复数计算练习题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 2020-12-12

【关键字】方法、条件、充分

1．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

答案 C 2.

10i

2－i

＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．2＋4i D ．2－4i

答案 A

3．若w ＝－12＋3

2i ，则w 4＋w 2＋1等于( ) A ．1 B ．0 C ．3＋3i D ．－1＋3i

答案 B

4．在(12＋32i)12

的展开式中，所有奇数项的和等于( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．i 答案 B 5．已知

z

1＋i

＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i

D ．3－i

答案 B 解析 ∵

z

1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i ＋i 2＝1＋3i.∴z ＝1－3i. 6．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫

2i 1＋i 2等于( )

A ．4i

B ．－4i

C ．2i

D ．－2i

答案 C 7．复数

(2＋2i )4

(1－3i )5

等于( )

A ．1＋3i

B ．－1＋3i

C ．1－3i

D ．－1－3i 答案 B

8．复数1＋2

i 3＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1 D ．3

答案 A

解析 1＋2i 3＝1＋2

－i

＝1＋2i ，故选A.

9．在复数集C 内分解因式2x 2－4x ＋5等于( ) A ．(x －1＋3i)(x －1－3i) B ．(2x －2＋3i)(2x －2－3i) C ．2(x －1＋i)(x －1－i) D ．2(x ＋1＋i)(x ＋1－i) 答案 B

10．复数i 3(1＋i)2＝( ) A ．2 B ．－2 C ．2i D ．－2i

答案 A

解析 由题意得i 3(1＋i)2＝－i·2i ＝－2i 2＝2，选A.

11．复数z＝

1

1－i

的共轭复数是()

A.1

2＋

1

2i B.

1

2－

1

2i

C．1－i D．1＋i 答案 B

解析z＝

1

1－i

＝

1＋i

(1－i)(1＋i)

＝

1

2＋

1

2i，z＝

1

2－

1

2i，故选B.

12．已知复数z＝1－i，则z2－2z

z－1

＝()

A．2i B．－2i

C．2 D．－2

答案 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知复数z＝2＋i，则z4－4z3＋6z2－4z－1＝________.

答案－6

解析z4－4z3＋6z2－4z－1＝(z4－4z3＋6z2－4z＋1)－2＝(z－1)4－2＝(1＋i)4－2＝[(1＋i)2]2－2

＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.

14．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝________(n为正整数)．

答案0

15．已知(1－i)3

1＋i

＝a＋3i，则a＝________.

答案－2－3i

16．设z∈C，z＋|z|＝2＋i，则z＝________.

答案3

4＋i

解析设z＝a＋b i，则|z|＝a2＋b2. ∴a＋b i＋a2＋b2＝2＋i.

∴⎩⎨⎧

a ＋a 2＋

b 2＝2，b ＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝34，

b ＝1，

∴z ＝3

4＋i.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)若复数z ＝m 2＋m －2＋(2m 2－m －3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．

解析 由题意得z ＝m 2＋m －2－(2m 2－m －3)i. ∴⎩⎨⎧ m 2＋m －2>0，－(2m 2

－m －3)>0，即⎩⎨⎧

m 2＋m －2>0，2m 2－m －3<0， 解得1

18．(12分)计算(12＋3

2i)3.

解析 方法一 ∵(12＋32i)3＝(12＋32i)2·(12＋32i)＝(－12＋32i)(12＋3

2i)＝(32i)2－(12)2＝－34－1

4＝－1.

方法二 原式＝(12)3＋3×(12)2×32i ＋3×12×(32i)2＋(32i)3＝18＋338i －9

8－33

8i ＝－1.

19．(12分)已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB →

对应的复数为z .

(1)求复数z ；

(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝1

2x 上，求θ的值．

解析 (1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin 2θ)． (2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)．