3维地形景观模拟中的透视投影变换
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进行详细推导。最后以海域 ’ 维地形景观模拟系统为例， 给出经过这种透视投影变换后的实际效果图。
关键词： 透视投影； 变换矩阵； ’ 维地形景观
一、 引
言
在国土 ’ 维地形景观是地表形态的真实模拟， 规划、 通讯导航以及战场环境仿真等领域有着重要 应用。测绘及相关技术的飞速发展使我们可以及时 获取信息丰富、 现势性强的地面影像纹理数据和数 字高程模型数据， 为重构 ’ 维地形提供了丰富而可 靠的数据来源。而计算机图形学及其相关技术一直 是 ’ 维地形显示的重要技术支撑。对已知地形数据 进行 ’ 维显示， 一般要先经过透视投影变换、 消隐处 理、 颜色与光照处理、 纹理映射 " 个步骤。其中透视 投影变换是计算机图形学中真实感图形生成算法的 重要组成部分。为了使显示的物体能以合适的位 置、 大小和方向显示出来， 必须通过投影。因为 ’ 维 模型是在世界坐标系中建立的， 而计算机屏幕所显 示的图形是在给定视点和视线方向下的 & 维屏幕上 进行， 所以透视投影变换是联系空间 ’ 维地形与屏 幕 & 维图形的桥梁。
测 绘 通 报 &!!’ 年 第 ( 期 &) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 文章编号： （&!!’） !"#"$!#%% !($!!&)$!& 中图分类号： *&&( + ’ 文献标识码： ,
三、 应
用
应用以上透视投影变换的数学模型， 建立了海 域地形 . 维模拟显示系统。本系统用于构造海域 . 维地形景观的数据包括 123 数据和纹理数据。 . 维地形景观在屏幕上的具体实现过程包括： 数据准 备及预处理， 基本参数设置， 地形模型构造， 透视投 影变换， 视屏变换。根据需要可对经过透视投影变 换的地形模型进行纹理映射。本系统采用根据原始 地形数据生成相应纹理的方法。
!%"! * + , -./ 0， !()! * + , --’ 0， !%"’ * ! , 12/ 0， !()’ * ! , 12/ 0， !%"& * ’ , &/1 0， !()& * ’ , &/’ 0
从上述计算结果和图 !、 图 ’ 可以发现： %" 方 法与双线性内插方法在精度上基本上相同， 其中， 隔 ! 点 内 插 法，%" 方 法 比 双 线 性 内 插 方 法 提 高 精度相同； 隔 & 点内插法， + , ++1 0；隔 ’ 点内插法， 双线性内插方法比 %" 方法精度高 + , ++’ 0。总体 说明本文提 而言， ’ 种方法精度属于同一个数量级， 出的基于系统动力学理论的 "#$ 内插的方法是准 确和实用的。利用 %" 方法所具备的独特的预测功 能， 可以用已有的高程数据外推预测其他高程数据， 这是其他的内插方法所不具备的。在本实验中， 利 用由 %"! ， %"’ ， %"& 方法分别外推预测高程点均方 差 （仅外推点高程参与计算） 分别为
图% 透视投影变换视景体
建立地面点 （ 0HI 结点） 与 ’ 维图像点间的透 视关系， 文献 ［ %］ 中给出了由视点、 视角、 ’ 维图形大 小等参数的数学模型。下面， 通过引入过渡坐标系， 推导一种更为简单明了的透视投影变换矩阵， 实现 快速的对 0HI 数据进行 ’ 维显示。 ’ 维地形显示采用的投影一般为简单的一点透 ［&］ ， 由于在一点透视投影变换中， 投影平面 视投影 取成坐标系中的一个坐标平面， 因此用一个坐标系 即可表示透视投影变换。在透视投影中往往要求物 体不动， 让视点在以形体为中心的球面上变化来观 察形体各个方向上的形象， 解决的办法是引入一个 过渡坐标系， 即视点坐标系。视点坐标系是 ’ 维直 角坐标系， 与一般物体所在的世界坐标系不同， 它是 以人眼为坐标原点， 坐标轴遵循左手法则。引入了 视点坐标系后， 透视投影变换可看做是两个基本变 换， 即世界坐标系到视点坐标系的变换和视点坐标 系到屏幕坐标系的变换。 世界坐标系到视点坐标系的变换矩阵的推导过 程有如下 J 步。
二、 透视投影变换的数学模型
透视投影 （ *6@AB6CD1E6 *@FG6CD1F7） 类似于人对客 观世界的观察方式， 它的特点是距离视点近的物体 比较大， 而距离远的物体相对比较小， 这种投影方式 的视景空间可以被认为是一个棱台 （如图 %） 。它广 泛应用于 ’ 维地形模拟、 飞行穿越仿真、 步行穿越仿 真等模拟人眼视觉效果的研究领域。
四、 结束语
透视投影变换在 . 维地形显示中有着重要的应 用， 研究其变换矩阵形式是极为必要的。本文从理 论和实践上对提出的引入过渡坐标系后的透视投影 变换矩阵的简化形式进行了验证， 并总结出其 . 大 （下转第 ./ 页）
测 绘 通 报 ’++& 年 第 - 期 &1 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 在图 ! 中， 所示结果为 "#$ 中沿 ! 方向的一 个断面分别采用 %" 方法的 & 种情况的内插运算结 果与已知结果比较的残差曲线。其中， %"! 为 %" 方 法隔 ! 点内插残差曲线， %"’ 为 %" 方法隔 ’ 点内插 残差曲线， %"& 为 %" 方法隔 & 点内插残差曲线。在 图 ’ 中， 所示结果是利用双线性内插方法得到的内 插运算结果与已知结果比较的残差曲线， 其中 ()! 为双线性内插方法隔 ! 点内插残差曲线， ()’ 为双 线性内插方法隔 ’ 点内插残差曲线， ()& 为双线性 内插方法隔 & 点内插残差曲线。 利用表 ! 数据得出的全部点的计算值和已知值 进行各种方法的均方差计算， 由此， 可对它们的计算 精度进行比较。各种方法的均方差的计算结果分别 为 可以发现： 本 ! , 通过与现有的方法进行比较， 文提出的基于 %" 理论的 "#$ 内插方法在计算精 度上与现有的成熟的双线性内插方法相当， 这证明 本文所提出的方法是准确的、 可实用的。 ’ , 基于 %" 理论的 "#$ 内插方法可以方便地 进行 "#$ 外推预测。这一特点是传统方法所不具 备的， 特别对于周边无点或少点地区 （困难地区） 所 形成的 "#$ 时， 该方法优势尤为明显。 & , 基于 %" 理 论 的 "#$ 内 插 方 法 将 传 统 的 转换成分别沿 ! ， "#$ ’ 维内插， " 方向进行的 ! 维内插。与传统的 "#$ ’ 维内插方法相比， 利用文 中的方法可使得数据处理更加简单、 速度快、 效率 高。 1 , 利用 %" 理论中的专用语言 "345$6 语言 编制的源程序， 只需进行并不复杂的改进， 就可能提 高 "#$ 的内插精度。 . , 对 "#$ 有直接或间接影响而又无法定量描 述的社会因素也可以通过 %" 理论引入计算中， 由 此可以提高 "#$ 内插结果的精度和可靠性。 它既可以对未来进行 %" 理论的应用十分广泛， 预测， 也可以回顾系统历史行为， 比较容易反映非线 性和延期反应等用数学形式难以表述的过程， 适用 于高维、 非线性、 时变和参数不精确系统的模拟。到 目前为止， 本文的研究仍然是初步的， 我们希望通过 对 %" 理论进行进一步深入的研究， 将 %" 理论应用 于 "#$ 形成的其他领域。
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!# ! $ " $ $ # )( ) ( "# " ! $ $ # )( ) " " !! !& !. !/ !0 " ( ( " $ # # ) ) # # ) ! 视平面 （即投影平面） 在观察方向上离视点的距 离为 * + ， 形体的顶点坐标为 （ $,， ， 变换到视 *,） ’, ， ， 经透视投影到视 点坐标系下的坐标为 （ $-， *- ） ’- ， 平面上的坐标为 （ $ + ，’+ ） ， 则从视点坐标系到屏幕坐 标系的变换可用下式来表示 ［ $-， ［ $,， *-， !］ " *,， !］ " ’- ， ’, ， 其中， " ! $ ( , ( ’, !# "# ( ’- " $ )( $ , $ )( ’ , - ) * , ! " # *- " $ $ , $ ’, $ * , - ) ) ) ) 代入到视点坐标系下一点透视的变换公式 $ + 可得视平面上的坐 " $- *+ . *-， *+ " *+， ’ + " ’- * + . * - ， 标 （ $+， 。 ’+ ） $- " $ 上述透视投影变换的数学模型具有以下特点： 使得模型简化， 更加有 ! / 引入了过渡坐标系， 利于编程实现； 但其参数 & / 变换矩阵 " 有严格的推导过程， 仅有 . 个， 即视点坐标； 即可在屏幕上绘制出在不 . / 改变视点的位置， 同方位观察地形的透视图。
收稿日期：&!!&$!#$!& 基金项目： 高等学校重点实验室访问学者基金资助项目 （!&%%)） 万方数据 作者简介： 吴 迪 （%#)-$） ， 女， 山东济南人， 硕士研究生， 主要从事 5<=， >=， ?> 研究。
测 绘 通 报 &##. 年 第 4 期 &, " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 将世界坐标系的原点平移到视点， 设视点在世 。 界坐标系下的点坐标为 （ !， "， #） # # # # ! # $ ! $ " $ # ! 令平移后的新坐标轴绕 $% 轴旋转 %#& ， 则形体 上的点是顺时针转 %#& 。 !! " # ! # # # # ! # ’() %#& $ )*+ %#& # !& " " ’() %#& # # )*+ %#& # # # ! # # ! # # # $ ! # # # # ! # # # ! 在将新坐标系绕 ’% 顺时针转! 角， 此时 ! 角大 于 !,#& ， 形体顶点逆转! 角。 ’() ! " $ 令 ( " !! & - " & ! $ " # # ( ( # ! # # !. " $ ! # $ " # ( ( # # # ! 再令新坐标系绕 $% 顺时针转" 角， 形体顶点逆 转 "， ’() " " 令 ) " !! & - " & - # & ， # # # ! ( # # # ) ) !/ " ( # $ # # ) ) # # # ! 右手坐标系变成左手坐标系， * 轴反向。 ! # !0 " # # 万方数据 于是得到变换矩阵 # ! # # # # $! # # # # ! ( # ， )*+ " " ， ) ) " ! ， )*+ ! " & & ! -" ! - "& ! !
Leabharlann Baidu
! 维地形景观模拟中的透视投影变换
吴
& 迪% ， 黄文骞%， ， 王
莹%
（% + 大连舰艇学院 海洋测绘系， 辽宁 大连 %%(!%-；& + 武汉大学 测绘遥感信息 工程国家重点实验室， 湖北 武汉 "’!!)#）
"#$%&#’()*# "$+,#’()+- .$/-%0+$1/()+- )- .#$$/)- 2/-3%’/&# .4$## 5)1#-%)+-/6 7)186/()+./ 01，2/345 .67$8197，.345 :17; 摘要： 讨论透视投影变换在 ’ 维地形景观中的作用， 分析一种新的更为简化的数学模型， 并对引入过渡坐标系后的变换矩阵形式
关键词： 透视投影； 变换矩阵； ’ 维地形景观
一、 引
言
在国土 ’ 维地形景观是地表形态的真实模拟， 规划、 通讯导航以及战场环境仿真等领域有着重要 应用。测绘及相关技术的飞速发展使我们可以及时 获取信息丰富、 现势性强的地面影像纹理数据和数 字高程模型数据， 为重构 ’ 维地形提供了丰富而可 靠的数据来源。而计算机图形学及其相关技术一直 是 ’ 维地形显示的重要技术支撑。对已知地形数据 进行 ’ 维显示， 一般要先经过透视投影变换、 消隐处 理、 颜色与光照处理、 纹理映射 " 个步骤。其中透视 投影变换是计算机图形学中真实感图形生成算法的 重要组成部分。为了使显示的物体能以合适的位 置、 大小和方向显示出来， 必须通过投影。因为 ’ 维 模型是在世界坐标系中建立的， 而计算机屏幕所显 示的图形是在给定视点和视线方向下的 & 维屏幕上 进行， 所以透视投影变换是联系空间 ’ 维地形与屏 幕 & 维图形的桥梁。
测 绘 通 报 &!!’ 年 第 ( 期 &) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 文章编号： （&!!’） !"#"$!#%% !($!!&)$!& 中图分类号： *&&( + ’ 文献标识码： ,
三、 应
用
应用以上透视投影变换的数学模型， 建立了海 域地形 . 维模拟显示系统。本系统用于构造海域 . 维地形景观的数据包括 123 数据和纹理数据。 . 维地形景观在屏幕上的具体实现过程包括： 数据准 备及预处理， 基本参数设置， 地形模型构造， 透视投 影变换， 视屏变换。根据需要可对经过透视投影变 换的地形模型进行纹理映射。本系统采用根据原始 地形数据生成相应纹理的方法。
!%"! * + , -./ 0， !()! * + , --’ 0， !%"’ * ! , 12/ 0， !()’ * ! , 12/ 0， !%"& * ’ , &/1 0， !()& * ’ , &/’ 0
从上述计算结果和图 !、 图 ’ 可以发现： %" 方 法与双线性内插方法在精度上基本上相同， 其中， 隔 ! 点 内 插 法，%" 方 法 比 双 线 性 内 插 方 法 提 高 精度相同； 隔 & 点内插法， + , ++1 0；隔 ’ 点内插法， 双线性内插方法比 %" 方法精度高 + , ++’ 0。总体 说明本文提 而言， ’ 种方法精度属于同一个数量级， 出的基于系统动力学理论的 "#$ 内插的方法是准 确和实用的。利用 %" 方法所具备的独特的预测功 能， 可以用已有的高程数据外推预测其他高程数据， 这是其他的内插方法所不具备的。在本实验中， 利 用由 %"! ， %"’ ， %"& 方法分别外推预测高程点均方 差 （仅外推点高程参与计算） 分别为
图% 透视投影变换视景体
建立地面点 （ 0HI 结点） 与 ’ 维图像点间的透 视关系， 文献 ［ %］ 中给出了由视点、 视角、 ’ 维图形大 小等参数的数学模型。下面， 通过引入过渡坐标系， 推导一种更为简单明了的透视投影变换矩阵， 实现 快速的对 0HI 数据进行 ’ 维显示。 ’ 维地形显示采用的投影一般为简单的一点透 ［&］ ， 由于在一点透视投影变换中， 投影平面 视投影 取成坐标系中的一个坐标平面， 因此用一个坐标系 即可表示透视投影变换。在透视投影中往往要求物 体不动， 让视点在以形体为中心的球面上变化来观 察形体各个方向上的形象， 解决的办法是引入一个 过渡坐标系， 即视点坐标系。视点坐标系是 ’ 维直 角坐标系， 与一般物体所在的世界坐标系不同， 它是 以人眼为坐标原点， 坐标轴遵循左手法则。引入了 视点坐标系后， 透视投影变换可看做是两个基本变 换， 即世界坐标系到视点坐标系的变换和视点坐标 系到屏幕坐标系的变换。 世界坐标系到视点坐标系的变换矩阵的推导过 程有如下 J 步。
二、 透视投影变换的数学模型
透视投影 （ *6@AB6CD1E6 *@FG6CD1F7） 类似于人对客 观世界的观察方式， 它的特点是距离视点近的物体 比较大， 而距离远的物体相对比较小， 这种投影方式 的视景空间可以被认为是一个棱台 （如图 %） 。它广 泛应用于 ’ 维地形模拟、 飞行穿越仿真、 步行穿越仿 真等模拟人眼视觉效果的研究领域。
四、 结束语
透视投影变换在 . 维地形显示中有着重要的应 用， 研究其变换矩阵形式是极为必要的。本文从理 论和实践上对提出的引入过渡坐标系后的透视投影 变换矩阵的简化形式进行了验证， 并总结出其 . 大 （下转第 ./ 页）
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收稿日期：&!!&$!#$!& 基金项目： 高等学校重点实验室访问学者基金资助项目 （!&%%)） 万方数据 作者简介： 吴 迪 （%#)-$） ， 女， 山东济南人， 硕士研究生， 主要从事 5<=， >=， ?> 研究。
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