基于结构能量准则的阻尼器位置及参数优化

其中: Ti 为定位向量; i 为第i 个内置阻尼器。 局部坐标下的阻尼器单元阻尼矩阵、质量矩阵
和刚度矩阵分别为
$C′i =
cdi - c di - cd i cdi
$M′i =
mdi - mdi
- m di mdi
( 5)
$K ′i =
kdi - kdi
- k di kdi
其中: md i, kd i和 cdi 分别为第 i 阻尼器的质量、等效刚
元 素 Dij 为第 i 个节点对所对应于第 j 阶模态阻尼比
的灵敏度, 阻尼器的数目为 n, 则阻尼器位置优化的
数学表达式为
X = ( x 1, x 2 , …, x q)
q
q
q
∑ ∑ ∑ max f ( X) = min
Di1x i, Di2 x i, …, Disx i
i= 1
i= 1
i= 1
王明旭, 等: 基于结构 能量准则的阻尼器位置及参数优化
7 55
5Nr 5p m
=
-
5Kr 5p m
-
5 Kr 5p m
/ 2Xr
( 4)
阻尼器的安装对结构的阻尼阵和质量阵刚度影
响为
$ Ci = Ti$ C′i Ti T
$ Mi = Ti$ M′iTi T
$ Ki = Ti $K ′iTiT。
为了验证安装阻尼器后对结构振动性能抑制的
第 6 期
王明旭, 等: 基于结构 能量准则的阻尼器位置及参数优化
程度, 对结构优化前后结构的模态阻尼比进行了计 算, 结果如表 2 所示。
表 2 针对算例 1 优化前后结构的前 3 阶模态阻尼比
N 优化前 优化后
N1 0. 047 6 0. 385 1
N2 0. 094 8 0. 241 9
为N 维位移的响应向量; n 为安装阻尼器的个数; N
为结构的自由度数。
n
n
∑ ∑ 令 M= Ms + $ Mi , K = K s + $ Ki , C= Cs +
i= 1
i= 1
n
∑$ Ci , 并将式( 8) 转化为状态空间
i= 1
xõ= Ax
( 9)
u
0
其中: x= u· ; A= - M- 1K
( 16)
其中: E 为期望; Qs为对称正定协方差矩阵, 它是单 位矩阵, Qs = I。
将所有初始位移进行归一化, 则结构能量可转
化为
J s = E{ uT0 P11u0} = t rP11Qs = t rP11
( 17)
75 6
振 动、测 试 与 诊 断 第 31 卷
结构能量相对阻尼器参数的梯度为
5J s 5cd i
=
tr ( ( K - 1Ti aTTi ) T -
( D- 1TiaTTi D- 1K ) T K- 1M -
(
D-
1T
iaT
T i
D-
1K
)
T
)
5J s = 5md i
tr(
(
D-
1K
)
TK
-
1T
iaT
T i
(
i
=
1, 2, …, n)
状态空间式( 9) 的解为
In 。
- M- 1 D
x = eAtx 0
( 10)
其中: x 0 为初始值。
2. 1 阻尼器参数优化的能量准则
根据结构能量的定义, 能量最小的目标函数可
以写为
J=
x
T 0
Px0
→
min
( 11)
∫ 其中: x0 为初始位移和加速度矢量; P = e ∞ AT teAtdt 0
图 2 N 阶弹簧-质量振荡系统
图 1 优化流程图
数值求解过程, 首先设置一组初始的阻尼器参
数值
c( 1) di
,
k ( 1) di
和
m( 1) di
,
i=
1, 2, …, n, 将初 始值 代入
通 过数值计算得到阻尼器最优安装位置为第 3 和第 4 质量块间、第8 和第9 质量块间、第 12 和第 13 质量块间。阻尼器的最优参数如表 1 所示。
N3 0. 142 3 0. 213 0
后的结构模态阻尼比如表 5 和表 6 所示。
7 57
由表 2 优化前后结构的模态阻尼比可知, 在结 构合适的位置安装阻尼器, 很大程度上提高了结构 的模态阻尼比。
行优化; Seung [ 10] 采用多目标遗传算法和随机线性 化方法对阻尼器的位置进行优化; 东东等[ 11] 采用 改进遗传算法和控制系统 H2 性能指标对控制装置 的位置进行了优化。
本文首先在文献[ 12] 的基础上, 考虑阻尼器重 量的影响建立结构的模态阻尼比位置灵敏度, 找出 阻尼器最优安装位置; 然后, 将阻尼器的重量和阻尼 系数作为参数, 在文献[ 4] 的基础上, 引入李雅谱诺 夫方程以能量准则建立目标函数优化阻尼器参数; 最后, 确定安装阻尼器的参数。
1 阻尼器的位置优化
1. 1 模态阻尼比位置灵敏度
一般阻尼空间结构的状态方程为
( KA + B) y = 0
( 1)
其中
CM
K 0
u
A=
,B=
M0
,y = 0 -M
uõ
结构的第 k 阶模态阻尼比为
Nk = ( - Kk - Kk) / 2Xk
( 2)
设结构参数为 p m, 当振型关于矩阵A正交归一
度和等效阻尼系数。
由式( 4) 可得到模态阻尼比的位置灵敏度为
DNr =
5Nr 5cd i
+
5Nr 5mdi
+
5Nr 5kd i
( 6)
1. 2 阻尼器位置优化模型
假设结构的控制模态为前 s 阶, 待优化的节点
对数目为q。与待优化的节点对相对应的前s 阶位置
灵敏度矩阵为[ Dij ] q×s , 称为位置灵敏度矩阵。其中
c( 1) di
-
sci( 5J ( 1) / 5cdi )
m( 2) di
=
m ( 1) di
+
dm
( 1) di
=
m( 1) di
-
smi ( 5J ( 1) / 5mdi)
k( 2) di
=
k ( 1) di
+
dk(d1i) =
k ( 1) di
-
ski ( 5J ( 1) / 5kd i)
( 21)
n
∑ Ms +
$ Mi
¨
u+
i= 1
n
∑ Cs +
$ Ci uõ +
i= 1
n
∑ Ks + $ Ki u = 0
( 8)
i= 1
其中: Ms , Cs 和 Ks 为附加阻尼器前结构的质量阵、阻
尼阵和刚度阵; $Ci 为第 i 个阻尼器产生的附加阻尼
矩阵; $ Ki 为第 i 个阻尼器产生的附加刚 度矩阵; u
关键词 阻尼器 位置灵敏度 模态阻尼比 能量准则 中图分类号 O 328 T B53 T U 311
引 言
振动控制一直是结构动力学优化的重要问题。 为了降低工程结构的动响应水平, 避免结构共振和 持续振动现象, 通常采用配置阻尼器的方法。在航空 航天领域, 结构质量具有严格的限制, 因此需要在一 定的约束条件下合理配置阻尼器参数、数量以及优 化阻尼器的安装位置。
化时, 将式( 1) 求导可得
5Kr 5p m
=
-
Kr yTr
5A 5p m
y
r
-
y
T r
5B 5p m
yr
( 3)
即
X 国家高技术 研究发展计划( “八六三”计划) 资助项目( 编号: 2008A A 12A 205) 收稿日期: 2011-01-10; 修改稿收到日期: 2011-03-03
第 6 期
近年来, 阻尼器位置及参数优化的研究得到了 很多学者的重视。李俊宝等[ 1] 引入模态损耗因子对 阻尼构件在结构中的优化配置进行了研究。马海龙 等[ 2] 针对海洋平台振动控制及阻尼器的位置优化进 行了相关研究。N inosl av [ 3] 应用Ly apuno v 方程对线 性振动系统的阻尼器位置进行优化。Seung [ 4] 以结构 的总能量最小为目标, 对多体系统的阻尼器位置进 行了优化。随后, 以能量为准则优化阻尼系数和安装 位置的方法被学者广泛采用, 如 Bai[ 5] 采用了 H∞ 来 定 义目 标 函数, 进 而对 阻 尼器 的 参数 进 行优 化。 Rex [ 6] 采用 D-opt im al 优化方法对阻尼器和传感器 在桁架结构中的位置进行优化。T akew aki[ 7] 通过优 化结构的刚度和阻尼, 保证结构在平稳随机激励下 响应的均方值最小。智能算法目前已逐渐应用在阻 尼器位置优化中, 如 L i[ 8] 采用遗传算法对控制系统 中 的传 感器数 量和位 置进行 优化。Rama M ohan Rao [ 9] 提出了一种多起点元启发式算法称为多重启 动引导邻域搜索( M SGNS ) 算法对阻尼器的位置进
( 14)
根据文献[ 4] , 确定 u0 值的大小需要满足确定
性和稳定性, 故取
u0i = 1/ Xi ( i = 1, 2, …, N )
( 15)
取值大小从物理上意味着结构的特征模态具有
相同的能量初始值。由稳定性知
E{ u0} = 0, cov ( u0 ) = E{ u0uT0 } = Qs = QTs > 0
和
m( 1) di
(
i
=
1,
2,
…, n)
组成, 则
∑ d
J
( s
1)
=
m i= 1
5J
( s
1)
5cd i
d
c( 1) di
+
5J
( s
5m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1) di
d
m( 1) di
+
5J
( s
1)
5k di
dk
( 1) di
( 20)
阻尼参数的更新准则为
c( 2) di
=
c ( 1) di
+
dc(d1i ) =
第 31 卷第 6 期 2011 年 12 月
振动、测试与诊断
Journal of Vibrat io n, Measurement & Diagnosis
V ol. 31 N o . 6 Dec. 2011
基于结构能量准则的阻尼器位置及参数优化X
王明旭, 陈国平
( 南京航空航天大学航空宇航学院 南京, 210016)
5J s 5kdi
=
t
r(
K-
1T
iaT
T i
K
-
1D
+
(
D-
1Ti
aT
T i
)
T
K-
1M
+
( D- 1K ) TK - 1Ti aTTi K- 1 M + ( D- 1 TiaTTi ) T )
( 18)
其中: a=
1 -1
-1。 1
2. 2 阻尼器参数优化的数值求解
优化的流程如图 1 所示。
摘要 针对振动系统中阻尼器位置及参数优 化问题, 提出 了分步优化方法, 在考虑阻尼 器自身重量的影响下 , 通过 对一般阻 尼结构模态阻尼比 位置灵敏度的分析, 建立了 阻尼器位 置优化模型, 并根 据结构能量 最小的优 化准则及 阻尼器质量的约束 条件, 得到了 相应部位上的阻尼 器优化参数。以弹簧-质量振荡系统 和板壳结构为例, 进行了数 值仿真验证, 结果表明该方法可有效用于工程结构的振动控制。
表 1 图 2 中最优的阻尼器安装位置及参数
阻尼器参数 阻 尼器 ( 3, 4) 阻 尼器 ( 8, 9) 阻尼器 ( 12, 13)
质量/ kg 1. 088 5 0. 955 9 0. 955 9
阻尼系数/ ( Nm ·s- 1) 109. 171 6 101. 025 4 101. 627 7
许安装阻尼器的总阻尼系数等。
3 算 例
算例 1 图 2 是 N 阶弹簧-质量振荡系统, N = 20, m = 1 kg , k = 4. 0× 105 N / m, 系统 阻尼 为 c = 0. 001k+ 0. 06m 。安装阻尼 器的总质量 m1+ m 2+ m 3≤3 kg , 求阻尼器在结构中的最优位置及最优的 阻尼器参数。
式(
1
7)
中
得到初
始结
构能
量
J
( s
1)
。
迭代
前后结
构能
量
J
( s
2)
与
J
( s
1)
的
关系为
J ( 2) s
=
J ( 1) s
+
d
J
( s
1)
( 19)
其中
:
dJ
( s
1)
为初
始迭
代时结构
能量
的变
化量。
为保证收敛速度,
使
dJ
( s
1)
<
0。由于能量函数由
3n
个相互独立的变量
c( 1) di
,
k( 1) di
并满足
ATP + PA = - Q
( 12)
由式( 12) 可得
P11 =
1 2
K
-
1D
+
(
D-
1 K) T 2
K-
1M
+
( D- 1K) T 2
( 13)
结构能量与初始状态条件位移
u0
和
速
度
·
u0
的
选择有关。为便于后面的优化同时结合系统的初始
条件, 可知
·
u0 =
0,
则结构能量为
J = uT0 P11u0
q
∑ s. t. x i = n, x i = 1 或 0, ( i = 1, 2, …, q ) i= 1
( 7)
2 能量为目标的阻尼器参数优化
根据位置优化结果, 结构有 n 对最优阻尼器安 装位置, 如何选择最优位置上的阻尼器参数, 保证自 由状态下, 阻尼器尽可能多耗能, 使结构能量最小。
附加阻尼器后结构的动力学有限元方程为
其中: sci, smi 和ski分别为 cdi , mdi 和k di的步长。
将
c( 2) di
,
m
( 2) di
和
k( 2) di
代入式(
17)
中得到新的结构能
量值
J
( s
2)
,
迭
代
直到
满
足
收敛
条
件时
停
止,
最
后
得到
满足约束条件的阻尼器参数。优化时可根据需要附
加约束条件, 可选系统允许安装阻尼器的总质量、允