数学美的特征

数学美的特征
数学历来以其高度的抽象性、严密的逻辑性被人们所赏识,却很少有人把它与美学联系起来,似乎数学与美学毫不相干。

其实,这是对数学本质的一种误解,是对数学与美学的关系以及数学中的美缺乏真正的了解和认识。

一数学美的特征
古今中外许多著名的数学家都曾以其亲身感受对这个问题有过深刻的论述，认为数学不仅与美学密切相关，而且数学中充满着美的因素,到处闪现着美的光辉。

早在二千年多前,古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就极度赞赏整数的和谐美，圆和球体的对称美，称宇宙是数的和谐体系。

第五世纪著名数学评论家普洛克拉斯进而断言：“那里有数,那里就有美”。

近现代许多著名的数学家对数学中的美更是赞叹不已。

英国著名数理逻辑学家罗素指出:“数学,如果正常地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。

”英国著名数学家哈代认为,不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的。

我国著名数学家徐利治教授指出:“数学园地处处开放着美丽花朵,它是一片灿烂夺目的花果园,这片花果园正是按照美的追求开拓出来的。

”
数学中的美是千姿百态、丰富多彩的,如美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。

从内容来说,数学美可分为结构美、语言美与方法美;就形式而论,数学美可分为外在的形态美和内在的理性美。

把内容和形式结合起来考察,数学美的特征主要有两个：一个是和谐性,一个是奇异性。

（一）数学美的和谐性
和谐性是美的最基本、最普遍的一个特征,任何美的东西无一不给人以和谐之感。

和谐性的表现形式很多，就数学而言,其典型表现有以下几种形式。

1 统一性。

统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。

数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。

（1）数学概念、规律、方法的统一。

一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。

例如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在集合论中,便可统一于映射的概念。

又如代数中的算术平均——几何平均定理、加权平均定理、幂平均定理、加权幂平均定理等著名不等式,都可以统一于一元凹、凸函数的琴森不等式。

在数学方法上，同样渗透着统一性的美。

例如,从结构上分析，解析法、三角法、复数法、向量法和图解等具体方法,都可以统一于数形结合法。

数学中的公理化方法,使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来,形成完整的知识体系,在本质上体现了部分和整体之间的和谐统一。

（2）数学理论的统一。

在数学发现的历史过程中，一直存在着分化和整体化两种趋势。

数学理论的统一性主要表现在它的整体性趋势。

欧几里德的《几何原本》,把一些空间性质简化为点、线、面、体几个抽象概念和五条公设及五条公理,并由此导致出一套雅致的演绎理论体系,显示出高度的统一性。

布尔基学派
的《数学原本》,用结构的思想和语言来重新整理各个数学分支,在本质上揭示数学的内在联系,使之成为一个有机整体,在数学的高度统一性上给人一美的启迪。

（3）数学和其它科学的统一。

数学和其它科学的相互渗透，导致了科学数学化。

正如马克思所说的,一门科学只有当它成功的运用数学时,才算达到了真正完善的地步。

力学的数学化使牛顿建立了经典力学体系。

科学的数学化使物理学与数学趋于统一。

建立在相对论和量子论两大基础理论上的物理学,其各个分支都离不开数学方法的应用,它们的理论表述也采用了数学的形式。

化学的数学化加速了化学这门实验性很强的学科向理论科学和精确科学过渡。

生物数学化使生物学日益摆脱对生命过程进行现象描述的阶段,从定性研究转向定量研究,这个数学化的方向,必将同物理学、化学的数学化方向一样,把人类对生命世界的认识提高到一个崭新的水平。

不仅自然科学普遍数学化了,而且数学方法也进入了经济学、法学、人口学、人种学、史学、考古学、语言学、文学等社会科学领域,日益显示出它的效用。

数学进入经济学领域最大的成就是本世纪出现的计量经济学。

数学进入语言学领域，使语言学研究经历了统计语言学、代数语言学和算法语言学三个阶段。

数学向文学的渗透,发现了数学的抽象推理和符号运算同文学的形象思维之间有着奇妙的联系。

2 对称性。

对称性是和谐性的一种特殊的表现。

它反映的是审美对象形态或结构的均衡性、匀称性或变化的周期性、节律性。

在现实世界中，形式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中，既有轴对称、中心对称、平面对称等的空间对称,又有周期、节奏和旋律的时间对称,还有与时空坐标无关的更为复杂的对称。

数学的对称美,实质上是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现。

从数学美来讲,对称包括狭义对称、常义对称与泛对称等,内容十分丰富。

狭义对称可分为代数对称（共轭根式、共轭复数、对称多项式、轮换对称多项式、线性方程组的克莱姆法则、对称矩阵、反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵等)与几何对称（轴对称、中心对称、平面对称等）,常义对称包括同构、同态、映射、反演、互补、互逆、相似、全等等，泛对称包括数学对象的系统性、守恒性、不变性、周期性、对偶性、等价性和匀称等。

3 简单性。

简单、明快才能给人以和谐之感,繁杂晦涩就谈不上和谐一致。

因此,简单性既是和谐性的一种表现，又是和谐性的基础。

数学美的简单性，并非指数学对象本身简单、浅显,而是指数学对象由尽可能少的要素通过尽可能简捷、经济的方式组成,并且蕴含着丰富和深刻的内容。

数学的简单美,主要表现在数学的逻辑结构、数学的方法和表达形式的简单性。

（1）数学结构的简单美。

简单性是数学结构美的基本内容。

就数学理论的逻辑结构而论,它的简单性一般包括两个方面的内容:一是理论前提的简单性,独立的概念简单明确,以最少的公理来建立理论;二是理论表述的简单性，以最简单的方式抓住现象的本质，定理和公式简单明晰。

著名的皮亚诺算术公理系统,就是逻辑结构简单美的一个典范。

（2）数学方法的简单美。

简单性是数学方法美的重要标志。

狄德罗指出：“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题,所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答”。

这就是说,一个美的数学方法或数学证明,一般都包含着简单性的涵义。

如希尔伯特解决果尔丹问题的存在性证明方法就是数学方法简单美的一个范例。

正是由于希尔伯特的方法简单而深刻,才使它能进一步应用到抽象代数中去,并把群、环、域的抽象理论提高到显著的地位。

（3）数学形式的简单美。

简单性也是数学形态美的主要特征。

数学形态美,是数学美的外部表现形态,是数学定理和数学公式的外在结构中呈现出来的美。

形态美的主要特征,在于它的简单性。

牛顿用F=ma概括了力、质量、加速度之间的定量关系;爱因斯坦用E=mc2 揭示了自然界的质量和能量的转换关系。

这里
F=ma、E=mc2就外在形式而论,都是非常简单的,不失为数学形态美的范例。

又如,麦克斯韦的电磁方程组：
1 divD=
2 divB= 0
+
3 rotH= j
4 rotE= -
以非常简洁、完美的形式包括了库仑定律、高斯定律、欧姆定律、安培定律、毕奥——萨伐尔定律、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦位移电流理论，统一地解释了各种宏观电磁过程，成为反映自然界电磁现象一般规律的普遍理论。

（二）数学美的奇异性
奇异性是数学美的又一重要特征。

著名数学家徐利治教授说：“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美。

”它反映了客观事物中非常规现象的一个侧面。

弗兰西斯·培根曾说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异。

”这句话的意思是：奇异存在于美的事物之中，奇异是相对于我们所熟悉的事物而言。

一个事物十分工整对称、十分简洁或高度统一，都给人一种奇异感，一个新事物、新规律、新现象的被揭示，总是使人们感到一种带有奇异的美感，令人产生一种惊奇的愉快。

数学审美对象的奇异性有以下几种典型表现形式。

1 突变性。

突变是一种突发性变化，是事物从一种质态向另一种质态的飞跃。

它来之突然，变化剧烈，出人意料，因而能给人一新颖奇特之感。

在数学世界中，突变现象是很多的。

诸如连续曲线的中断、函数的极值点、曲线的尖点等，都给人一突变之感。

法国数学家托姆创立的突变论，就是研究自然界和社会某些突变现象的一门数学学科。

他运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具，研究自然界和社会一些事物的性态、结构突然变化的规律，所给出的拓扑模型既形象又精确，给人一种特有的美感。

2 反常性。

反常是对常态、常规的突破，它常常以矛盾冲突的形式创造新的数学对象，丰富数学的内容，推动数学的发展，因而能给人一种革旧立新、开拓进取的美感。

数学对象的反常性主要表现为：反常事实，如德国数学家魏尔斯特拉斯在1856年提出的一个处处连续又处处不可导的函数，就与人们的传统认识“连续函数至少在某些点处可导”相冲突；反常命题，如非欧几何的命题“三角形的内角和小于二直角”，反常于欧氏几何的“三角形的内角和等于二直角”；反常运算，如哈密尔顿四元数代数中“四元数乘法不可交换性”与传统代数学的“乘法交换律”相背离；反常理论，如勒贝格积分反常于黎曼积分、非欧几何反常于欧氏几何等；反常方法，如阿贝尔和黑肯借助计算机证明“四色定理”，超出了传统数学手工式证明的研究模式。

3 无限性。

无限历来使哲学家、数学家为其深奥而动情，它深远、奥妙无穷、充满着美的魅力。

1925年，在明斯特纪念魏尔斯特拉斯的会议上，希尔伯特发表了题为“论无限”的著名演讲。

在演讲中他深有感触的说：“没有任何问题能象无限那样，从来就深深的触动着人们的感情；没有任何观念能象无限那样，曾如此卓有成效的激励着人们的智慧；也没有任何概念能象无限那样，是如此迫切
的需要澄清。

”集合论中的无限性命题令人惊叹，诸如“无穷集合可以和它的子集建立元素之间的一一对应关系”、“两个同心圆的圆周上的点存在一一对应关系”等等。

集合论创立者康托尔发现“直线上的点和整个n维空间的点存在一一对应关系”，曾激动地说：“我看到了它，但我简直不能相信它。

”
4 奇巧性。

奇巧的东西给人以奇异、巧妙之感，高度的奇巧更是令人赏心悦目。

数学中充满着奇巧的符号、公式、算式、图形和方法。

欧拉给出的著名公式e iπ+1=0,将最基本的代数数0，1，i和超越数π，e用最基本的运算符号，通过最方便的方式巧妙的组合在一起，可谓数学创造的艺术精品。

欧拉求无穷级数1/n2和的方法、蒲丰投针求π值的方法、希尔伯特解决果尔丹问题的存在性证明方法，都以其巧妙而赢得学术界的高度赞美。

5 神秘性。

神秘的东西都带有某种奇异色彩，使人产生幻想和揭示其奥妙的欲望。

某些数学对象的本质在没有充分暴露之前，往往会使人产生神秘或不可思议感。

比如，在历史上，虚数曾一度被看作是“幻想中的数”、“介于存在和不存在之间的两栖物”；无穷小量dx曾长期被蒙上神秘的面纱，被英国大主教贝克莱称为“消失了量的鬼魂”；彭加勒把集合论比喻为“病态数学”，外尔则称康托尔关于基数的等级是“雾上之雾”；非欧几何在长达半个世纪的时间内被人称为“想象的几何”、“虚拟的几何”等等。

当然，当人们认识到这些数学对象的本质后，其神秘性也就自然消失了。

和谐性和奇异性作为数学美的两个基本特征，是对数学美的两个侧面的模写和反映，它们既相互区别，又相互依存、相互补充，数学对象就是在两者的对立统一中显现出美的光辉的。

参考资料：
1 科学思想方法与科学教育山东教育出版社 1994
2 希尔伯特的科学精神山东教育出版社 1992
3 潜数学思想方法山东教育出版社 1994。