初中数学竞赛中最值问题的常用解法

数学竞赛中最值问题的常用解法
姓名___________
一.配方法
例1.(第21届江苏初中数学竞赛题)设x,y 为实数,代数式 的最小值为____________.
解:配方,得
显然,当x=y=－1时,原式有最小值为3.
二.消元法
例2. a,b,c 是非负实数,并且满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,
设m=3a+b-7c,记x 为m 的最小值, y 的m 最大值,则xy=__________.
解: 视c 为主元,由已知,求得a=7c-3,b=7-11c.
由于是非负实数,则有:
从而有 ,又m=3a+b-7c=3c-2
于是
三.估算法
例3.五个互不相等自然数的平均数是15,中位数是18,这五个数中最大数的最大值为( )
A.35
B.36
C.37
D.38
解:设这五个数中其余四个数分别为a,b,c,d, 且a ＜b ＜c ＜d,
则a+b+c+d=15×5-18=57.
故当a=0,b=1,c=19时,d 取最大值37.
四.判别式法
例4.(第17届江苏初中竞赛题)已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, ， 5x 2+4y 2-8xy+2x+4
a 2+
b 2+
c 2=6 原式=4(x 2-2xy+y 2)+x 2+2x+4
=4(x-y)2+(x+1)2+3
x=-57,y=-111, xy=5
77
则a 的最大值为___________.
解:由已知a+b+c=0,得c= －(a+b)
从而
因为b 是实数,故⊿≥0,
即 当a=2时,有b=c=-1,满足题设.因此,a 的最大值为2.
五.数形结合
例5.函数 的最小值是________.
解：设 A （0，-1），B （4，-2），取A 点关于x 轴对称点C 的坐标为（0，1），
则线段AC 的长即为所求。

AC=
六.换元法
例6.设x,y 都是正整数,且使116-x +100+x =y, 则y 的最大值是________. 解：设116-x -100+x =m ，与已知等式相乘，得my=-216
由y 为正整数，知m 为有理数。

又易得 知m 必为整数，且是偶数。

由my=-216，知当m=-2时， y 的最大值是108。

七.利用函数的性质
例7.已知a ＜0,b ≤0,c ＞0,且ac b 42-=b-2ac,
求b 2－4ac 的最小值 解：将已知等式两边平方，并整理得
f (x)=x 2+1+(4-x)2+4
a 2+
b 2+(a+b)2=6,即b 2+ab+a 2-3=0
a 2-4(a 2-3)≥0,得-2≤a ≤2
(4-0)2+(-2-1)2=5
y 2+m 2=4(x-8), a 2c 2=acb-ac ,又 ac≠0,得ac=b-1.
故 又b ≤0，知当b=0时， b 2－4ac 取得最小值4
八.利用整除性质
例8.如果n 2+100能被n+10整除,那么满足条件的最大正整数n 的值为___________.
解：
∵ 所以+n+10能整除200，故满足条件的n 最大正整数为190。

九.利用整体求和
例9.如果2006个整数a 1,a 2…a 2006满足条件
那么 的最小值是_________.
解：由已知，得
将上述各式相加，得
注意
另一方面， 适合已知条件，且使得上式等号成立。

因此所求的最小值为-2004。

1．设y x ,为实数，则428452
2++-+x xy y x 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
a 1+a 2+a 3+…+a 2005
b 2-4ac=b 2-4(b-1)=(b-2)2
n 2+100n+10=n 2-100+200n+10=n-10+200n+10 a 12=0,a 22=a 12+4a 1+4,…,a 20052=a 20052+4a 2004+4. 4(a 1+a 2+a 3+…+a 2005)+4×2005=a 20052≥0 即 a 1+a 2+a 3+…+a 2005≥-2005 a 1, a 2, a 3,… a 2005 均为偶数 故 a 1+a 2+a 3+…+a 2005≥-2004 当a 1=a 3=…=a 2005=0, a 2=a 4=…=a 2004=-2时,
1、代数式13432---x x 的最小值是……………………………………………【 】
（A ）、0 （B ）、3 （C ）、3.5 （D ）、1
4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ）
A ．18-.
B ．0.
C ．1.
D ．
98.
10、16)2(2222+-+++x x x 的最小值为 10）34
8）若112y x x =--a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 【答】32
． 解：由1x -≥0，且12x -
≥0，得12≤x ≤1． 2221311312()2222416y x x x =
+-+-=+--+ 由于13124
<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =
或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=． 17．代数式15324422+-++x x x 的最小值是 ． 17． 13 ；
9、若a 、b 、c 是自然数，且a ＜b ，a+b=719，c-a=934，则a+b+c 的所有可能值中最大的一
个是 。

9、2012
12、代数式33221-+++-x x x 的最小值是 。

12、12
13．实数a ，b 222144625a a a a b b ++-+=-+-+，求22
a b +的最大值和最小值.。