小学数学中年级篇 方阵问题

方阵问题

知识归纳：

1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计

算问题就叫做方阵问题

2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相

邻两层的实物数量相差8

3.方阵问题的解题思路是：

（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数

（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数

（每边数－层数）×层数×4＝总数

习题精练：

1. 100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列.问减少了多少人？

分析与解：100人排成10行10列的方阵，减去一行一列后剩下的是9行9列的方阵.

9×9=81 (人)

100-(10-1)×(10-1)=19 (人)

答：减少19人.

2. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵.求原来两个方阵各有多少人？

分析与解：10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人.大方阵人数应该在50～100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出当大方阵人数是64人，小方阵人数为36人时满足条件.

答：大方阵有64人，小方阵有36人.

3. 有一个用棋子摆成的方阵，如果再放入19枚棋子，可使每行每列上的棋子各增加一枚.原来的方阵中有多少棋子？

分析与解：增加的19枚棋子，使原方阵增加了一行一列，其中有一枚棋子是这一行一列的交点，被重复计算了.因此增加后每边棋子数为(19+1)÷2=10(枚)，则原来最外层每边有9枚棋子.

原来每边上的棋子数(19+1)÷2-1=9 (枚)；

原来方阵中棋子总数9×9=81 (枚).

答：原来的方阵中有81枚棋子.

4. 180枚棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层有多少棋子？最外层每边有多少棋子？

分析与解：由于外层比中层多8枚棋子，中层比内层多8枚棋子，因此中层的棋子

数为180÷3=60(枚)，外层的棋子数为60+8=68

(枚).

利用公式：每边棋子数=总数÷4+1，可以求出每边有多少棋子.

180÷3+8=68 (枚)；

68÷4+1=18 (枚).

答：最外层的有68枚，最外层每边上有18枚棋子.

5. 在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人.参加团体操表演的共多少人？

分析与解：根据层外层和最内层的人数，可以分别求出内外层每边的人数.一个空心方阵，可以看作从一个最外层有64人的实心方阵中，减去一个小方阵.

外层每边人数64÷4+1=17 (人)；

内层每边人数32÷4+1=9 (人)；

中空方阵人数17×17-(9-2)×(9-2)=240 (人).

答：参加团体操表演的共240人.

6. 将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的中空方阵，此中空方阵的最外层每边有多少棋子？

分析与解：棋子总数为16×16=256(枚)，由于“中空方阵总个数=(每边个数-层数)×层数×4”，所以“每边个数=中空方阵总个数以÷层数÷4+层数”.

16×16÷4÷4+4=20 (枚).

答：最外层每边有20枚棋子.

7. 252名同学组成一个三层的空心方阵.如果要在方阵内部再增加一层，组成四层空心方阵要增加多少人？如果要在外部增加一层，又要增加多少人？

分析与解：首先求出原三层方阵中间层的人数，由于每向里或向外一层，人数减少或增加8人，因此可以求出答案.

中间层人数252÷3=84 (人)；

向里增加一层需84-8×2=68 (人)；

向外增加一层需84+8×2=100 (人).

答：向内部增加一层需增加68人，向外部增加一层需100人.

8. 同学们要把操场的盆花摆成实心方阵，结果还剩4盆，如果增加一行一列，又少15盆.求共有多少盆花？

分析与解：由题目可知要增加的这一行一列共需花4+15=19(盆)，因此生边上有花(19+1)÷2=10(盆).如果摆满，将是由100盆花组成的实心方阵，但实际上只有100-15=85(盆).

增加的那条边上有花(4+15+1)÷2=10 (盆)；

实际有花10×10-15=85 (盆).

答：共有85盆花.

9. 一群学生，如果排成三层空心方阵多10人，如果在中空部分增加一层又少6人，问有多少学生？

分析与解：增加的那一层人数应为10+6=16(人)，从而可求出此每边人数及最外层每边人数.

增加的那一层每边人数(10+6)÷4+1=5 (人)；

最外层人数5+2×3=11 (人)；

四层方阵总人数(11-4)×4×4=112 (人)；

实有人数112-6=116 (人).

答：共有学生106人.

10. 有一群学生排成三层中空方阵，多9人.如中空部分增加两层，又少15人.问有学生多少人？

分析与解：增加的两层人数为9+15=24(人)，这两层人数之差是8人.因此最里层有(24-8)÷2=8(人).现在的方阵共5层，那么最外层有8+8×4=40(人)，知道最外层人数及层数就不难求出总人数.

最外层人数(9+15-8)÷2+8×4=40(人)；

总人数40+(40-8)+(40-8×2)+9=105(人).

答：有学生105人.

11. 用若干围棋子摆成一个方阵，有两行两列都是黑棋，共48枚，其余都是白棋.白棋有多少枚？

分析与解：方阵中的每行每列，棋子数都是一样的。两行两列中，必有4枚棋子被重复计算了，因此实际上每一行或每一列的棋子数是(48+4)÷4=13(枚).

每条边上棋子数(48+4)÷4=13(枚)；

共有棋子13×13=169(枚)；

白棋有169-48=121(枚).

答：白棋有121枚.

12. 某班同学在队列表演中恰好站成一个两层的空心方阵，外层每边站9人.若让这个班的同学在一条250米长的马路上站岗，从一端开始每隔5米站1人，则站满之后还剩多少人？

分析与解：知道最外层人数及层数，不难求出总人数，而250米的马路上每隔5米站1人，一共可站250÷5+1=51(人).两数相减，可得剩余人数.

(9-2)×2×4-(250÷5+1)=5(人)

答：还剩5人.

13. 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？

分析与解：利用层与层之间的数量关系，可求中间层的棋子个数，而中间层的数量双是这三层的平均数.

最外层(14-1)×4=52(个)；

中间层52-8=44(个)；

三层共有44×3=132(个).

答：摆这个方阵共用围棋子132个.