»，运用二次求根公式得到«Skip Record If...».
由复指数函数性质可验证«Skip Record If...»为微分方程的解（由上面的结论知，z(t)的共轭也是解），因此，«Skip Record If...»都是微分方程的解. 下证
«Skip Record If...»线性无关，考察«Skip Record If...»，两边同除以«Skip Record If...»得到，«Skip Record If...»，对上述等式两边关于t求导得到另一等式«Skip Record If...»，且上述两等式等价，因此由«Skip Record If...»和克莱姆法则知，«Skip Record If...». (换言之，函数«Skip Record If...»Wronski行列式不为零，因而它们线性无关)
因此，原方程的通解为«Skip Record If...».
例50. Solve the differential equation «Skip Record If...».
Solution The associated characteristic equation is «Skip Record If...». According to the quadratic formula, we get the solutions of the above algebraic equation «Skip Record If...».
So «Skip Record If...»为原方程的一个复值解，因此，«Skip Record If...»为微分方程的基本解组，原微分方程的通解为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为任意实数.
例51.求解方程(1) «Skip Record If...»; (2) «Skip Record If...».
解：(1) 特征方程为«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
于是得到方程的解为«Skip Record If...»，于是得到基本解组为«Skip Record If...». 原方程的通解为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数.
(2)自行完成.
注解52.对于一般的n阶齐次线性微分方程的特征方程具有二重的复根«Skip Record If...»，则微分方程具有线性无关的解为«Skip Record If...».
作业46. Find the general solution of the following differential equations:
(1) «Skip Record If...»; (2) «Skip Record If...».。