小学数学中年级篇 方阵问题
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方阵问题
知识归纳:
1.方阵问题:把若干人或物排列成正方形队列的形式,根据排列规律,引出的计
算问题就叫做方阵问题
2.方阵问题的特点是:方阵每边的实物数量相等,相邻两边的实物数量相差2,相
邻两层的实物数量相差8
3.方阵问题的解题思路是:
(1)实心方阵:每边数×每边数=总数(每边数-1)×4=每层数每层数÷4+1=每边数
(2)空心方阵:大实心方阵-小实心方阵=总数
(每边数-层数)×层数×4=总数
习题精练:
1. 100名同学排成一个方阵,后来又减去一行一列.问减少了多少人?
分析与解:100人排成10行10列的方阵,减去一行一列后剩下的是9行9列的方阵.
9×9=81 (人)
100-(10-1)×(10-1)=19 (人)
答:减少19人.
2. 在一次运动会开幕式上,有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵.求原来两个方阵各有多少人?
分析与解:10行10列的方阵由100人组成,原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人.大方阵人数应该在50~100之间,可取64或81,运用枚举法,可求出当大方阵人数是64人,小方阵人数为36人时满足条件.
答:大方阵有64人,小方阵有36人.
3. 有一个用棋子摆成的方阵,如果再放入19枚棋子,可使每行每列上的棋子各增加一枚.原来的方阵中有多少棋子?
分析与解:增加的19枚棋子,使原方阵增加了一行一列,其中有一枚棋子是这一行一列的交点,被重复计算了.因此增加后每边棋子数为(19+1)÷2=10(枚),则原来最外层每边有9枚棋子.
原来每边上的棋子数(19+1)÷2-1=9 (枚);
原来方阵中棋子总数9×9=81 (枚).
答:原来的方阵中有81枚棋子.
4. 180枚棋子摆成一个三层的空心方阵,最外层有多少棋子?最外层每边有多少棋子?
分析与解:由于外层比中层多8枚棋子,中层比内层多8枚棋子,因此中层的棋子
数为180÷3=60(枚),外层的棋子数为60+8=68
(枚).
利用公式:每边棋子数=总数÷4+1,可以求出每边有多少棋子.
180÷3+8=68 (枚);
68÷4+1=18 (枚).
答:最外层的有68枚,最外层每边上有18枚棋子.
5. 在一次团体操表演中,有一个中空方阵最外层有64人,最内层有32人.参加团体操表演的共多少人?
分析与解:根据层外层和最内层的人数,可以分别求出内外层每边的人数.一个空心方阵,可以看作从一个最外层有64人的实心方阵中,减去一个小方阵.
外层每边人数64÷4+1=17 (人);
内层每边人数32÷4+1=9 (人);
中空方阵人数17×17-(9-2)×(9-2)=240 (人).
答:参加团体操表演的共240人.
6. 将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的中空方阵,此中空方阵的最外层每边有多少棋子?
分析与解:棋子总数为16×16=256(枚),由于“中空方阵总个数=(每边个数-层数)×层数×4”,所以“每边个数=中空方阵总个数以÷层数÷4+层数”.
16×16÷4÷4+4=20 (枚).
答:最外层每边有20枚棋子.
7. 252名同学组成一个三层的空心方阵.如果要在方阵内部再增加一层,组成四层空心方阵要增加多少人?如果要在外部增加一层,又要增加多少人?
分析与解:首先求出原三层方阵中间层的人数,由于每向里或向外一层,人数减少或增加8人,因此可以求出答案.
中间层人数252÷3=84 (人);
向里增加一层需84-8×2=68 (人);
向外增加一层需84+8×2=100 (人).
答:向内部增加一层需增加68人,向外部增加一层需100人.
8. 同学们要把操场的盆花摆成实心方阵,结果还剩4盆,如果增加一行一列,又少15盆.求共有多少盆花?
分析与解:由题目可知要增加的这一行一列共需花4+15=19(盆),因此生边上有花(19+1)÷2=10(盆).如果摆满,将是由100盆花组成的实心方阵,但实际上只有100-15=85(盆).
增加的那条边上有花(4+15+1)÷2=10 (盆);
实际有花10×10-15=85 (盆).
答:共有85盆花.
9. 一群学生,如果排成三层空心方阵多10人,如果在中空部分增加一层又少6人,问有多少学生?
分析与解:增加的那一层人数应为10+6=16(人),从而可求出此每边人数及最外层每边人数.
增加的那一层每边人数(10+6)÷4+1=5 (人);
最外层人数5+2×3=11 (人);
四层方阵总人数(11-4)×4×4=112 (人);
实有人数112-6=116 (人).
答:共有学生106人.
10. 有一群学生排成三层中空方阵,多9人.如中空部分增加两层,又少15人.问有学生多少人?
分析与解:增加的两层人数为9+15=24(人),这两层人数之差是8人.因此最里层有(24-8)÷2=8(人).现在的方阵共5层,那么最外层有8+8×4=40(人),知道最外层人数及层数就不难求出总人数.
最外层人数(9+15-8)÷2+8×4=40(人);
总人数40+(40-8)+(40-8×2)+9=105(人).
答:有学生105人.
11. 用若干围棋子摆成一个方阵,有两行两列都是黑棋,共48枚,其余都是白棋.白棋有多少枚?
分析与解:方阵中的每行每列,棋子数都是一样的。两行两列中,必有4枚棋子被重复计算了,因此实际上每一行或每一列的棋子数是(48+4)÷4=13(枚).
每条边上棋子数(48+4)÷4=13(枚);
共有棋子13×13=169(枚);
白棋有169-48=121(枚).
答:白棋有121枚.
12. 某班同学在队列表演中恰好站成一个两层的空心方阵,外层每边站9人.若让这个班的同学在一条250米长的马路上站岗,从一端开始每隔5米站1人,则站满之后还剩多少人?
分析与解:知道最外层人数及层数,不难求出总人数,而250米的马路上每隔5米站1人,一共可站250÷5+1=51(人).两数相减,可得剩余人数.
(9-2)×2×4-(250÷5+1)=5(人)
答:还剩5人.
13. 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?
分析与解:利用层与层之间的数量关系,可求中间层的棋子个数,而中间层的数量双是这三层的平均数.
最外层(14-1)×4=52(个);
中间层52-8=44(个);
三层共有44×3=132(个).
答:摆这个方阵共用围棋子132个.