简单几何立体几何解析几何试题汇总

第一套：直线、平面、简单几何体（一）第一套：直线、平面、简单几何体（二）第三套：立体几何基础详细讲解及例题第四套：立体几何中的向量方法
第五套：解析几何椭圆及其标准方程1 第六套：解析几何椭圆及其标准方程2 第七套：解析几何椭圆及其标准方程3
直线、平面、简单几何体（一）
班级__________ 姓名__________ 学号__________ 评分
__________
一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面推理错误的是（ ） A ．A a ∈，A β∈，B a ∈，B a ββ∈⇒⊂ B ．M α∈，M β∈，N α∈，N βαβ∈⇒=I 直线MN
C ．α⊄l ，A A α∈⇒∉l
D ．A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈且A 、B 、C 不共线α⇒、β重合
2．在空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、
H 四点，
如果GH 、EF 交于一点P ，则（ ）
A ．P 一定在直线BD 上
B ．P 一定在直线A
C 上 C ．P 在直线AC 或B
D 上 D ．P 既不在直线BD 上，也不在AC 上
3．如图S 为正三角形所在平面ABC 外一点，且SA ＝SB ＝BC ＝AB ，
E 、
F 分别为SC 、AB 中点，则异面直线EF 与SA 所成角为（ ）
A ．90º
B ．60º
C ．45º
D ．30º
4．下列说法正确的是（ ）
A ．若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则αl ∥
B ．若直线a 在平面α外，则a α∥
C ．若直线a b ∥，b α⊂，则a α∥
D ．若直线a b ∥，b α⊂，则直线a 就平行于平面内的无数条直线 5．在下列条件中，可判断平面α与平面β平行的是（ ） A ．α、β都垂直于平面γ
B ．α内存在不共线的三点到平面β的距离相等
C ．l 、m 是α内两条直线，且βl ∥，m β∥
D ．l 、m 是两条异面直线，且αl ∥，m α∥，βl ∥，m β∥
6．已知α、β是平面，
m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若m n ∥，m α⊥，则n α⊥
B ．若
m α
∥，
n αβ=I ，则m n ∥
C ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥
D ．若m α⊥，m β⊂，
则αβ⊥
7．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离
最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．90º
B ．60º
C ．45º
D ．30º
8．PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均
为60º，则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是（ ）
A ．12
B C D
9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面A 1C 1CA 所成角的度数是（ ）
A ．30º
B ．45º
C ．60º
D ．150º
10．二面角P —a —Q 为60º，如果平面P 内一点A 到平面Q 的距
3，则
A 在平面Q 上的射影A 1到平面P 的距离为（ ）
A ．1
B 3
C 3
D ．2
11．如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上，
F 在棱CD 上，使得
(0)AE CF
EB FD
λλ==>,记
()f λλλαβ=+，其中λα表示EF 与AC 所成的角，
λβ表示EF 与BD 所成角，则（ ）
A ．()f λ在(0,)+∞单调递增
B ．()f λ在(0,)+∞单调递减
C ．()f λ在(0,1)单调递增，而在(1,)+∞单调递减
D ．()f λ在(0,)+∞为常数
12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是
异面直线AC 、A 1D 的公垂线，则EF 与
BD 1的关系为（ ）
A ．相交不垂直
B ．相交垂直
C ．异面直线
D ．平行直线 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．设
MN αβ
--是直二面角，
A MN
∈，
AB α
⊂，
AC β
⊂，
45BAN CAN ∠=∠=o ，
则BAC ∠= 。

14．α、β、γ是两两垂直且交于O 点的三个平面，P 到平面α、
β
、γ的距离分别是2、3、 6，则PO = 。

15．一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分，第六
个正方形
在编号1—5的适当位置，则所有可能的位置编号为 。

16．已知m 、l 是异面直线，那么：①必存在平面α过m 且与l 平
行；②必存在平面β过m 且与l 垂直；③必存在平面γ与m 、l 都垂直；④必存在平面π与m 、l 距离都相等， 其中正确的命题的序号为 。

三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17．如图，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，
G 、H 分别是CD 、DA 上的点，且13
DH AD =，13
DG DC =，
求证：EH 、FG 必相交于一点，且交点在BD 的延长线上。

18．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝2，2AC BC ==
，
90ACB ∠=o ，
⑴求证：平面AB 1C ⊥平面BB 1C ；
⑵求点B到平面AB1C的距离。

19．如图，在三棱锥P—ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝90º，PC⊥平面ABC，AB＝8，PC＝6，
M、N分别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所在平面交于直线l，
⑴判断l与MN的位置关系；⑵求点M到l的距离。

20．如图，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120º，
求：⑴A、D连线和平面DBC所成的角；⑵二面角A—BD—C 的正切值。

21．如图，在四棱椎P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90º，AD∥BC，
AB＝BC＝a，AD＝2a，PD与底面成30º角，PA⊥底面ABCD，
⑴若AE⊥PD于E，求证：BE⊥PD；
⑵求异面直线AE、CD所成角的大小。

22．如图，已知二面角PQ
αβ
--为60º，点A和点B分别在平面α和平面β上，点C在棱
PQ上，∠ACP＝∠BCP＝30º，CA＝CB＝a，
⑴求证：AB⊥PQ；⑵求点B到平面α的距离；
⑶设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45º，求线段CR的长度。

数学（十五）（直线、平面、简单几何体1）
参考答案
一、选择题
CBCDD BCCAB DD
12．提示：BD 1⊥平面AB 1C ，EF ⊥平面AB 1C 二、填空题 13．60º 14．7 15．1、4、5 16．①、④
三、解答题 17．证明：∵13
DH
DG AD
DC == ∴HG ∥AC 且1
3
HG AC = 又∵E 、F 分别是AB 、BC 中点，∴EF ∥AC 且12
EF AC =， 于是EF ∥HG 且EF ≠HG ，四边形EFGH 是梯形，FG 、
EH 交于一点P
∵P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD ，同理P ∈平
面CBD ，
故点P 在平面ABD 与平面CBD 的交线BD 上
18．⑴由已知条件立即可证得，
1111AC BB C AB C BB C AC AB C ⊥⇒⊥⊂⎫
⎬⎭
Q 面面面又面 ⑵在平面BB 1C 内作BD ⊥B 1C 于D ，由⑴得BD ⊥面AB 1C ， ∴BD 为B 到面AB 1C
的距离，∴11B B BC BD B C ⋅=＝
（本题也
可用体积转换）
19．⑴显然可得MN ∥平面ABC ，∵平面MNC I 平面ABC ＝l ，∴MN ∥l
⑵∵PC ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ，作MQ ⊥AC ，则
MQ ⊥平面ABC ，
作QD ⊥l 于D ，则MD ⊥l ，MD 的长即为M 到l 的距离 在R t △ACB
中，可求得AC =132
MQ PC ==，∠QCD ＝
30º，
∴
QD =
QC =MD =
=
20．⑴作AO ⊥BC 交BC 的延长线于O ，∵面ABC ⊥面BCD ，∴OA
⊥面BCD ，连OD ，则∠ADO 就是AD 与平面BCD 所成的角，可求得∠ADO ＝45º
⑵作OE ⊥BD 于E ，连AE ，则BD ⊥AE ，
∴∠AEO 就是二面角A －BD －C 的平面角的补角，
∵∠ABO ＝60º，∴AO AB =
，12OB AB =，∵∠EBO ＝60º，∴
OE AB =
在R t △AOE 中，tan 2AO AEO EO ∠==，∴二面角A －BD －C 的正切
值为－2
21．⑴∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD ，
又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD
⑵设G 、H 分别为DE 、AD 的中点，连BH 、HG 、BG ，易知DH CB =∥
，
∴BH ∥CD
∵G 、H 分别为DE 、AD 的中点，∴GH ∥AE ，
则∠BHG 即为异面直线AE 、CD 所成的角（或其补角）
而1
22
a HG AE ==，BH =，2222114
BG BE EG a =+=， ∴△BHG 中，由余弦定理可得异面直线AE 、CD 所成的角
的大小为
（本题也可用建立空间坐标系求解，容易求出，略） 22．⑴在平面β内，作BD ⊥PQ ，连AD ，∵∠ACP ＝∠BCP ＝30º，
∴△ACD ≌△BCD
∴AD ⊥PQ ，PQ ⊥平面ABD ，则AB ⊥PQ ，
⑵由⑴知∠ADB 是二面角PQ αβ--的平面角，∴∠ADB ＝60º， 又PQ ⊥面ABD ，∴α⊥面ABD ，过B 作BE ⊥AD 于E ，则BE ⊥α，
∴BE 为B 到平面α的距离，可求得BE =
⑶连ER ，则∠BRE ＝45º，则有sin 45BE BR a =
=o
在△ABD 中，BD ＝AD 且∠ADB ＝60º，∴2a AB AD BD === 在△ABC 中，由余弦定理求得7cos 8BCA ∠= 又在△BCR 中，设CR ＝x ，由余弦定理得
2
227)28
x a ax =+-⋅，即2281450x ax a -+= 解得1
12x
a =，254x a =，因AC a =，而CR AC <，故有2
a CR =
直线、平面、简单几何体测试题(二)
(120分钟完卷，总分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.四面体每相对的两棱中点连一直线，则此三直线 A.互不相交 B.至多有两条直线相交 C.三线交于一点 D.两两相交有三个交点
2.长方体1111D C B A ABCD -的长，宽，高分别是3，2,1，从A 到1C 沿长方体表面的最短距离是 A.31+
B.10
2+
C.23
D.32
3.正方体1111D C B A ABCD -中，1BC 与截面D D BB 11所成的角是 A.3
π B.4
π C.6
π D.2arctan
4.直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d
的点的集合是
A.一个平面
B.一条直线
C.两条直线
D.空集
5.若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是
A.0＜α＜6
π B.6
π＜α＜4
π C.4
π＜α＜3
π D.3
π
＜α＜2
π
6.有四个命题：① 当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆； ② 过球面上两点只能作一个球大圆；③ 过空间四点总能作一个球； ④ 球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有 A.0个 B1个 C.2个 D.3个
7.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323
π，则三棱柱的体积为
A.
B. C. D.
8.已知球的直径、长方体对角线、圆柱轴截面对角线均相等，这三种几何体的体积最大值分别是321,,V V V ，则有 A. 32
1V V V <<
B. 321V V V >>
C. 231V V V >>
D. 312V V V <<
9.将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了
A.26a
B.12a 2
C.18a 2
D.24a 2
10.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，则它们之间的关系不正确的是
A.nF=2E
B.mV=2E
C.V+F=E+2
D.mF=2E
11.在底面边长与侧棱长均为a 的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知M 为A 1B 1的中点，则M 到BC 的距离是 A.4
19a B.
2
15
a C.
2
5a D.
2
7a
12.如图，水平地面上有一个大球，现有如下方法测量球的大小，用一个锐角为45°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA ＝5cm ，则球的表面积为
A.100πcm 2
B.100(3＋22)
πcm
2
C.100(3－22)πcm 2
D.200πcm 2
二、填空题(每小题4分，共16分)
13. 已知正四棱锥S －ABCD 的侧面与底面所成的角为60°，过边BC 的截面垂直于平面ASD ，交平面ASD 于EF ，则二面角S －BC －E 的平面角为
14.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部 分的体积的比是______
15.正三棱锥的底面边长为a ，
侧棱与底面所成角的正弦值为
P A
3
6，则此三棱锥的表面积为______
16. 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为9，P 、Q 分别是侧棱AA 1
与CC 1上的点，且AP=C 1Q ，则四棱锥B －APQC 的体积=
三、解答题(共76分)
17.在长方体中1111D C B A ABCD -，AB=AD=6，侧棱AA 1=4，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、AA 1的中点.
(1)求证平面EFG//平面B 1CD 1；(2)求异面直线EF 与B 1C 间的距离.
18.(14分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA=CB=1，AA 1=2，090=∠BCA ，且M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点.
(1)求的长；(2)求><11,cos CB BA 的值；(3)求证：M C B A 11⊥ .
19.(12分）C 70 分子是与C 60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面都是五边形或六边形。

求C 70分子中五边形和六边形的个数．
20.(12分）正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=2AB ，D 、E 分别是侧棱BB 1、CC 1上的点，且EC=BC=2BD ，过A 、D 、E 作一截面，求：(1)截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.
21.(12分).在四面体ABCD 中，AC=m ，BD=n ，AC 与BD 成的角为θ，则异面直线AC 与BD 间的距离为h ，求四面体ABCD 的体积.θsin 6
1
⋅⋅⋅=
h n m V
22.(14分)如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G.
(1)求A 1B 与平面ABD 所成角的大小
（结果用反三角函数值表示）；
（2）求点A 1到平面AED 的距离.
答 案
1.C
2.C
3.C
4.C
5.D
6.C
7.D
8.C
9.B 10.D 11.A 12.B 13.300
14. 1∶7∶19 15. 23a
16.3
17.(1)略；(2) 171718
18. (1)
3；(2)
10
30；(3)略.
19. 12，25
A
B
C
D
E G A 1 B 1
C 1
20.(1) 450
；(2) .3：1 21.略 22. (1)3
7arccos ；(2) 63
2
教学内容：立体几何初步复习
教学目的：
1、梳理各单元基本知识
2、总结各单元基本题型及各基础知识的基本应用
知识分析：
【本章知识网络】
【本章学法点拨】
1、必须明确本章内容的复习目标
（1）联系实际，从实图下手，加强由模型到图形，再由图形到模型的基本训练，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系，能由一种语言转释成另外两种语言，逐步达到融会贯通的程度．
（2）准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系（特别是平行与垂直的位置关系），能够运用概念、公理、定理等进行严密的推理判断和逻辑论证．
（3）正确理解空间的各种角和距离的概念，能将其转化为平面角和线段的长度，并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算．
（4）通过图形能迅速判断几何元素的位置关系，能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图、截面图，熟练地处理折叠、截面的问题．但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构，逻辑论证仍是关键．
（5）理解用反证法证明命题的思路，会证一些简单的问题．2、要掌握解题的通法，推理严谨，书写规范
（1）转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系（主要指平行和垂直）、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分、合理地运用这些关系是解题的关键；另外，转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化，以及线面距、面面距间的转化；
（2）求角或距离的步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出所求角或表示距离的线段，再证明它就是所要求的角或距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明．
专题一几种简单几何体的结构
一、棱柱的结构特征
观察下图可以看出，
上面各图中都有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．1、定义
一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．
2、棱柱的分类
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三
棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的记法
（1）用表示底面各顶点的字母表示棱柱．
如图（1）可表示为棱柱ABCD—A1B1C1D1；图（2）可表示为棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1；图（3）可表示为棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1．（2）用棱柱的对角线表示棱柱．
如图（1）可表示为棱柱AC1或棱柱BD1等；图（2）可表示为棱柱AC1或棱柱AD1或棱柱AE1等；图（3）可表示为棱柱AC1或棱柱AD1等．
二、棱锥的结构特征
观察下图，
可以看出，上面三个图中的共同特点：
（1）均由平面图形围成；
（2）其中一个面为多边形；
（3）其他各面都是三角形；
（4）这些三角形有一个公共顶点．
1、定义
一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
棱锥是多面体中重要的一种，它有两个本质特征：（1）有
一个面是多边形；（2）其余的各面是有一个公共顶点的三角形．两者缺一不可，因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都
是三角形，但是也要注意：“有一个面是多边形，其余各面都
是三角形”的几何体未必是棱锥．
2、棱锥的分类
底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫做四面体．
3、棱锥的记法
（1）用顶点和底面各顶点的字母表示．
如图（4）可记为三棱锥P—ABC；图（5）可记为四棱锥P —ABCD；图（6）可记为五棱锥P一ABCDE等．
（2）用对角面表示．
如图（5）可记为四棱锥P—AC；图（6）可记为五棱锥P—AC等．
三、圆柱的结构特征
观察图（7）可知：它有两个互相平行的平面，且这两个“平面”是等圆．图形可以看作是矩形AOO'A'绕 OO' 旋转而成的．
1、定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
2、圆柱的记法
用表示它的轴的字母表示，如图（7）可记为圆柱OO'．
四、圆锥的结构特征
观察图（8）可以看出：它有一个圆面，一个顶点，其他为曲面；可看作是直角△AOS绕其直角边OS旋转而成的．
1、定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋
转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
2、圆锥的记法
用表示它的轴的字母表示．如图（8）的圆锥可记为圆锥SO ．
五、圆台和棱台的结构特征
观察图（9）（10）可以看出图形是由平行于底面的平面去截锥体而得到的．
1、定义
用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分所构成的几何体叫做棱台（圆台）。

2、圆台的记法
用表示轴的字母表示，如圆台
3、棱台的记法
（1）用各顶点表示：如四棱台
（2）用对角线表示：如四棱台
六、球的结构特征
从图（11）可以看出，此几何体是由半圆绕直径旋转而成的。

1、定义
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。

/OO ////ABCD A B C D /
AC
2、球的记法
用表示球心的字母表示，如球O
七、柱、锥、台的关系
【典例解析】
例1. 下面两图绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的？
解：旋转后的图形如下图所示
其中（l）由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3、，圆台O3O4组成；（2）由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成．
点评：当一个平面图形绕某条直线旋转后会形成一个旋转体，如直角三角形绕其直角边旋转会形成一个圆锥，矩形绕其一边旋转会形成一个圆柱，直角梯形绕其直角腰旋转会形成一个圆台，半圆绕直径旋转会形成球等．
例2. 请画出如图几个几何体的表面展开图
解：展开图如图所示
点评：立体图形的展开或平面图形的折叠是我们培养空间立体感的好方法，希望同学们注意这一方面的练习。

专题二三视图与直观图
一、三视图的概念
三视图是观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体图形．
三视图包括正视图、侧视图、俯视图三种．
二、柱、锥、台、球的三视图
1、圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图为圆．
2、圆锥的正视图和侧视图都是三角形，俯视图是圆和圆心．
3、圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆．
4、球的三视图都是圆．
三、简单组合体的三视图
对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察．先认识它的基本结构，然后再画它的三视图．
四、直观图及其画法
1、空间图形的直观图
用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图．
2、斜二测画法
一种画直观图的方法，其规则是：
（1）在已知图形中建立直角坐标系x O y ．画直观图时，它
们分别对应轴和轴，两轴交于．使
∠O ，它们确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x 轴和y 轴的线段．在直观图中分
别画成平行于轴和轴的线段．
（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度变为原来的．
五、投影
1、中心投影
一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．
2、中心投影与平行投影的区别与联系
（1）中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法．平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．
（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时一般用平行投影法．
【典例解析】
例1. 画如图（1）（2）所示的三视图
解：三视图如图（a ）（b ）所示
/x /y /O /x /045 y /x /y 1
2
点评：（1）三视图的训练有助于我们空间能力的培养和今后应用数学知识解决工程建设、机械制造及日常生活中的问题．（2）画图时要保证“长对正、高平齐、宽相等”。

例 2. 如图（1）（2）（3）是一些立体图形的视图，但是观察的方向不同，试说明下列各图可能是哪一种立体图形的视图。

解：（1）可能为球、圆柱，如图：
（2）可能为棱锥、圆锥、棱柱，如图：
（3）可能为四棱柱，如图：
点评：这是一道综合能力较强的习题，要求学生有分类讨论的意识和对空间几何体较强的想象力。

例3. 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm 、3cm 、2cm 的长
方体的直观图。

解：（1）画轴：如图。

画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOz=45°，∠xOz=90°。

（2）画底面：以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN=4cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ 。

分别过点
M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD 。

（3）画侧棱：过A 、B 、C 、D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段
（4）成图：顺次连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图。

点评：上述画直观图的方法称为斜二测画法，它的步骤是：
（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O 。

画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴交于点
，
////ABCD A B C D -cm 23
='DD 'CC 'BB 'AA 、、、'D 'C 'B 'A 、、、'x 'y 'O
且使（或135°），它们确定的平面表示水平面。

（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。

（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半。

例4. 已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
分析：先根据题意，画出直观图，然后根据直观图的边长及夹角求解。

解：如图（1）（2）所示的实际图形和直观图，由（2）可知，，
，在图（2）中作于D’，则
∴应选D 。

点评：本例是求直观图的面积，因此应在直观图中求解，需求出直观图的底和高，然后用三角形面积公式求解。

专题三 几种简单几何体的面积、体积
一、柱体的表面积
柱体的表面积是侧面面积与上、下底面面积之和。

棱柱的侧面展开图是平行四边形，上、下底面不变，因此只要计算出侧面面积，其表面积可求；圆柱的侧面展开图是矩形，上、下底面不变。

︒=∠45'y 'O 'x 'x 'y 'C 'B 'A ∆2a 432a 832a 862a 166'C 'B 'A ∆a AB 'B 'A ==a 43OC 21'C 'O =='B 'A 'D 'C ⊥a 86'C 'O 22'D 'C ==2'C 'B 'A a 166a 86a 21'D 'C 'B 'A 21S =⨯⨯=⋅=∴
∆
设柱体的底面周长为c ，高为l ，则侧面积为·=c ·l ，故。

二、锥体的表面积
一个棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，因此侧面积为各个三角形面积之和，一个圆锥的侧面展开图为扇形，利用扇形面积公式可求侧面积，所以它们的表面积公式为：。

三、台体的表面积
一个棱台的侧面展开图为若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各个梯形的面积之和，而圆台的侧面展开图为扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，所以它们的表面积公式为：。

注意区分所求的是侧面积还是表面积；再就是要认清所求的几何体是柱、锥、台中的哪一类及“棱”还是“圆”。

四、柱体的体积公式
V=Sh ，其中，S 为底面积，h 为柱体的高。

评注：它既适合于棱柱，又适合于圆柱。

五、锥体的体积公式
，其中S 为底面积，h 为锥体的高。

六、台体的体积公式
，其中S 为台体的上底面面积，S’为台体的下底面面积，h 为台体的高。

七、球的表面积、体积公式
设球半径为R ，
【典例解析】 侧S 底侧表面积S 2S S +=底侧表面积S S S +=下底上底侧表面积S S S S ++=Sh 31V =h )'S 'SS S (31V ++=32R 34V R 4S π=π=球球，
例1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm ，高与斜高的夹
角为30°，如图，求正四棱锥的侧面积和表面积。

（单位：）
分析：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。

解：正棱锥的高PO 、斜高PE ，底面边心距OE 组成Rt △POE 。

∵OE=2cm ，∠OPE=30°，
点评：正四棱锥中有四个Rt △，应引起重视，即原题图中Rt △POB 、Rt △POE 、Rt △PBE 、Rt △OBE 。

例2. 一个正四棱台两底面边长分别为m 、n ，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为（ ）
A. B. C.
D.
分析：利用直角梯形，转化为直角三角形，结合面积公式求解。

解：如图所示，设分别为棱台上、下底面中心，、M 分别为的中点，连结，则M 1M 为斜高。

过M 1作M 1H ⊥OM 于H 点，则M 1H=OO 1
2
cm cm 430sin OE PE =︒=∴)cm (3244421'Ch 21S 2=⨯⨯⨯==∴棱锥侧)cm (481632S S S 2=+=+=底侧表面积n m mn +n m mn -mn n m +mn n m -O O 1、1M BC C B 11、OM M O 11
、
由已知得
在Rt △M 1HM 中，MH=OM －O 1M 1
∴应选A 。

点评：在正四棱台中有三个直角梯形应注意，一个是O 1OMM 1，一个是O 1OBB 1，一个是B 1BMM 1，它们都可以转化成直角三角形，利用直角三角形求解。

例3. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1=8，若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、A 1C 1、B 1C 1的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？
分析：当三棱柱的侧面AA 1B 1B 水平放置时，液体部分是四棱柱，其高为原三棱柱的高，侧棱AA 1的长为8。

解：设AC 、BC 边的中点分别为E 、F ，设当底面ABC 水平放置时，液面高度为h 。

由条件及两种状态下液体体积相等可得，∴h=6。

点评：等积法是立体几何中的常用方法，在柱、锥中经常通过灵活转换底面，顶点来求高或点到面的距离，应熟练掌握。

例 4. （1）用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm ，下底半径为16cm ，母线长为48cm ，则矩形铁皮的长边长最少是多少？
（2）一扇形铁皮AOB ，半径OA=72cm ，圆心角∠AOB=60°，现剪下一个扇环ABCD 作圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形COD 内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底221n m S S M M )n m (214S +=+⋅+⨯=下底上底侧，221n m M M )n m (2+=+)
n m (2n m M M 221++=∴)n m (21-=n m mn )n m (41)n m (2n m MH M M O O H M 222222111+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=-==
∴4:3S :S ABC ABFE =h S 8S ABC ABFE ⨯=⨯
面），则OC 应取多少？
分析：圆台侧面展开图为一扇环，扇环两弧长分别为圆台上、下底面圆的周长。

解：（1）如图（1），设圆台的侧面展开图的圆心角为∠α，OA=x 。

由相似三角形知识得
则，为等边三角形。

，即矩形铁皮的长边长最少为144cm 。

（2）如图（2），∵∠AOB=60°=
∴圆O 1周长，即 在Rt △O 1MO 中，∠
，∴OO 1=2O 1M=24
点评：注意展开前后有关数学量的变与不变关系，是解决此类问题的突破口。

专题四 空间的平行与异面直线
一、平面的特征与性质
1、平面的基本特征：无限延展性．
2、平面的基本性质
（1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A 、B ∈a , A 、B ∈α，则
（2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P ，则α、β有且只有一条过点P 的公共直线 a 。

（3）公理 3及三个推论即为平面的确定条件：
① 不共线的三点可确定一个平面；
=OB 'A 96x 241648x x =∴=+34896242π=+⨯π=α'BOB ∆∴cm 144OB 'BB =
=3ππ=π⨯=⋂=24372AB 12M O 24M O 211=∴π=⋅π，
6OM O 1π
=)cm (36M O OO N O OO OC 1111=+=+=∴a α⊂
② 一条直线和其外一点可确定一个平面；
③ 两条相交直线可确定一个平面；
④ 两条平行直线可确定一个平面．
二、空间两条不重合的直线的位置关系
空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面．
1、若从有无公共点的角度看，可分两类
（1）有且仅有一个公共点——相交直线；
（2）没有共点——
2、若从是否共面的角度看，也可分两类：
（1）在同一平面内——
（2）不同在任一平面内——异面直线．
三、平行直线
1、定义
同一平面内，两条不相交的直线称为平行直线．
2、公理 4
平行于同一条直线的两条直线平行．它是证明“对应边平行且方向相同的两个角相等”即等角定理的基础，也是论证平行问题的主要根据．
3、等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．
四、异面直线
1、异面直线的定义
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
对异面直线定义理解须注意的问题：
（1）“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行．要注意把握异面直线的不共面性．
（2）不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线． ⎧⎨⎩平行直线异面直线
⎧⎨⎩平行直线相交直线。