武汉理工线性代数课件

线性代数课程特点

线性代数研究的对象有：行列式、矩阵、向量、线性方程组和二次型，其核心内容是研究线性方程组的解：解的条件、解的结构和求解的方法.它和实二次型化标准型是线性代数的两个重要应用.线性代数主要使用矩阵方法，即利用矩阵的初等变换来解决问题.行列式是研究矩阵的重要工具，在线性方程组的解的研究和二次型的研究中也有直接的应用.向量用来表达线性方程组的解及其关系，利用向量间的关系可讨论二次型能否化为标准型.因此学习《线性代数》必须完成的任务是：

掌握行列式的计算；

掌握矩阵的运算和熟练作矩阵的初等变换； 熟练分析线性方程组的解的条件并求解； 会分析向量间的线性关系； 能把实二次型化为标准型.

《线性代数》的学习有别于其它课程.《线性代数》要解决的问题分为两类：元素是具体数字的以及元素是抽象符号的.无论哪一种都不是一个而是有很多数字或符号，并且非常强调元素所处的位置和它们之间关系.对于具体数字的计算问题，很多同学觉得很容易，不愿耐心仔细地演算.这样造成的后果是两个：一个是计算错误，因为两个数的加减乘除很容易，但很多个数一起运算，即使是加法也不容易；另一个就是没有计算的经验积累，通俗地说就是没有感觉，对抽象问题的理解更为困难.对于抽象的符号或者理论上的问题，一般同学都觉得比较难，这要求我们必须仔细分析和用心体会，在简单的问题中积累经验会对复杂问题的理解很有帮助.在《线性代数》的学习我们要特别强调这一点，认真做好行列式的计算和矩阵初等变换等基本计算，以便更容易地解决复杂的、抽象的问题.

第一章 行列式 §1.1 二阶和三阶行列式

1．二阶行列式的计算

定义1.1 将2×2个元素)2,1,(=j i a ij 排列成两行两列，并且左右两侧各加一条竖线，得到的式子：

22

2112

11a a a a

称为二阶行列式.横排叫行竖排叫列，下标i 称为元素ij a 的行标，下标j 称为元素ij a 的列标，表示元素所在的位置.

二阶行列式是一个便于记忆的记号，展开为式子：21122211a a a a -，计算结果是一个数值.即

21122211a a a a - .称左上角与右下角元素的连线为主对角线.

例1.1 计算行列式的值

ϕ

ϕ

ϕϕsin cos cos -sin D =

解 用对角线法则，

1

cos sin cos )cos (sin sin 22=+=⋅--⋅=ϕϕϕϕϕϕD

2．三阶行列式的计算

定义1.2 将3×3个元素)3,2,1,(=j i a ij 排列成3行3列，并且左右两侧各加一条竖线，得到的式子：

33

32

31

232221131211a a a a a a a a a

称为三阶行列式.

三阶行列式的展开式是

312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++

即

32

231133211231221332211331231233221133

3231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=

例1.2 解方程

09

4321112

=x x 解 按对角线法则展开左边的行列式，

左边=65122918432

2

2

+-=---++x x x x x x 由0652

=+-x x 得到2=x 或者3=x

§1.2 n 级排列与逆序

定义1.3 把 n 个不同的数按照一定的顺序排成一排，叫做一个n 级排列，按照自然数的顺序排列的称为顺序排列或者标准排列.

定义1.4 如果一个n 级排列中有较大的数排在较小的数前面，称它们构成一个逆序.一个n 级排列的逆序总数称为逆序数，用N 表示。

定义1.5 逆序数是奇数的称为奇排列，逆序数是偶数的称为偶排列.

可以总结出求逆序数的两种方法：1）从第一个数起依次考察每个数比后面几个数大，2）从第二个数起依次考察每个数前面有几个数比它大。 例1.3 求5级排列43512的逆序数并指出奇偶性. 解 70223N =+++= 或者 73301N =+++=，为奇排列。 例1.4 求排列()()()()() 132******** k k k k k k +--- 的逆序数并指出奇偶性. 解 求逆序数有两种做法：（1）从第一个数起依次考察每个数比后面几个数大；（2）从第二个数起依次考察每个数前面有几个数比它大.

用前一种方法：第一个数2k 比后面2k -1个数大，1不比后面的数大，2k -1比后面2k -3个数大，…，逆序总数为：

22

1

1)-(213)-(21)-(2N k k k k k =+=

+++= 用后一种方法：第二个数1 前面比它大的数有1个，第三个数2k -1前面有1个数比它大，第四个数2前面有2个数比它大，第五个数2k -2前面也有2个数比它大，…，倒数第三和倒数第二个数的前面都有k -1个数比它大，而最后一个数k 前面有k 个数比它大，逆序

总数为：

k k k +-+-+++++=)1()1(2211N ()()2

12112k k k k =+⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+= 当k 为奇数时是奇排列，当k 为偶数时是偶排列。

定义1.6 将n 级排列中任意两个数交换，称为一次对换. 定理1.1 n 级排列共有n ！个，且奇偶排列各一半.

定理1.2 任何n 级排列经过一次对换排列的奇偶性发生改变. 例1.5 5级排列共有多少个？用排列43512检验上面的定理。 例1.6 列出全部的3级排列，并分奇偶。 （解略）