中学数学中的向量方法
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分析 从 Ａ出发的有向线
＝ａ ２ ＋ｂ ２ 一 ２ ａ ・ ｂ 成立．
只要它们相互垂直， 仍然有 ａ・ （ ｂ一ｃ ）二０ ． 可见， 在作向量运算的时候， 如果只作两个向 量的数量积， 而且不使用消去律， 就可以大胆按照 我们在初中已经熟悉的方式进行“ 展开” 和“ 合并” 而不用担心发生错误． ２ 向ｆ运算应用例 例 ３ 设 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 是 平 面 四 边 形．求 证： Ｂ Ｃ １ ２ ＋ Ｉ Ｄ Ａ１ ２ ． Ａ Ｃ 土Ｂ Ｄ ， ｙＩ Ａ Ｂ１ ２ ＋ Ｉ Ｃ Ｄ １ ２ 二｝
、。 ． 。。 卜
＝矿＋ 护一 ２ ａ ・ ｂ ， 并 对ａ ， ｂ 不 平 行的 情 形 解 释 这
个公式的几何意义． 分析 对 于任 意两个 数 ａ ， ｂ ， 乘 法公 式 （ ａ 一ｂ ） ２ 二ａ ２ ＋ｂ ２ 一 ２ ａ ｂ 成立， 证明过程为： （ ａ一ｂ ） ２ 二（ ａ ＋（ 一ｂ ） ） （ ａ ＋（ 一ｂ ） ） 二（ ａ ｓ ＋ ａ （ 一ｂ ） ） ＋（ （ 一ｂ ） ａ＋（ 一ｂ ） （ 一ｂ ） ） ＝ａ ｓ一（ ａ ｂ ＋ｂ ａ ） ＋ｂ ｂ＝ａ ２ ＋ｂ ２ 一 ２ ａ ｂ 证明过程中并没有用到“ ａ ， ｂ 是数” 这个条件，
的轨迹一定过 △Ａ Ｂ Ｃ的 （ Ａ ） 外心
（ Ｃ ） 重心
一 “’ ‘ ’ 、 Ｉ Ａ Ｂ Ｉ ’ Ｉ Ａ ＣＩ －‘ 一 ， ・
（ Ｂ ） 内心
（ Ｄ ） 垂心
今 Ｃ 下 Ｌ ．｜
解 （ １ ） 斌 二！Ａ召 Ｉ与 Ａ ｅ ｌ 二
Ａ Ｂ ， Ａ Ｃ 方向 上 的 单 位向 量， ｆ ｌ Ａ 式＝
＝ａ十ｂ ． 也就是说向量加法交换律成立． （ 注意： 以上对 向量 的
加 法 交 换律的 证明 过程Ｏ Ｃ 二Ａ Ｂ ＝ ｝ Ｏ Ａ Ｂ Ｃ 是 平 行四 边 形， Ｃ Ｂ＝Ｏ Ａ 用 到 了 平 行四
边形的判定和性质定理． 后 面还要讲到向量的其它的 圈１ 运算律， 这些运算律的证明 需要用到一些简单而基本的几何定理． 当我们在向 量运算中用到这些运算律时， 实际上就是利用了这 些几何定理（ 例如关于平行四边形和相似三角形的 定理） 进行推理． 不过， 初学者只要会使用这些运算 律就行了， 暂时不必追究它们的证明． ）
一 条 有 向 线 段 Ａ Ｂ 来 表 示， 记 作ａ ＝ 荫． 从Ａ 到 Ｂ 的
方向表示向量 ａ 的方向； Ａ Ｂ的长度 ｝ Ａ Ｂ！ 表示向量
ａ 的 大小， 称为ａ 的模， 记作 Ｉ ａ Ｉ ． 当Ｉ ａ Ｉ ＝１ Ａ Ｂ！ 二
０ 时Ａ 与 Ｂ 重 合， ａ ＝ 丽， 称 为 零 向 量 ， 记 为０ ． 零 向
（ ２ ） （ ２ ０ ０ ３ 高考填空题） ０是平面上一定点， Ａ ，
Ｂ ， Ｃ 是 平 面 上 不 共 线的 三 个 点， 动 点Ｐ 满 足 肺二
二考
Ｏ Ａ＋Ａ 卜止 帐下 ＋一＝ ］ ， ＡＥ Ａ ＋０ ０ ） ， 则 Ｐ点
、 Ｉ Ａ Ｂ Ａ Ｃ ＼ 、一 ｒ －
戒＝ ａ ， 再 从 成的 终 点 Ａ 出 发 作 访＝ ｂ ， 则 定 义ａ 与ｂ 相 加 所 得的 和 ａ ＋ ｂ 二 丽＋ 庙二 丽． 向 量 加 法 的 这 个 法 则 称 为 三 角 形 法 则． 如 果 将Ｏ Ａ ， Ａ Ｂ 理 解 为 位 移， 则Ｏ Ａ ＋ Ａ Ｂ 就 表 示 两 个 位 移 的 合 成： 口 － ｗ Ａ ￣Ｂ ， 总 的 效 果 是由０ 到Ｂ ， 也 就 是 丽． 对 任 意３ 个 向 量。 ， ｂ ， ｃ ， 作。二 丽， ｂ二 筋， 。 二 Ｂ Ｃ ， 则 易 见 （ ａ ＋ ， ） ＋ 。 ＝ Ｏ Ｃ 二 。 十 （ ， ＋ 。 ） ，
召 ・ｂ
ａ ・ｂ
奋 Ｖ － Ｐ
向量的数量积满足一些与数的乘法类似的运 算律（ 证明略去） ： （ １ ） ａ・ ｂ＝ｂ・ ａ ． （ ２ ） （ ａ＋ｂ ） ・ ｃ＝ａ・ ｃ＋ｂ・ ｃ ． （ ３ ） （ ｋ ａ ） ・ ｂ＝ｋ （ ａ・ ｂ ） ． 例２ 对任意向量 ａ ， ｂ 证明乘法公式（ ａ一ｂ ） ２
这也说明了向量加法的结合律成立．
设ａ ＝ 丽与 ｂ 二 葫， 再 作 花二 ｂ ， 连 接Ｃ Ｂ ． 则当Ｏ Ａ ， Ａ Ｂ 不 共 线 时Ｏ Ａ Ｂ Ｃ 是 平 行四 边 形， 从 而 花 二 丽＝ 。 ， 如 图１ ． 当Ｏ Ａ ， Ａ Ｂ 共 线 时 也 易 见 旅＝ Ｏ Ａ ． 因 此 在 所 有 情 况 下 都 有ｂ ＋ 。 二 Ｏ Ｃ ＋ Ｃ Ｂ 二 － Ｏ － Ｂ ＞
图１ 中 的 等 式ａ 十 ｂ 二 丽＋ 茄 二 丽 给出 了
数学通报
Baidu Nhomakorabea
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第２ 期
求向量 ａ ， ｂ的和的另一个法则， 称为平行四边形法
Ｐ 在角平分线Ａ Ｐ ， 上 ． 存在非负实数 几使
－ － 一 卜 一－ 刁卜
则： 从同 一 点口 出 发 分 别 作 Ｏ Ａ二。 ， Ｏ Ｄ＝ｂ ， 作 平 行四 边 形。 Ａ Ｂ Ｄ ， 则 对 角 线Ｏ Ｂ二。 ＋ ｂ ．
为（ Ｂ ） ． １ ． ４ 向ｆ的数ｆ积
一 点０ 出 发 分 别 作 放二 。 ， 丽＝ ｂ ， 则。 一 ｂ ＝ 戒．
１ ． ３ 向，与实数相乘 ａ 任一向量 与任一实数 ｋ 可以相乘， 得到一个 向量， 记作 ｋ ａ ， 定义如下： ｋ ａ的长度 ｝ ｋ ａ Ｉ 二Ｉ ｋ Ｉ ｝ ａ１ ． 当ｋ＞０ 时， ｋ ａ 与 ａ的方向相同； 当 ｋ＜０ 时， ｋ ａ 与ａ 的方向相反； 当ｋ ＝０ 时， ｋ ａ二０ 是零向量， 方向不确定． 由向量与实数相乘的法则知道： 向量 ａ ， ｂ 平行 骨 其中一个向量可以写成另一个向量与某个实数
乙
０ ； 我们规定零向量与所有向量垂直 这样
就有 ａ・ ｂ二０ ｑ ａ土 ｂ ．
利用数量积可以表示任意向量 ａ的长度 Ｉ ａ
和任意两个非零向量 ａ ， ｂ 所成的角０ ：
长度为 １ 的向量称为单位向 量． 当 ａ００ 时，
Ｉ ａ １ Ｉ 。 就 是 与 。 方 向 相 同 的 单 位 向 量 ・
例 １ （ １ ） 已 知△Ａ Ｂ Ｃ 及其两边长 ｝ Ａ Ｂ Ｉ ， Ｉ Ａ Ｃ｝ ． 怎样用向量的语言描述： 点 Ｐ在艺Ｂ Ａ Ｃ 的角平分线
上．
ａ １ ＝ 丫 石 ） ； ｃ ｏ ｓ ｏ 二Ｉａ 日 ｂ ！
由。 ｏ ｓ ０二１ 知ａ ２ ＝ Ｉ ａ １ ２ ．
因此 （ ２ ） 当ａ 土ｂ 时。 ｏ ｓ （ ａ 泊＞ ＝ｃ ｏ ｓ 要＝ ０ ，
如下运算律对任意向量 ａ ， ｂ和实数 ｋ ， 。 成立． （ 这些运算律的证明都略去了． ） （ １ ） ｌ ａ＝ｂ ， （ 一１ ） ａ二一ａ ， ｋ （ ｓ ａ ）二（ ｋ ｓ ） ａ ． （ ２ ） （ 对实数加法的分配律） （ ｋ ＋ｓ ） ａ＝ｋ ａ＋ｓ ａ ． （ ３ ） （ 对向 量加法的分配律） ｋ （ ａ＋ｂ ） ＝ｋ ａ＋ｋ ｂ ．
丽ｑ Ａ 与Ｂ 重 合 ．
ａ 当非零向量 与ｂ的方向相同或相反时， 表示 它们的有向线段既可以共线， 也可以平行， 此时我 们称 ａ ， ｂ 平行（ 也可以称 ａ ， ｂ 共线） ． 我们规定： 零 向量与任意向量平行． １ ． ２ 向ｆ的加法 设ａ ， ｂ 是任意两个向量． 从任意一点 ０出发作
Ａ Ｐ二Ｏ Ｐ一Ｏ Ａ＝
． ｌ Ａ Ｂ Ａ Ｃ ＼ 、 二二 ｒ 、 泪 下 一万六．＋下行三 下１ ．这 就
一 Ａ Ｂ ， 称 为。 的 负 向 ｆ ． 我 们 有。 ＋ （ 一 。 ） 二 Ａ Ｂ ＋
” 、Ｉ Ａ Ｂ ｝’｝ Ａ Ｃ １ １’￣ 公 “
丽二 丽二 ０ ， （ 一 。 ） 十 。 ＝ 丽＋ 磅＝ 丽＝ ０ ． 反
过来， ａ 也是 一ａ 的负向量， 即 一（ 一ａ ） 二ａ ． 向ｆ的减法： 已知向量 ａ ， ｂ ， 定义它们的差 ａ－ ｂ＝ａ＋（ 一ｂ ） ， 它满足条件（ ａ一ｂ ） ＋ｂ二ａ ． 从同
是说 Ｐ点的轨迹是 △Ａ Ｂ Ｃ 的内角 匕Ｂ Ａ Ｃ的平分线； 经
图２
过△Ａ Ｂ Ｃ 的内 心． 因 此答案
Ａ Ｂ
Ａ Ｐ ， 是菱形Ａ Ｂ ， Ｐ ， Ｃ ， 的 对角线， 平分Ｚ Ｂ Ａ Ｃ ．
－ 孟 － 通 Ｊ ｐＪ
分别是
－ ｜ 十
试， 则
２ ０ ０ ７ 年
第４ ６ 卷 第２ 期
数学通报
只用到数的运算律（ 加法交换律与结合律、 乘法交 换律、 乘法对于加法的分配律等） ． 将数 ａ ， ｂ 换成向 量ａ ， ｂ ， 将数的乘法换成向量的数量积， 这些运算律 仍然成立， 以上的推理过程仍然正确， 结论（ ａ一ｂ ） ２
量的 方向 不确定， 可以为任意方向． 同一 个向 量ａ 可以由 不同的有向 线段Ａ Ｂ ， Ｃ Ｄ 表示， 只要 Ａ Ｂ ， Ｃ Ｄ的方向相同， 长度也相等， 即使
出 发 点Ａ ， Ｃ 不 同 ， 也 有 油二 筋． 但 从同 一 点 出 发
表 示同 一 个向 量的 有向 线 段是唯 一确 定的： ＿ Ｏ － － Ａ＝ ， ．
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第２ 期
数学通报
中学数学中的向量方法
李尚志
（ 北京航空航天大学理学院 １ ０ ０ ０ ８ ３ ）
数学是从认识和研究图形和数开始的． 大体上 可以说， 图形的优点是直观形象， 能更直接地用来 描述我们周围的世界， 也更容易理解． 但图形不便 于用于计算， 利用几何推理的方法来研究图形， 灵 活性、 偶然性太大， 不容易掌握． 数的优点是有比较 死板的方法进行运算， 便于掌握， 但比图形更抽象， 将客观世界用数来描述的难度更大一些． 笛卡尔引 进了坐标之后， 打破了数与形的界限， 将几何图形 最基本的元素 — 点用坐标来表示， 将曲线、 曲面 用方程来表示， 通过对坐标和方程的代数运算来研 究几何图形的性质， 这就是解析几何．
向 量也是一种图形， 具有直观形象的优点， 便
于用来描述客观世界． 向量又可以直接进行运算． 因 此， 向量兼有图形和数的优点． 我们可以将几何 图形用向量来描述， 通过向量的运算来解决几何问 题； 也可以进一步将向量的运算转化为坐标的运算 来解决问题， 这是建立解析几何的理论与算法体系 的一种简明有效的途径． 向量是一种“ 价廉物美” 的数学工具， 学起来很 容易， 需要花费的时间和精力不多； 用处又很大， 可 以 解决很多的几何和代数的问题． １ 向ｆ的墓本知识 １ ． １ 向．的定义 向量是有方向和大小的量． 每个向量 ａ 可以用
易见 ａ＋ ０二０ ＋ａ二ａ 对任意向量ａ 成立．
Ａ 尸 ＝Ａ Ａ Ｐ ，
ＡＩ
、 （ Ａ Ｂ Ａ Ｃ 、
、 Ｉ ＡＢ Ｉ Ｉ Ａ（ ， ！１
＋ 下 一几二 二 － 丁Ｉ
（ ２ ） 分析
如图２ ，
对每 个向 量。 ＝ Ａ Ｂ ， 存 在 唯 一 一 个 与。 大 小 相 等、 方向 相反的向 量Ｂ Ａ ， 记作一。 ， 也就 是Ｂ Ａ二
的乘积 ．
任意两个向量 ａ ， ｂ 可以作数量积（ 也称内积） ， 得到一个实数 ａ・ ｂ＝Ｉ ａＩ Ｉ ｂＩ ｃ ｏ ｓ ＜ａ ， ｂ＞ ， 其中（ ａ ， ｂ ＞ 表 示ａ ， ｂ 的夹角． 物理例子： 设物体在恒力 Ｆ作用下沿直线前进 产生位移ｓ ， 则 Ｆ所作功Ｗ二Ｆ・ ｓ ． 有两个特殊情况 值得特别注意： （ １ ） 记 矿 二ａ ＂ ａ ， 由于向量 ａ 与自 身夹角为０ ，
＝ａ ２ ＋ｂ ２ 一 ２ ａ ・ ｂ 成立．
只要它们相互垂直， 仍然有 ａ・ （ ｂ一ｃ ）二０ ． 可见， 在作向量运算的时候， 如果只作两个向 量的数量积， 而且不使用消去律， 就可以大胆按照 我们在初中已经熟悉的方式进行“ 展开” 和“ 合并” 而不用担心发生错误． ２ 向ｆ运算应用例 例 ３ 设 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 是 平 面 四 边 形．求 证： Ｂ Ｃ １ ２ ＋ Ｉ Ｄ Ａ１ ２ ． Ａ Ｃ 土Ｂ Ｄ ， ｙＩ Ａ Ｂ１ ２ ＋ Ｉ Ｃ Ｄ １ ２ 二｝
、。 ． 。。 卜
＝矿＋ 护一 ２ ａ ・ ｂ ， 并 对ａ ， ｂ 不 平 行的 情 形 解 释 这
个公式的几何意义． 分析 对 于任 意两个 数 ａ ， ｂ ， 乘 法公 式 （ ａ 一ｂ ） ２ 二ａ ２ ＋ｂ ２ 一 ２ ａ ｂ 成立， 证明过程为： （ ａ一ｂ ） ２ 二（ ａ ＋（ 一ｂ ） ） （ ａ ＋（ 一ｂ ） ） 二（ ａ ｓ ＋ ａ （ 一ｂ ） ） ＋（ （ 一ｂ ） ａ＋（ 一ｂ ） （ 一ｂ ） ） ＝ａ ｓ一（ ａ ｂ ＋ｂ ａ ） ＋ｂ ｂ＝ａ ２ ＋ｂ ２ 一 ２ ａ ｂ 证明过程中并没有用到“ ａ ， ｂ 是数” 这个条件，
的轨迹一定过 △Ａ Ｂ Ｃ的 （ Ａ ） 外心
（ Ｃ ） 重心
一 “’ ‘ ’ 、 Ｉ Ａ Ｂ Ｉ ’ Ｉ Ａ ＣＩ －‘ 一 ， ・
（ Ｂ ） 内心
（ Ｄ ） 垂心
今 Ｃ 下 Ｌ ．｜
解 （ １ ） 斌 二！Ａ召 Ｉ与 Ａ ｅ ｌ 二
Ａ Ｂ ， Ａ Ｃ 方向 上 的 单 位向 量， ｆ ｌ Ａ 式＝
＝ａ十ｂ ． 也就是说向量加法交换律成立． （ 注意： 以上对 向量 的
加 法 交 换律的 证明 过程Ｏ Ｃ 二Ａ Ｂ ＝ ｝ Ｏ Ａ Ｂ Ｃ 是 平 行四 边 形， Ｃ Ｂ＝Ｏ Ａ 用 到 了 平 行四
边形的判定和性质定理． 后 面还要讲到向量的其它的 圈１ 运算律， 这些运算律的证明 需要用到一些简单而基本的几何定理． 当我们在向 量运算中用到这些运算律时， 实际上就是利用了这 些几何定理（ 例如关于平行四边形和相似三角形的 定理） 进行推理． 不过， 初学者只要会使用这些运算 律就行了， 暂时不必追究它们的证明． ）
一 条 有 向 线 段 Ａ Ｂ 来 表 示， 记 作ａ ＝ 荫． 从Ａ 到 Ｂ 的
方向表示向量 ａ 的方向； Ａ Ｂ的长度 ｝ Ａ Ｂ！ 表示向量
ａ 的 大小， 称为ａ 的模， 记作 Ｉ ａ Ｉ ． 当Ｉ ａ Ｉ ＝１ Ａ Ｂ！ 二
０ 时Ａ 与 Ｂ 重 合， ａ ＝ 丽， 称 为 零 向 量 ， 记 为０ ． 零 向
（ ２ ） （ ２ ０ ０ ３ 高考填空题） ０是平面上一定点， Ａ ，
Ｂ ， Ｃ 是 平 面 上 不 共 线的 三 个 点， 动 点Ｐ 满 足 肺二
二考
Ｏ Ａ＋Ａ 卜止 帐下 ＋一＝ ］ ， ＡＥ Ａ ＋０ ０ ） ， 则 Ｐ点
、 Ｉ Ａ Ｂ Ａ Ｃ ＼ 、一 ｒ －
戒＝ ａ ， 再 从 成的 终 点 Ａ 出 发 作 访＝ ｂ ， 则 定 义ａ 与ｂ 相 加 所 得的 和 ａ ＋ ｂ 二 丽＋ 庙二 丽． 向 量 加 法 的 这 个 法 则 称 为 三 角 形 法 则． 如 果 将Ｏ Ａ ， Ａ Ｂ 理 解 为 位 移， 则Ｏ Ａ ＋ Ａ Ｂ 就 表 示 两 个 位 移 的 合 成： 口 － ｗ Ａ ￣Ｂ ， 总 的 效 果 是由０ 到Ｂ ， 也 就 是 丽． 对 任 意３ 个 向 量。 ， ｂ ， ｃ ， 作。二 丽， ｂ二 筋， 。 二 Ｂ Ｃ ， 则 易 见 （ ａ ＋ ， ） ＋ 。 ＝ Ｏ Ｃ 二 。 十 （ ， ＋ 。 ） ，
召 ・ｂ
ａ ・ｂ
奋 Ｖ － Ｐ
向量的数量积满足一些与数的乘法类似的运 算律（ 证明略去） ： （ １ ） ａ・ ｂ＝ｂ・ ａ ． （ ２ ） （ ａ＋ｂ ） ・ ｃ＝ａ・ ｃ＋ｂ・ ｃ ． （ ３ ） （ ｋ ａ ） ・ ｂ＝ｋ （ ａ・ ｂ ） ． 例２ 对任意向量 ａ ， ｂ 证明乘法公式（ ａ一ｂ ） ２
这也说明了向量加法的结合律成立．
设ａ ＝ 丽与 ｂ 二 葫， 再 作 花二 ｂ ， 连 接Ｃ Ｂ ． 则当Ｏ Ａ ， Ａ Ｂ 不 共 线 时Ｏ Ａ Ｂ Ｃ 是 平 行四 边 形， 从 而 花 二 丽＝ 。 ， 如 图１ ． 当Ｏ Ａ ， Ａ Ｂ 共 线 时 也 易 见 旅＝ Ｏ Ａ ． 因 此 在 所 有 情 况 下 都 有ｂ ＋ 。 二 Ｏ Ｃ ＋ Ｃ Ｂ 二 － Ｏ － Ｂ ＞
图１ 中 的 等 式ａ 十 ｂ 二 丽＋ 茄 二 丽 给出 了
数学通报
Baidu Nhomakorabea
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第２ 期
求向量 ａ ， ｂ的和的另一个法则， 称为平行四边形法
Ｐ 在角平分线Ａ Ｐ ， 上 ． 存在非负实数 几使
－ － 一 卜 一－ 刁卜
则： 从同 一 点口 出 发 分 别 作 Ｏ Ａ二。 ， Ｏ Ｄ＝ｂ ， 作 平 行四 边 形。 Ａ Ｂ Ｄ ， 则 对 角 线Ｏ Ｂ二。 ＋ ｂ ．
为（ Ｂ ） ． １ ． ４ 向ｆ的数ｆ积
一 点０ 出 发 分 别 作 放二 。 ， 丽＝ ｂ ， 则。 一 ｂ ＝ 戒．
１ ． ３ 向，与实数相乘 ａ 任一向量 与任一实数 ｋ 可以相乘， 得到一个 向量， 记作 ｋ ａ ， 定义如下： ｋ ａ的长度 ｝ ｋ ａ Ｉ 二Ｉ ｋ Ｉ ｝ ａ１ ． 当ｋ＞０ 时， ｋ ａ 与 ａ的方向相同； 当 ｋ＜０ 时， ｋ ａ 与ａ 的方向相反； 当ｋ ＝０ 时， ｋ ａ二０ 是零向量， 方向不确定． 由向量与实数相乘的法则知道： 向量 ａ ， ｂ 平行 骨 其中一个向量可以写成另一个向量与某个实数
乙
０ ； 我们规定零向量与所有向量垂直 这样
就有 ａ・ ｂ二０ ｑ ａ土 ｂ ．
利用数量积可以表示任意向量 ａ的长度 Ｉ ａ
和任意两个非零向量 ａ ， ｂ 所成的角０ ：
长度为 １ 的向量称为单位向 量． 当 ａ００ 时，
Ｉ ａ １ Ｉ 。 就 是 与 。 方 向 相 同 的 单 位 向 量 ・
例 １ （ １ ） 已 知△Ａ Ｂ Ｃ 及其两边长 ｝ Ａ Ｂ Ｉ ， Ｉ Ａ Ｃ｝ ． 怎样用向量的语言描述： 点 Ｐ在艺Ｂ Ａ Ｃ 的角平分线
上．
ａ １ ＝ 丫 石 ） ； ｃ ｏ ｓ ｏ 二Ｉａ 日 ｂ ！
由。 ｏ ｓ ０二１ 知ａ ２ ＝ Ｉ ａ １ ２ ．
因此 （ ２ ） 当ａ 土ｂ 时。 ｏ ｓ （ ａ 泊＞ ＝ｃ ｏ ｓ 要＝ ０ ，
如下运算律对任意向量 ａ ， ｂ和实数 ｋ ， 。 成立． （ 这些运算律的证明都略去了． ） （ １ ） ｌ ａ＝ｂ ， （ 一１ ） ａ二一ａ ， ｋ （ ｓ ａ ）二（ ｋ ｓ ） ａ ． （ ２ ） （ 对实数加法的分配律） （ ｋ ＋ｓ ） ａ＝ｋ ａ＋ｓ ａ ． （ ３ ） （ 对向 量加法的分配律） ｋ （ ａ＋ｂ ） ＝ｋ ａ＋ｋ ｂ ．
丽ｑ Ａ 与Ｂ 重 合 ．
ａ 当非零向量 与ｂ的方向相同或相反时， 表示 它们的有向线段既可以共线， 也可以平行， 此时我 们称 ａ ， ｂ 平行（ 也可以称 ａ ， ｂ 共线） ． 我们规定： 零 向量与任意向量平行． １ ． ２ 向ｆ的加法 设ａ ， ｂ 是任意两个向量． 从任意一点 ０出发作
Ａ Ｐ二Ｏ Ｐ一Ｏ Ａ＝
． ｌ Ａ Ｂ Ａ Ｃ ＼ 、 二二 ｒ 、 泪 下 一万六．＋下行三 下１ ．这 就
一 Ａ Ｂ ， 称 为。 的 负 向 ｆ ． 我 们 有。 ＋ （ 一 。 ） 二 Ａ Ｂ ＋
” 、Ｉ Ａ Ｂ ｝’｝ Ａ Ｃ １ １’￣ 公 “
丽二 丽二 ０ ， （ 一 。 ） 十 。 ＝ 丽＋ 磅＝ 丽＝ ０ ． 反
过来， ａ 也是 一ａ 的负向量， 即 一（ 一ａ ） 二ａ ． 向ｆ的减法： 已知向量 ａ ， ｂ ， 定义它们的差 ａ－ ｂ＝ａ＋（ 一ｂ ） ， 它满足条件（ ａ一ｂ ） ＋ｂ二ａ ． 从同
是说 Ｐ点的轨迹是 △Ａ Ｂ Ｃ 的内角 匕Ｂ Ａ Ｃ的平分线； 经
图２
过△Ａ Ｂ Ｃ 的内 心． 因 此答案
Ａ Ｂ
Ａ Ｐ ， 是菱形Ａ Ｂ ， Ｐ ， Ｃ ， 的 对角线， 平分Ｚ Ｂ Ａ Ｃ ．
－ 孟 － 通 Ｊ ｐＪ
分别是
－ ｜ 十
试， 则
２ ０ ０ ７ 年
第４ ６ 卷 第２ 期
数学通报
只用到数的运算律（ 加法交换律与结合律、 乘法交 换律、 乘法对于加法的分配律等） ． 将数 ａ ， ｂ 换成向 量ａ ， ｂ ， 将数的乘法换成向量的数量积， 这些运算律 仍然成立， 以上的推理过程仍然正确， 结论（ ａ一ｂ ） ２
量的 方向 不确定， 可以为任意方向． 同一 个向 量ａ 可以由 不同的有向 线段Ａ Ｂ ， Ｃ Ｄ 表示， 只要 Ａ Ｂ ， Ｃ Ｄ的方向相同， 长度也相等， 即使
出 发 点Ａ ， Ｃ 不 同 ， 也 有 油二 筋． 但 从同 一 点 出 发
表 示同 一 个向 量的 有向 线 段是唯 一确 定的： ＿ Ｏ － － Ａ＝ ， ．
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第２ 期
数学通报
中学数学中的向量方法
李尚志
（ 北京航空航天大学理学院 １ ０ ０ ０ ８ ３ ）
数学是从认识和研究图形和数开始的． 大体上 可以说， 图形的优点是直观形象， 能更直接地用来 描述我们周围的世界， 也更容易理解． 但图形不便 于用于计算， 利用几何推理的方法来研究图形， 灵 活性、 偶然性太大， 不容易掌握． 数的优点是有比较 死板的方法进行运算， 便于掌握， 但比图形更抽象， 将客观世界用数来描述的难度更大一些． 笛卡尔引 进了坐标之后， 打破了数与形的界限， 将几何图形 最基本的元素 — 点用坐标来表示， 将曲线、 曲面 用方程来表示， 通过对坐标和方程的代数运算来研 究几何图形的性质， 这就是解析几何．
向 量也是一种图形， 具有直观形象的优点， 便
于用来描述客观世界． 向量又可以直接进行运算． 因 此， 向量兼有图形和数的优点． 我们可以将几何 图形用向量来描述， 通过向量的运算来解决几何问 题； 也可以进一步将向量的运算转化为坐标的运算 来解决问题， 这是建立解析几何的理论与算法体系 的一种简明有效的途径． 向量是一种“ 价廉物美” 的数学工具， 学起来很 容易， 需要花费的时间和精力不多； 用处又很大， 可 以 解决很多的几何和代数的问题． １ 向ｆ的墓本知识 １ ． １ 向．的定义 向量是有方向和大小的量． 每个向量 ａ 可以用
易见 ａ＋ ０二０ ＋ａ二ａ 对任意向量ａ 成立．
Ａ 尸 ＝Ａ Ａ Ｐ ，
ＡＩ
、 （ Ａ Ｂ Ａ Ｃ 、
、 Ｉ ＡＢ Ｉ Ｉ Ａ（ ， ！１
＋ 下 一几二 二 － 丁Ｉ
（ ２ ） 分析
如图２ ，
对每 个向 量。 ＝ Ａ Ｂ ， 存 在 唯 一 一 个 与。 大 小 相 等、 方向 相反的向 量Ｂ Ａ ， 记作一。 ， 也就 是Ｂ Ａ二
的乘积 ．
任意两个向量 ａ ， ｂ 可以作数量积（ 也称内积） ， 得到一个实数 ａ・ ｂ＝Ｉ ａＩ Ｉ ｂＩ ｃ ｏ ｓ ＜ａ ， ｂ＞ ， 其中（ ａ ， ｂ ＞ 表 示ａ ， ｂ 的夹角． 物理例子： 设物体在恒力 Ｆ作用下沿直线前进 产生位移ｓ ， 则 Ｆ所作功Ｗ二Ｆ・ ｓ ． 有两个特殊情况 值得特别注意： （ １ ） 记 矿 二ａ ＂ ａ ， 由于向量 ａ 与自 身夹角为０ ，