【中考专题】2017年北师大版中考数学专题06 考前必做难题30题

专题六 考前必做难题30题
一、选择题
1．已知a ，b 是方程2201310x x ++=的两个根，则22(12015)(12015)a a b b ++++的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D ．
考点：根与系数的关系．
2．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x =1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当
x ＞3时，y ＜0；②3a +b ＜0；③213
a -≤≤-；④248ac
b a ->；
其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B ． 【解析】
试题分析：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b
x a
=-
=，∴2a +b =0．∴3a +b =0+a =a ＜0，故②正确；
考点：二次函数图象与系数的关系．
3．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB 、CD 于M 、
N 两点．若AM =2，则线段ON 的长为（ ）
A B C ．1 D 【答案】C ． 【解析】
试题分析：作MH ⊥AC 于H ，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠MAH =45°，∴△AMH 为等
腰直角三角形，∴AH =MH =
2
AM =22⨯=，∵CM 平分∠ACB ，∴BM =MH =，∴
AB =2，∴AC =AB ==2，∴OC =
1
2
AC =1，CH =AC ﹣
AH =22BD ⊥AC ，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ，∴
ON OC
MH CH
=，即
=
，∴ON =1．故选C ．
考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质；综合题．
4．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数
1
y
x
=的图象上．
若点B在反比例函数
k
y
x
=的图象上，则k的值为（）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】A．
【解析】
试题分析：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC=n ，OC=m，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∵
∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴BD OD OB
OC AC OA
==，∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n
，因为点A在反比例函数
1
y
x
=的图象上，则mn=1，∵点B在反比例函数
k
y
x
=的图象上，B
点的坐标是（﹣2n，2m），∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4．故选A．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质；综合题．
5．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A =60°，以点B 为圆心的圆与AD 、DC 相切，与AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为（ ）
2π π 2π D．2
π 【答案】A ．
考点：扇形面积的计算；菱形的性质；切线的性质；综合题．
6．如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，⊙O 是△ABC 的内切圆，现将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ．点F ，G 分别在边AD ，BC 上，连结OG ，DG ．若OG ⊥DG ，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD +DF =4 B．CD ﹣DF =3 C．BC +AB =4 D．BC ﹣AB =2 【答案】A ． 【解析】
试题分析：如图，设⊙O 与BC 的切点为M ，连接MO 并延长MO 交AD 于点N ，∵将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，∴OG =DG ，∵OG ⊥DG ，∴∠MGO +∠DGC =90°，∵∠MOG +∠MGO =90°，∴∠MOG =∠DGC ，在△OMG 和△GCD 中，∵∠OMG =∠DCG =90°，∠MO
GA =∠DGC ，OG =DG ，∴△OMG ≌△GCD ，∴OM =GC =1，CD =GM =BC ﹣BM ﹣GC =BC ﹣2．∵AB =CD ，∴BC ﹣AB =2．设AB =a ，BC =b ，AC =c ，⊙O 的半径为r ，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆可得r =
1
2
（a +b ﹣c ），∴c =a +b ﹣2．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得222(2)a b a b +=+-，整理得2ab ﹣4
a ﹣4
b +4=0，又∵BC ﹣AB =2即b =2+a ，代入可得2a （2+a ）﹣4a ﹣4（2+a ）+4=0，解得
11a =21a =1a =+3b =BC +AB =4．
再设DF =x ，在Rt △ONF 中，FN =31x -，OF =x ，ON =11=
得222(2)x x +=，解得4x =CD ﹣DF 1(4-=3
，CD +DF 14+=5． 综上只有选项A 错误，故选A．
考点：三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）．
7．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm /s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时
间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）
A．AE=12cm B．sin∠EBC=
4C．当0＜t≤8时，2
5
16
y t
D．当t=9s时，△PBQ是等腰三角形
【答案】D．
【解析】
D．当t=9s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．
此时AN=14，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=，∵BC=16，∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．故④错误；
故选D．
考点：动点问题的函数图象；综合题．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2
个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ）
A．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1） D．（2016，0） 【答案】B ． 【解析】
考点：规律型：点的坐标；规律型；综合题；压轴题．
9．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB =6，AD =5，则A
E 的长为（ ）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2 【答案】B ． 【解析】
试题分析：如图1，连接BD 、CD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴BD =
=
=，∵弦AD 平分∠BAC ，∴CD =BD =，∴∠CBD =∠DAB ，在△ABD 和△BED 中
，∵∠BAD =∠EBD ，∠ADB =∠BDE ，∴△ABD ∽△BED ，∴
DE DB
DB AD =，即5=，解得DE =
115，∴AE =AB ﹣DE =5﹣11
5
=2.8．故选B ．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；综合题．
10．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE =BC ，P 为CE 上任意一点，
PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ +PR 的值为（ ）
A ．
22 B ．21 C ．23 D ．32
【答案】A ． 【解析】
试卷分析：连接BP ，过C 作CM ⊥BD ，∴B P C B P E B C E S S S ∆∆∆+=，即12BE •CM =12BC •PQ +1
2
BE •PR ，又∵BC =BE ，∴
12BE •CM =1
2
BE (PQ +PR )，∴CM =PQ +PR ，∵BE =BC =1且正方形对角线
BD 又BC =CD ，CM ⊥BD ，∴M 为BD 中点，又△BDC 为直角三角形，∴CM =
12BD ，即PQ +PR 值是
2
2
．故选A.
考点：正方形的性质。

二、填空题
11．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =-．且过点（
1
2
，0），有下列结论：①abc ＞0；②a ﹣2b +4c =0；③25a ﹣10b +4c =0；④3b +2c ＞0；⑤a ﹣b ≥m （am ﹣b ）；其中所有正确的结论是 ．（填写正确结论的序号）
【答案】①③⑤． 【解析】
∵x =﹣1时，函数值最大，∴2
a b c m a mb c -+>-+（m ≠1），∴a ﹣b ＞m （am ﹣b ），所以⑤正确； 故答案为：①③⑤．
考点：二次函数图象与系数的关系．
12．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中
7
6
=BC AB ，EF =4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 cm ．
【答案】
503
． 【解析】
试题分析：如图乙，取CD 的中点G ，连接HG ，设AB =6a cm ，则BC =7acm ，中间菱形的对角线H
I 的长度为xcm ，∵BC =7acm ，MN =EF =4cm ，∴CN =
742a +，∵GH ∥BC ，∴GH DG
CN DC
=，∴
7127422
a x
a -=+，∴x =3.5a ﹣2…（1）； ∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2
，∴6a •（7a ﹣x ）÷2=54，∴a （7a ﹣x ）=18…（2）；
由（1）（2），可得：a =2，x =5，∴CD =6×2=12（cm ），CN =
74
2
a +=9，∴DN
==15（cm ），又∵DH
cm ），∴HN =15﹣7.5=7.5（cm ），∵AM ∥FC ，∴
44945KN MN HK CN ===-，∴HK =57.545⨯+=25
6
，∴该菱形的周长为：256×4=503（cm ）．故答案为：503
．
考点：菱形的性质；矩形的性质；综合题．
13．已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3（如图所示），以此类推…．若A 1C 1=2，且点A ，D 2，
D 3，…，D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是 ．
【答案】8
732
．
【解析】
试题分析：延长D 4A 和C 1B 交于O ，∵AB ∥A 2C 1，∴△AOB ∽△D 2OC 2，∴
222
OB AB
OC D C =
，∵AB =B C 1=1，2212D C C C ==2，∴
222OB AB OC D C =
=1
2
，∴OC 2=2OB ，∴OB =BC 2=3，∴OC 2=6，设正方形A 2C 2C 3D 3的边长为1x ，同理证得：△D 2OC 2∽△D 3OC 3，∴11
26
6x x =
+，解得，1x =3，∴正方形A 2C 2C 3D 3的边长为3，设正方形A 3C 3C 4D 4的边长为
2x ，同理证得：△D 3OC 3∽△D 4OC 4，∴
22
39
9x x =
+，解得2x =92，∴正方形A 3C 3C 4D 4的边长为92；设正方形A 4C 4C 5D 5的边长为3x ，同理证得：△D 4OC 4∽△D 5OC 5，∴33
927
222
x x
=+，解得3x =274，∴正方形A 4C 4C 5D 5的边长为274；以此类推…．正方形A n ﹣1C n ﹣1C n D n 的边长为2332n n --；∴正方形A 9C 9C 10D 10的边长为8
732
．故答案为：8
732
．
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；规律型；综合题；压轴题．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数
k
y
x
=（
x>）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是．
【答案】（12，8
3
）．
【解析】
考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；综合题；压轴题．
15．已知点P 是半径为1的⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且PA =1，AB 是⊙O 的弦，AB =，连
接PB ，则PB = ．
【解析】
试题分析：连接OA ，（1）如图1，连接OA ，∵PA =AO =1，OA =OB ，PA 是⊙的切线，∴∠AOP =45°∵OA =OB ，∴∠BOP =∠AOP =45°，在△POA 与△POB 中，∵OA =OB ，∠AOP =∠BOP ，OP =OP ，∴△POA ≌△POB ，∴PB =PA =1；
（2）如图2，连接OA ，与PB 交于C ，∵PA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，而PA =AO =1，∴OP =
，∵AB =
，而OA =OB =1，∴AO ⊥BO ，∴四边形PABO 是平行四边形，∴PB ，AO 互相平分，
设AO 交PB 与点C ，即OC =
12，∴BC PB
考点：切线的性质；分类讨论；综合题．
16．如图，OA 在x 轴上，OB 在y 轴上，OA =8，AB =10，点C 在边OA 上，AC =2，⊙P 的圆心P 在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数k
y x
=（0k ≠）的图象经过圆心P ，则k = ．
【答案】﹣5． 【解析】
试题分析：作PD ⊥OA 于D ，PE ⊥AB 于E ，作CH ⊥AB 于H ，如图，设⊙P 的半径为r ，∵⊙P 与边A
B ，AO 都相切，∴PD =PE =r ，AD =AE ，在Rt △OAB 中，∵OA =8，AB =10，∴OB
=
=6，
∵AC =2，∴OC =6，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴△PCD 为等腰直角三角形，∴PD =CD =r ，∴
AE =AD =2+r ，∵∠CAH =∠BAO ，∴△ACH ∽△ABO ，∴
CH AC OB AB =，即2
610
CH =，解得CH =
65，∴AH
85，∴BH =8105-=
425，∵PE ∥CH ，∴△BEP ∽△BHC ，∴
BE PE BH CH
=，即10(2)42655
r r
-+=，解得r =1，∴OD =OC ﹣CD =6﹣1=5，∴P （5，﹣1）
，∴k =5×（﹣1）=﹣5．故答案为：﹣5．
考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；综合题；压轴题．
17．关于x 的一元二次方程2
310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是 ． 【答案】9
24
a -<<-． 【解析】
考点：抛物线与x轴的交点；综合题；压轴题．
18．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．
【解析】
试题分析：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D ，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB ′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点
，∴AD⊥BC，∴AD BD=CD=1，BB′=2AD=B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD
=
在Rt△B′BG中，BG=3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，BD BE+ED
考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；最值问题；综合题． 19．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保留π）．
【答案】
38
π． 【解析】
试题分析：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∵∠ABC +∠ADC =180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，∴阴影部分的面积应为：S =
21351360
π⨯=38π
．故答案为：38π．
考点：扇形面积的计算；压轴题．
20．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB =60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP +BP 最短时，点P 的坐标为 ．
【答案】（3，2）． 【解析】
试题分析：连接ED ，如图，
∵点B 的对称点是点D ，∴DP =BP ，∴ED 即为EP +BP 最短，∵四边形ABCD 是菱形，顶点B （2，0），∠DOB =60°，∴点D
C
OC
的解析式为：y x =
，∵点E 的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED
的解析式为：(11y x =-，∵点P 是直线OC 和直线ED 的交点，∴点P
的坐标为方程组
(11y x y x ⎧=⎪⎨
⎪=-⎩
的解，解方程组得：3
2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P
的坐标为（3
，2
3
，2
考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；动点型；压轴题；综合题． 21．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC 沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为 ．
【答案】12
π+． 【解析】
考点：旋转的性质；扇形面积的计算；规律型；综合题．
22．有9张卡片，分别写有1~9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记
卡片上的数字为a ，则使关于x 的不等式组43(1)1
22
x x x x a ≥-⎧⎪
⎨--<⎪⎩有解的概率为____． 【答案】
4
9
． 【解析】
试题分析：设不等式有解，则不等式组()
431122
x x x x a ≥+⎧⎪
⎨--
<⎪⎩的解为2133a x -≤<，那么必须满足条件，
21
33
a ->，∴5a >，∴满足条件的a 的值为6，7，8，9，∴有解的概率为49P =．故
答案为：4
9
．
考点：解一元一次不等式组；含字母系数的不等式；概率公式；压轴题． 三、解答题
23．如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数k
y x
=（k 为常数，且0k ≠）的图象交于A （1，a ）、B 两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；
（2）在x 轴上找一点P ，使PA +PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．
【答案】（1）3y x =，()3,1B ；（2）P 5,02⎛⎫
⎪⎝⎭
，32PAB S ∆=． 【解析】
试题分析：（1）把A 的坐标代入一次函数可得到a 的值，从而得到k 的值，联立一次函数和反比例函数成方程组，解方程组即可得到点B 的坐标；
（2）如答图所示，把B 点关于x 轴对称，得到()'3,1B -，连接'AB 交x 轴于点'P ，连接
'P B ，则有， ''PA PB PA PB AB +=+≥，当P 点和'P 点重合时取到等号．易得直
线'AB ：25y x =-+，令0y =，得52x =
，∴5',02P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，即满足条件的P 的坐标为5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，设4y x =-+交x 轴于点C ，则()4,0C ，∴，
，即()153
431222PAB S ∆⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；最值问题；轴对称-最短路线问题；综合题． 24．为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y （元）与用水量xm 3
之间的函数关系．其中线段AB 表示第二级阶梯时y 与x 之间的函数关系． （1）写出点B 的实际意义； （2）求线段AB 所在直线的表达式；
（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？
【答案】（1）图中B 点的实际意义表示当用水25m 3
时，所交水费为90元；（2）
945
22
y x =
-；（3）27． 【解析】
试题分析：（1）根据图象的信息得出即可；
（2）首先求出第一、二阶梯单价，再设出解析式，代入求出即可；
（3）因为102＞90，求出第三阶梯的单价，得出方程，求出即可． 试题解析：（1）图中B 点的实际意义表示当用水25m 3
时，所交水费为90元； （2）设第一阶梯用水的单价为x 元/m 3
，则第二阶梯用水单价为1.5
x 元/m 3
，设A （a ，45），则451.5(25)90ax ax x a =⎧⎨+-=⎩，解得：15
3a x =⎧⎨=⎩
，∴A （15，45），B
（25，90），设线段AB 所在直线的表达式为y kx b =+，则：45159025k b
k b
=+⎧⎨
=+⎩，解得：
92
452
k b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩，∴线段AB 所在直线的表达式为94522y x =-； （3）设该户5月份用水量为xm 3
（x ＞90），由第（2）知第二阶梯水的单价为4.5元/m 3
，第三阶梯水的单价为6元/m 3
，则根据题意得90+6（x ﹣25）=102，解得，x =27． 答：该用户5月份用水量为27m 3
．
考点：一次函数的应用；分段函数；综合题．
25．某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调查，电价y 与月用电量x 的函数关系可用如图来表示．（效益=产值﹣用电量×电价）
（1）设工厂的月效益为z （万元），写出z 与月用电量x （万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求工厂最大月效益．
【答案】（1）z =29
(04)2
111 2 (416)8
2x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩；（2）54万元．
【分析】（1）根据题意知电价y 与月用电量x 的函数关系是分段函数，当0≤x ≤4时，y =1，当4＜x ≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，求出解析式；再根据效益=产值﹣用电量×电价，求出z 与月用电量x （万度）之间的函数关系式；
（2）根据（1）中得到函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质，求出最值． 【解析】（1）根据题意得：电价y 与月用电量x 的函数关系是分段函数，当0≤x ≤4时，y =1，当4＜x ≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，设一次函数为y =kx +b ，∴
418 1.5k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得：18
12k b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，∴1182y x =+，∴电价y 与月用电量x 的函数关系为：1 (04)
11
(416)8
2x y x x ≤≤⎧⎪
=⎨+<≤⎪⎩，∴z 与月用电量x （万度）之间的函数关系式为：z =11 (04)2111141(4)() (416)
2
82x x x x x x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-⨯--+<≤⎪⎩，即z =29 (04)2111 2 (416)82x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩；
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是图中的函数为分段函数，分别求出个函数的解析式，注意自变量的取值范围．对于最值问题，借助于一次函数的性质和二次函数的性质进行解答．
考点：一次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；压轴题．
26．如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，O
E =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．
（1）求证：D E ⊥AG ；
（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE ′F ′G ′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
+，α=315°．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）①α=30°或150°；②2
2
【解析】
试题分析：（1）延长ED交交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OA G′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；
+，此时α=3②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=2
2
15°．
（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，同理可求∠BOG′=30°，∴α=1 80°﹣30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A 、O 、F ′在一条直线上时，AF ′的长最大，∵正方形ABCD 的边长为1，
∴OA =OD =OC =OB =
2
，∵OG =2OD ，∴OG ′=OG =，∴OF ′=2，∴AF ′=AO +OF ′=2
2+，∵∠COE ′=45°，∴此时α=315°．
考点：几何变换综合题；四边形综合题；分类讨论；旋转的性质；最值问题；综合题；压轴题．
27．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF =BC ．⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交于点H ，连接BD 、FH ．
（1）求证：△ABC ≌△EBF ；
（2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若AB =1，求HG •HB 的值．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）相切，理由见试题解析；（3）2 【解析】
试题解析：（1）∵∠ABC =90°，∴∠CBF =90°，∵FD ⊥AC ，∴∠CDE =90°，∴∠ABF =∠EBF ，∵∠DEC =∠BEF ，∴∠DCE =∠EFB ，∵BC =BF ，∴△ABC ≌△EBF （ASA ）；
（2）BD 与⊙O 相切．理由：连接OB ，∵DF 是AC 的垂直平分线，∴AD =DC ，∴BD =CD ，∴∠
DCE =∠DBE ，∵OB =OF ，∴∠OBF =∠OFB ，∵∠DCE =∠EFB ，∴∠DBE =∠OBF ，∵∠OBF +∠OBE =90°，
∴∠DBE +∠OBE =90°，∴OB ⊥BD ，∴BD 与⊙O 相切；
（3）连接EA ，EH ，∵DF 为线段AC 的垂直平分线，∴AE =CE ，∵△ABC ≌△EBF ，∴AB =BE =1，
∴
CE =AE ==，
∴1BF BC ==，∴
(2
222114EF BE BF =+=+=+BH 为角平分线，∴∠EBH =∠EFH =45°，
∴∠HEF =∠HBF =45°，∠HFG =∠EBG =45°，∴△EHF 为等腰直角三角形，∴2
2
2EF HF =，
∴221
22
HF EF =
=+HF G =∠FBG =45°，∠GHF =∠GHF ，∴△GHF ∽△FHB ，∴HF HG
HB HF
=，∴2
HG HB HF ⋅=，∴22HG HB HF ⋅==．
考点：全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；圆周角定理；探究型；压轴题；综合题．
28．【发现】
如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）
【思考】
如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？
请证明点D也不在⊙O内．
【应用】
利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E 在边AB上，CE⊥DE．
（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：D F为Rt△ACD的外接圆的切线；
（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=2
5
，AD=1，求DG的长．
． 【解析】
试题分析：【思考】假设点D 在⊙O 内，由圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D 不在⊙O 内；
【应用】（1）作出RT △ACD 的外接圆，由发现可得点E 在⊙O 上，则∠ACD =∠FDA ，又∠ACD +∠ADC =90°，有∠FDA +∠ADC =90°，即可得出DF 是圆的切线；
（2）由【发现】和【思考】可得点G 在过C 、A 、E 三点的圆O 上，证明四边形AOGD 是矩形，由已知条件解直角三角形ACD 可得AC 的长，即DG 的长．
试题解析：【思考】如图1，假设点D 在⊙O 内，延长AD 交⊙O 于点E ，连接BE ，则∠AEB =∠AC
B ，∵∠ADE 是△BDE 的外角，∴∠ADB ＞∠AEB ，∴∠A DB ＞∠ACB ，因此，∠ADB ＞∠ACB 这
与条件∠ACB =∠ADB 矛盾，所以点D 也不在⊙O 内，所以点D 即不在⊙O 内，也不在⊙O 外，点D 在⊙O 上； 【应用】
（1）如图2，取CD 的中点O ，则点O 是RT △ACD 的外心，∵∠CAD =∠DEC =90°，∴点E 在⊙O 上，∴∠ACD =∠AED ，∵∠FDA =∠AED ，∴∠ACD =∠FDA ，∵∠DAC =90°，∴∠ACD +∠ADC =90°，∴∠FDA +∠ADC =90°，∴OD ⊥DF ，∴DF 为Rt △ACD 的外接圆的切线；
（2）∵∠BGE =∠BAC ，∴点G 在过C 、A 、E 三点的圆上，如图3，又∵过C 、A 、E 三点的圆是R
T △ACD 的外接圆，即⊙O ，∴点G 在⊙O 上，∵CD 是直径，∴∠DGC =90°，∵AD ∥BC ，∴∠AD G =90°，∵∠DAC =90°，∴四边形ACGD 是矩形，∴DG =AC ，∵sin ∠AED =
2
5
，∠ACD =∠AED
，∴sin ∠ACD =
25，在RT △ACD 中，AD =1，∴AD CD =25，∴CD =52
，∴AC ==
2，∴DG =2
．
考点：切线的判定；圆周角定理；圆的综合题；压轴题． 29．如图，抛物线212y x mx n =
++与直线1
32
y x =-+交于A ，B 两点，交x 轴与D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知A （0，3），C （3，0）． （Ⅰ）求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一
个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标
是多少时，点M 在整个运动中用时最少？
【答案】（Ⅰ）215322y x x =-+，13；（Ⅱ）（1）（11，36）、（133，149）、（
173
，
44
9
）；（2）E （2，1）． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）只需把A 、C 两点的坐标代入2
12
y x mx n =
++，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB 与抛物线的交点B 的坐标，过点B 作BH ⊥x 轴于H ，如图1．易得∠BCH =∠
ACO =45°，BC
=，AC
=，从而得到∠ACB =90°，然后根据三角函数的定义就可求出
tan ∠BAC 的值；
（2）过点E 作EN ⊥y 轴于N ，如图3．易得AE
=EN ，则点M 在整个运动中所用的时间可表示
为
1DE +=DE +EN ．作点D 关于AC 的对称点D ′，连接D ′E ，则有D ′E =DE ，D ′C =DC ，∠D ′CA =∠DCA =45°，从而可得∠D ′CD =90°，DE +EN =D ′E +EN ．根据两点之间线段最短可得：当D ′、E 、N 三点共线时，DE +EN =D ′E +EN 最小．此时可证到四边形OCD ′N 是矩形，从而有ND ′=OC =3，ON =D ′C =DC ．然后求出点D 的坐标，从而得到OD 、ON 、NE 的值，即可得到点E 的坐标．
试题解析：（Ⅰ）把A （0，3
），C （3，0）代入
2
12
y x mx n =
++，得：
31
9302n m n =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得：523
m n ⎧=-⎪
⎨⎪=⎩．∴抛物线的解析式为215322y x x =-+；联立2132
15322
y x y x x ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩，∴点B 的坐标为（4，1）．过点B 作BH ⊥x 轴于H ，如图1，∵C （3，0），B （4，1），∴BH =1，OC =3，OH =4，CH =4﹣3=1，∴BH =CH =1．∵∠BHC =90°，∴∠BCH =45°，BC
同理：∠ACO =45°，AC
=，∴∠ACB =180°﹣45°﹣45°=90°，∴tan ∠BAC =
BC
AC
==13
；
（Ⅱ）（1）存在点P ，使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似．过点P 作PG ⊥y 轴于G ，则∠PGA =90°．设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得x ＞0，则PG =x ，∵PQ ⊥PA ，∠ACB =90°，∴∠APQ =∠ACB =90°．
若点G 在点A 的下方，①如图2①，当∠PAQ =∠CAB 时，则△PAQ ∽△CAB ．∵∠PGA =∠ACB =90°，∠PAQ =∠CAB ，∴△PGA ∽△BCA ，∴PG BC AG AC ==1
3
，∴AG =3PG =3x ，则P （x ，3﹣3x ）．
把P （x ，3﹣3x ）代入
215
322
y x x =
-+，得：215
33322
x x x -+=-，整理得：
20x x +=，解得：10x =（舍去），21x =-（舍去）．
②如图2②，当∠PAQ =∠CBA 时，则△PAQ ∽△CBA ，同理可得：A G =
13PG =1
3
x ，则P （x ，133x -），把P （x ，133x -）代入215322y x x =-+，得：2151
33223
x x x -+=-，整
理得：2
1303x x -
=，解得：10x =（舍去），2133x =，∴P （133，149
）； 若点G 在点A 的上方，①当∠PAQ =∠CAB 时，则△PAQ ∽△CAB ，同理可得：点P 的坐标为（11，36）．
②当∠PAQ =∠CBA 时，则△PAQ ∽△CBA ，同理可得：点P 的坐标为P （173
，44
9）．
综上所述：满足条件的点P 的坐标为（11，36）、（133，149）、（173
，44
9）；
（2）过点E 作EN ⊥y 轴于N ，如图3．
在Rt △ANE 中，EN =AE •sin 45°=
2
AE ，即AE =EN ，∴点M 在整个运动中所用的时间为
1DE +=DE +EN ．作点D 关于AC 的对称点D ′，连接D ′E ，则有D ′E =DE ，D ′C =DC ，∠D ′CA =∠DCA =45°，∴∠D ′CD =90°，DE +EN =D ′E +EN ．根据两点之间线段最短可得：当D ′、E 、N 三点共线时，DE +EN =D ′E +EN 最小．此时，∵∠D ′CD =∠D ′NO =∠NOC =90°，∴四边形OCD ′N 是矩形，∴ND ′=OC =3，ON =D ′C =DC ．对于
215
322
y x x =
-+，当y =0时，有
215
3022
x x -+=，解得：12x =，23x =，∴D （2，0），OD =2，∴ON =DC =OC ﹣OD =3﹣2=1，∴NE =AN =AO ﹣ON =3﹣1=2，∴点E 的坐标为（2，1）．
考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质；动点型；存在型；分类讨论；综合题；压轴题．
30．如图，⊙E 的圆心E （3，0），半径为5，⊙E 与y 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），与x 轴的正半轴交于点C ，直线l 的解析式为344
y x =
+，与x 轴相交于点D ，以点C 为顶点的抛物线过点B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l 与⊙E 的位置关系，并说明理由；
（3）动点P 在抛物线上，当点P 到直线l 的距离最小时．求出点P 的坐标及最小距离．
【答案】（1）21416y x x =-
+-；（2）直线l 与⊙E 相切与A ；（3）P （2，94-），315
．
【解析】
试题分析：（1）连接AE ，由已知得：A E =CE =5，OE =3，利用勾股定理求出OA 的长，结合垂径定理求出OC 的长，从而得到C 点坐标，进而得到抛物线的解析式；
（2）求出点D 的坐标，根据△AOE ∽△DOA ，求出∠DAE =90°，判断出直线l 与⊙E 相切与A ；
（3）过点P 作直线l 的垂线段PQ ，垂足为Q ，过点P 作直线PM 垂直于x 轴，交直线l 于点M ．设M
（m ，
344m +），P （m ，21416m m -+-），得到PM =2314(4)416
m m m +--+-=2118164m m -+=2131(2)164
m -+，根据△PQM 的三个内角固定不变，得到PQ 最小=PM 最小•s in ∠QMP =PM 最小•sin ∠AEO =31445⨯=315，从而得到最小距离． 试题解析：（1）如图1，连接AE ，由已知得：A E =CE =5，OE =3，在Rt △AOE 中，由勾股定理
得，OA OC ⊥AB ，∴由垂径定理得，OB =OA =4，OC =OE +CE =3+5=8，∴A （0，4），B （0，﹣4），C （8，0），∵抛物线的定点为C ，∴设抛物线的解析式为2(8)y a x =-，将点B 的坐标代入上解析的式，得64a =﹣4，故a =116
-，∴21(8)16y x =-
-，∴所求抛物线的解析式为：21416
y x x =-+-； （2）在直线l 的解析式344y x =+中，令y =0，得3404x +=，解得x =163
-，∴点D 的坐标为（163
-，0），当x =0时，y =4，∴点A 在直线l 上，在Rt △AOE 和Rt △DOA 中，∵34OE OA =，34OA OD =，∴OE OA OA OD =，∵∠AOE =∠DOA =90°，∴△AOE ∽△DOA ，∴∠AEO =∠DAO ，∵∠AEO +∠EAO =90°，∴∠DAO +∠EAO =90°，即∠DAE =90°，因此，直线l 与⊙E 相切与A ；
（3）如图2，过点P 作直线l 的垂线段PQ ，垂足为Q ，过点P 作直线PM 垂直于x 轴，交直线l 于点M ．
设M （m ，344m +），P （m ，21416m m -+-），则PM =2314(4)416
m m m +--+-=2118164m m -+=2131(2)164m -+，当m =2时，PM 取得最小值315，此时，P （2，94-），对于△PQM ，∵PM ⊥x 轴，∴∠QMP =∠DAO =∠AEO ，又∠PQM =90°，∴△PQM 的三个内角固定不变，∴在动点P 运动的过程中，△PQM 的三边的比例关系不变，∴当PM 取得最小值时，PQ
也取得最小值，PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=314
45
⨯=
31
5
，∴当抛物线上的动
点P的坐标为（2，
9
4
-）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为
31
5
．
考点：二次函数综合题；二次函数的最值；探究型；最值问题；动点型；综合题；压轴题．。