概率论—随机事件的独立性

P AB P APB ．
P AB P APB P B A P B 因此， ． P A P A
第一章 第五节 随机事件的独立性 7
注 释
由上面的性质（一）可知，公式
P AB P APB
的适用范围要比公式
PB A PB
A 取出的球涂有红颜色 B 取出的球涂有白颜色 C 取出的球涂有黑颜色
则
1 P A P B P C 2
第一章 第五节 随机事件的独立性 21
ຫໍສະໝຸດ Baidu 例 5（续）
1 1 P AB P BC P AC P ABC 4， 4．
2n 1 n
个等式．即如果我们要判断 A1,
A2 , , An 相互独
n 2 立，我们需要判断 1 n 个等式是否成立．
第一章 第五节 随机事件的独立性
24
独立随机事件的性质
如果 A1,
A2 , , An 相互独立， 则
Ai1 , , Aim , Aim1 , , Ain
由 B B A A B AB A B ，得
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第一章 第五节 随机事件的独立性
例 4（续）
所以，由 B AB A B ，得
PB PAB A B P AB PA B
bb 1 ab b a ba b 1 a ba b 1 a b
1 P APB PA PB
所以 A 与 B 相互独立．
第一章 第五节 随机事件的独立性 10
设随机事件 A 与 B 满足： P APB 0 ．则⑴ 若事件 A 与 B 相互独立，则 AB ；⑵ 若 AB ，则随机事件 A 与 B 不相互独立． 解： ⑴ 由于随机事件 A 与 B 相互独立，所以
说 明
例 2 表明了独立性 与互不相容性之间 的关系．
第一章 第五节 随机事件的独立性 12
例3
从 1, 2, 3, 4, 5, 6 这六个数字中，每次取出一 个，有放回地取两次．令：
A 第一次取出数字 4， B 两次取出数字之和为 7．
试判断随机事件 A 与 B 是否相互独立？ 解： 该随机试验的样本空间为
解：
n n n P Ak 1 P Ak 1 P Ak k 1 k 1 k 1
1 PA1 PA2 PAn
1 1 P A1 1 P A2 1 P An
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例 4（不独立事件的例子）
袋中有 a 只黑球， b 只白球．每次从中取出一球， 取后不放回．令：
， B 第二次取出白球 ．则 A 第一次取出白球
bb 1 b P AB P A a ba b 1 ， ab ， ab P A B a ba b 1 ．
则称 A 、 B 、 C 是相互独立的随机事件．
第一章 第五节 随机事件的独立性
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注 意
即：前三个等式的成立不能推 出第四个等式的成立；反之， 最后一个等式的成立也推不出 前三个等式的成立． 在三个事件独立性的定义中， 四个等式是缺一不可的．
第一章 第五节 随机事件的独立性 20
例5
袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有 红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色．现 从袋中任意取出一球，令：
i, j : i , j 1, 2, , 6．
第一章 第五节 随机事件的独立性
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例 3（续）
而 A 4, 1, 4, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 6，
B 1, 6, AB 4,
2, 5, 3, 3．
4,
4,
3,
5,
2,
6,
1
6 1 6 1 1 所以， P A 36 6 ， PB 36 6 ， P AB 36 ． 1 因此， P AB 36 P AP B ．
这表明，随机事件 A 与 B 相互独立．
第一章 第五节 随机事件的独立性
而
第一章 第五节 随机事件的独立性
4
注 释
由例 1，我们可知： PB PB A． 这表明， 事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上没 有影响，即随机事件 A 与 B 呈现某种独立性．事实上， 由于我们采用的是“有放回摸球” ，因此在第二次取球 时，袋中球的总数没有改变；并且袋中的黑球与白球 的比例也没有改变，这样，在第二次摸球时，摸出白 球的概率 PB 自然与第一次摸出白球的概率 PB 相 同．
因此， P AB P APB ， P AC P APC
PBC PB PC ；
但是， P ABC P APB PC ． 因此， A 、 B 、 C 这三个随机事件是两两独立 的，但不是相互独立的．
第一章 第五节 随机事件的独立性
这 n 个随机事件也相互独立． 其 中
i1, i2 , , in
是 1,
2, , n 的一个排列．
第一章 第五节 随机事件的独立性 25
三．事件的独立性在 概率计算中的作用
第一章 第五节 随机事件的独立性
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例6
设 A1, A2 , , An 这 n 个随机事件相互独立，
n Ak ． 试计算 P k 1
第一章 第五节 随机事件的独立性
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事件独立性的性质（三）
若随机事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ； A 与 B ； A 与 B 也相互独立． 证明： 我们只证 A 与 B 相互独立．
PA B PB A PB AB
PB P AB PB P APB
P AB P APB 0
例2
这表明 AB ． ⑵ 由于 AB ，所以 AB ，因此 P AB P 0 ． 但是 P APB 0 ，所以 P AB P APB ． 这表明， A 与 B 不相互独立．
第一章 第五节 随机事件的独立性 11
k 1 100
．
P A1 P A2 P A100 0.03，所以
100 100 PB P A 1 1 0 . 03 0.9524 k k 1
从本题中我们可以发现， 每一个概率 P Ak 并 不大，但是混合后的血清中含肝炎病毒的概率 却很大．
由 B B A A B AB A B ，得
第一章 第五节 随机事件的独立性
3
例1（续） PB PAB A B P AB PA B
b2 ab b 2 2 a b a b a b
b2 P AB a b 2 b P B A b P A ab ． ab
毒， 设 B 混合100人的血清中含有肝炎病
则随机事件 B 发生当且仅当“这 100 人的血清中至少 有一个人的血清中含有肝炎病毒” ．因此，设
Ak 第 k 人的血清中含有肝炎病 毒
k 1,
2, , 100
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第一章 第五节 随机事件的独立性
例 7（续）
则有 并且
B Ak
的适用范围要广，因为后者有附加条件 但是公式 PB A PB的直观性要比前一个的强．
第一章 第五节 随机事件的独立性 8
P A 0 ．
事件独立性的性质（二）
必然事件 与任意随机事件 A 相互独立；不可能事 件 与任意随机事件 A 相互独立． 证明： 由 PA P A 1 P A PP A 可知必然事件 与任意随机事件 A 相互独立． 由 PA P 0 0 P A PP A 可知不可能事件 与任意随机事件 A 相互独立．
第一章 第五节 随机事件的独立性
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二．多个事件的独立性
第一章 第五节 随机事件的独立性
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三个事件的独立性
设 A 、 B 、 C 是三个随机事件，如果：
P AB P APB PBC PB PC P AC P APC P ABC P APB P C
§1.6 随机事件的 独立性
第一章 第五节 随机事件的独立性 1
一．两个随机事件的 独立性
第一章 第五节 随机事件的独立性
2
例1
袋中有 a 只黑球， b 只白球．每次从中取出一球， 取后放回．令：
， B 第二次取出白球 ． A 第一次取出白球
则
b P A ab ，
ab b2 P A B P AB 2 a b2 ． a b ，
bb 1 P AB a ba b 1 b 1 PB A b P A a b 1 ． ab
第一章 第五节 随机事件的独立性 16
而
例 4（续）
因此， PB A PB． 这表明，随机事件 A 与 B 不相互独立．事实上， 由于是不放回摸球，因此在第二次摸球时，袋中球 的总数变化了，并且袋中黑球与白球的比例也发生 变化了，这样在第二次摸球时，摸出白球的概率就 要发生变化了．或者说，第一次的摸球结果对第二 次的摸球结果就有影响了．
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n个事件的相互独立性
设 A1, A2 , , An 是 n 个随机事件，如果下列等式成 立，
1 i j n P Ai Aj P Ai P Aj P A A A P A P A P A 1 i j k n i j k i j k 1 i1 i2 im n P Ai1 Ai2 Aim P Ai1 P Ai2 P Aim P A1 A2 An P A1 P A2 P An
第一章 第五节 随机事件的独立性 5
随机事件独立性的定义
设 A 与 B 是两个随机事件，如果
P AB P APB
则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
第一章 第五节 随机事件的独立性
6
事件独立性的性质（一）
如果随机事件 A 与 B 相互独立，而且
P A 0 ，
则 PB A PB． 解： 由于随机事件 A 与 B 相互独立，所以，
第一章 第五节 随机事件的独立性 27
例 6（续）
P A1 P A2 P An p ，
特别地，如果
则有
n P Ak 1 1 p ． k 1
n
第一章 第五节 随机事件的独立性 28
例7
如果每个人的血清中含肝炎病毒的概率为 0.03 ，现 混合 100 个人的血清，求混合后的血清中含肝炎病毒 的概率． 解：
第一章 第五节 随机事件的独立性 30



则称 A1, A2 , , An 这 n 个随机事件相互独立．
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第一章 第五节 随机事件的独立性
说
在上面的等式中，
2 n C 后一行有 n 个等式．
明
3
第一行有 Cn 个等式，第二行有 Cn 个等式，……，最
因此，共有
2 3 n 0 1 Cn Cn Cn 2n Cn Cn