利用角平分线解题

证明：过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图 3-2
∵∠1=∠2，且 PD⊥BC， ∴PE=PD，
A
N
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P
在 Rt△BPE 与 Rt△BPD 中，
PE PD BP BP
1 2 B
DC
图 3-1
∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),
∴BE=BD. ∵AB+BC=2BD， ∴AB+BD+DC=BD+BE，
E
A
N
P
1 2
B
DC
图 3-2
∴AB+DC=BE 即 DC=BE-AB=AE.
在 Rt△APE 与 Rt△CPD 中,
PE PD PEA PDC AE DC
∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),
∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°.
∴∠BAP+∠BCP=180°
例4. 已知：如图 4-1，在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝ ∠2.
FDE ADE DE DE 3 4
∴△FDE≌△ADE（ASA）， ∴DF=DA， ∵CD=DF+CF， ∴CD=AD+BC. 例3. 已知，如图 3-1，∠1=∠2，P 为 BN 上一点，且 PD⊥ BC 于点 D，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°.
分析：与例 1 相类似，证两个角的和是 180°，可把 它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP， 因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何
利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明．
一、“以角平分线为轴翻折”构造
全等三角形
A
此情形可构造两种基本图形如图
1、2 所示：
A
如图 1 ，以 AD 为轴翻
折，
B
C
使点 C 落在 AB 上（即在 AB E
上截取 AE = AC ），得△ ACD
D
≌△AED．如图 2，以 AD 为 B
1-2
例2. 如图 2-1，AD∥BC，点 E 在线段 AB 上，∠ADE=∠CDE， ∠DCE=∠ECB.
求证：CD=AD+BC.
分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中 的“截长”，即在 CD 上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA 即 可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化 问题的目的.
DC
E
轴翻折，使点 B 落在 AC 的延 （
（
长线上（即延长 AC 到 E，使 AE图= A1B）），得△图ABD2≌）△
AED．
例 1 如图 3，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB + BD
= AC，求∠B ∶∠C 的值．（河南省中考题）
解法 1：在 AC 上截取 AE = AB ，连结 AE．
∵∠BAD = ∠DAE，AD = AD，
∴△ABD≌△AED， ∴∠B = ∠AED，BD = DE． 又∵AB + BD = AC， ∴CE = BD = DE， ∴∠C = ∠EDC，
A
E
C
B
D
（
图 3）
∴∠B = ∠AED = 2∠C，
∴∠B ∶∠C = 2∶1．
解法 2：延长 AB 到 E，使 AE = AC ，连结 DE．请读
°-100°=80°，
所以∠PBA=∠ABD，
因为 EM⊥BD 于 M，EP⊥CB 于 P，所以 EP=EM，
又 CE 平分∠ACB，EN⊥CA，EP⊥CB，所以 EN=EP，
所以 EN=EM，
所以 ED 平分∠ADB，
所以∠ADE= 1 ∠ADB= 1 ×40°=20°.
2
2
图5
“截长补短法”在角的平分线问题中的运用
人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了 角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛 的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特 殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法 常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1. 已知，如图 1-1，在四边形 ABCD 中，BC＞AB， AD=DC，BD 平分∠ABC.
∴△AFD≌△ACD （SAS）,
A 12 F
∴DF=DC，∠AFD＝ B ∠ACD.
D
C
图 4-3
又∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FDB＝∠B，
∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD，
∴AB=AC+CD. 由角平分线引出的线段关系
一.过三角形一边的两个顶点分别作两个内角的平分线 相交于一点，过这点作这边的平行线与其他两边相截， 则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段
作∠BAC 的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面
积进行证明.
证明：过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F.
因为 DA 为∠BAC 的平分线，所以 DE=DF.
又因为 AD 平分 BC，所以 BD=CD，
所以 S△ABD=S△ACD，
又
S△ABD=
1 2
AB·DE，S△ACD=
平分∠ACB，D 是 AC 上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE 的
度数.
分析：由于 CE 平分∠ACB，可过点 E 作∠ACB 的两边的垂
线，通过证明 DE 是∠ADB 的平分线解决问题.
解：作 EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分别是 N、M、P.
因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°，∠PBA=180
BC > BA，AD = DC，BD 平分∠ABC． 求证：∠A + ∠C = 180°．
证明：过点 D 作 DE⊥AB，交 BA 延
AE D
长 线 于 点 E ， 作 DF ⊥ BC ， 交 BC 于 点 F．
B
FC
∵BD 平分∠ABC，
∴DE = DF ．又∵AD = DC， ∴Rt△EAD≌Rt△FCD， ∴∠C = ∠EAD．
又
，CD 平分
而
因此，这道习题的命题可推广为： 过三角形一边的两个顶点分别作两个内角或两个外角 （一个内角与一个外角）的平分线相交于一点，过这点 作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截，则截 线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段 长的和（或差）。
三角形角平分线的应用例析
三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在
决问题.
证明:作 CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F.
因为 AC 平分∠BAD,
所以 CE=CF.
在△CBE 和△CDF 中,
因为 CE=CF,CB=CD,
所以 Rt△CBE≌Rt△CDF,所以∠B=∠1,
因为∠1+∠ADC=180°,
所以∠B+∠ADC=180°,
即∠B+∠D=180°. 三、证明角相等 例 3 如图 3，在△ABC 中，PB、PC 分别是∠ABC 的外角的 平分线，求证：∠1=∠2 分析：要证明 AP 是∠BAC 的平分线，需要证明点 P 到∠ BAC 两边的距离相等，可作 PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC， 易证 PE=PH，PH=PG，从而 PE=PG. 证明；过点 P 作 PE⊥AB 于点 E，PG⊥AC 于点 G，PH⊥BC 于点 H. 因为 P 在∠EBC 的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC， 所以 PE=PH， 同理可证 PH=PG， 所以 PG=PE， 又 PE⊥AB，PG⊥AC，所以 PA 是∠BAC 的平分线. 所以∠1=∠2.
A
12
∴∠B＝∠E，
在△ABD 与△AED B 中,
1 2 B E AD AD
∴△ABD≌△AED（AAS）,
D
图 4-2
C E
∴AB=AE.
又 AE=AC+CE=AC+DC，
∴AB=AC+DC.
方法二（截长法）
在 AB 上截取 AF=AC，如图 4-3
在△AFD 与△ACD 中,
AF AC 1 2 AD AD
求证：∠BAD+∠BCD=180°.
分析：因为平角等于 180°，因而应考虑把两个不在 一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形， 因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补 短法”来实现.
证明：过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E，作 DF ⊥BC 于点 F，如图 1-2
∵BD 平分∠ABC， ∴DE=DF， 在 Rt△ADE 与 Rt△CDF B 中，
A D
C
图 1-1
DE DF
AD
CD
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),
∴∠DAE=∠DCF.
E A
D
又∠BAD+∠DAE=180°， B ∴∠BAD+∠DCF=180°， 即∠BAD+∠BCD=180°
FC
图
者一试．
二、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三
角形
1、根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任
一点向两边作垂线，得两个全等的直角三角形；
2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自
角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相
交，则截的一个等腰三角形．
例 2 如图 4，在四边形 ABCD 中，
图2 试指出 AE、FC、EF 的关系。 分析： AD 平分 ，EF//AC
同理可证
。而
例 2.已知，如图 3，D 是 的内角 与外角 的 平分线 BD 与 CD 的交点，过 D 作 DE//BC，交 AB 于 E，交 AC 于 F。试确定 EF、EB、FC 的关系。
图3
分析： BD 平分 ，DE//BC 易证
图3
图4
四、证明角的平分线
例 4 如图 4，DA⊥AB，CB⊥AB，P 是 AB 的中点，PD 平分∠
ADC.
求证：CP 平分∠DCB.
分析：因为 DA⊥AB，PD 平分∠ADC，所以可过点 P 作 PE⊥
AC ， 利 用 角 平 分 线 的 性 质 得 到 PE=PA ， 进 而 可 得 到
PE=PB.
1 2
AC·DF，
所以 AB·DE=AC·DF，
所以 AB=AC.
图1
图2
二、证明两角的和等于 180°.
例 2 已知，如图 2，AC 平分∠BAD，CD=CB，AB>AD.求证:∠
B+∠D=180°.
分析:因为 AC 是∠BAD 的平分线,所以可过点 C 作∠BAD
的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解
利用角平分线解题
构造角平分线借助其性质解题
在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角
的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.
现举例如下.
一、证明线段相等
例 1如图 1，在△ABC 中，∠BAC 的角平分线 AD 平分底边
BC.求证 AB=AC.
分析：根据已知可知 AD 是∠BAC 的平分线，可通过点 D
证明：过点 P 作 PE⊥DC，垂足于 E，
因为 PD 平分∠ADC，PA⊥AD，所以 PA=PE，
因为 P 为 AB 的中点，
所以 PA=PB，所以 PE=PB，
因为 CB⊥BP，CE⊥PE，所以 CP 平分∠DCB
五、求角的度数
例 5 如图 5，在△ABC 中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE
（ 图 4）
∵∠EAD + ∠BAD = 180°，
∴∠C + ∠BAD = 180°．
例 3 如图 5，已知等腰 Rt△ABC 中，∠A = 90°，∠
B 的平分线交 AC 于 D，过 C 作 BD 的垂线交 BD 的延长线
于 E．求证：BD = 2CE . 证明：延长 CE 交 BA 的延长线于点
F．
F A
∵BE 是∠B 的平分线，BE⊥CF，
∴∠BCF = ∠F，
∴△FBC 是等腰三角形．
证明：在 CD 上截取 CF=BC，如图 2-2 D
A
在△FCE 与△BCE 中，
CF CB FCE BCE CE CE
∴△FCE≌△BCE（SAS）,
E
C B
图 2-1
∴∠2=∠1. 又∵AD∥BC，
D A
43
F
E2
1
C B
图 2-2
∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，
长的和。 已知：如图 1， 、 的平分线相交于点 F，过 F 作 DE//BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，求证：
图1 证明： BF 平分 ，BE//BC
同理可证
即 二.过三角形两个外角（或一个内角与一个外角）的平分 线的交点作平行截线，三条截线段的关系又怎么样？请 看以下例证。 例 1.已知：如图 2，D 是 的外角 ， 的平分 线 AD、CD 的交点，过 D 作 EF//AC，交 BA 的延长线于 E， 交 BC 的延长线于 F。
求证：AB=AC+CD.
分析：从结论分析，“截 长”或“补短”都可实现问题
B
A 12
D
C
图 4-1
的转化即，延长 AC 至 E 使 CE=CD，或在 AB 上截取 AF=AC.
证明：方法一（补短法）
延长 AC 到 E，使 DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图 4-2
∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝2∠B，