高二全称量词练习题

高二全称量词练习题
一、选择题
1．下列语句不是命题的是()
A．3是15的约数B．3小于2
C．0不是自然数D．正数大于负数吗？
【解析】选项D是疑问句，没有对正数与负数的大小关系作出判断，故选D．
【答案】 D
2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是() A．命题p是真命题
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B.
【答案】 B
3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】此命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.
【答案】 D
4．假设坐标平面上一非空集合S内的点(x，y)，具有以下性质：“若x＞0，则y＞0”，试问下列哪个叙述对S内的点(x，y)必定成立()
A．若x≤0，则y≤0 B．若y≤0，则x≤0
C．若y＞0，则x＞0 D．若y＞0，则x≤0
【解析】若x＞0，则y＞0⇔若y≤0，则x≤0，故选B. 【答案】 B
5．有下列四个命题，其中真命题是()
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的否命题；
③“面积相等的三角形全等”的否命题；
④“若x≠π
4＋2kπ(k∈Z)，则tan x≠1”的逆否命题．
A．①②B．②③
C．①③D．③④
【解析】①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；
②否命题为“若a＋b＜2，则a，b都小于1”，假命题；
③否命题为“面积不相等的三角形不全等”，真命题；
④逆否命题为“若tan x＝1，则x＝π
4＋2kπ(k∈Z)”，假命题．
【答案】 C
二、填空题
6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．
【解析】根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．
【答案】否
7．在命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为________．
【解析】当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，故原命题为假，所以它的逆否命题为假；当a＝－2，b＝1时，a＜b，故原命题的逆命题为假，所以原命题的否命题为假，故假命题的个数为3.
【答案】 3
8．命题“负数的平方是正数”的否命题是________．
【解析】负数的否定是非负数，是正数的否定是不是正数，故命题的否定是：非负数的平方不是正数．
【答案】非负数的平方不是正数
三、解答题
9．将下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称；
【解】(1)若一个数是偶数，则它能被2整除；
(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
【解】(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它是成立的，可用反证法证明：
假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)与条件矛盾，逆命题真．
(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可用证明原命题为真来证明：
由a＋b≥0，得a≥－b，b≥－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
∴逆否命题为真．
11．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
【解】显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看．
由命题A为真可知，b不是最大时，则a是最小，∴c最大，即c＞b＞a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，即b＞a＞c.
同理由命题B为真可得：a＞c＞b或b＞a＞c.
故由A与B均为真可知b＞a＞c.
∴a，b，c三人的年龄的大小顺序是：b最大，a次之，c最小.
一、选择题
1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当a＝1时，N＝{1}⊆M；但当N⊆M时，推不出a＝1，比如a ＝ 2.故选A.
【答案】 A
2．“sin A＞cos B”是△ABC为锐角三角形的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当A＝120°，B＝45°时，△ABC为钝角三角形；当△ABC是锐角三角形时，A＋B＞90°，A＞90°－B，又0°<A,90°－B<90°，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B.
【答案】 B
3．已知p：lg x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是()
A．0＜x＜1 B．－1＜x＜1
C.1
2＜x＜
2
3D．
1
2＜x＜2
【解析】由x2lg x＜0，得0＜x＜1.设p的一个必要不充分条件为q，则
p⇒q，但q p.故选B.
【答案】 B
4．(2012·天津高考)设x∈R，则“x＞1
2”是“2x
2＋x－1＞0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【解析】不等式2x2＋x－1＞0的解集为x＞1
2或x＜－1，所以“x＞
1
2”是
“2x2＋x－1＞0”成立的充分不必要条件，选A.
【答案】 A
5．(2013·江浙高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )
是奇函数”是“φ＝π2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2
＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；
若φ＝π2，则f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函
数是φ＝π2的必要不充分条件．
【答案】 B
二、填空题
6．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________________．
【解析】 对a 分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．
【答案】 ⎩⎨⎧ a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎨⎧
a ＝
b ＝0
c ＞0
7．在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：
(1)“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数”的________；
(2)“sin α＞sin β”是“α＞β”的________；
(3)“x ∈M ∩N ”是“x ∈M ∪N ”的________；
(4)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的________．
【解析】 利用定义求解．
【答案】 (1)充要条件(2)既不充分也不必要(3)充分不必要(4)必要不充分
8．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________．
①p是q的充分条件；
②p是q的必要条件；
③q是p的充分条件；
④q是p的必要条件．
【解析】由充分条件与必要条件的定义知，①④正确．【答案】①④
三、解答题
9．已知：p：x＞1，q：1
x＜1，试判断p是q的什么条件？
【解】由1
x＜1，得
1－x
x＜0，
∴x(x－1)＞0，∴x＞1或x＜0.
∴{x|x＞1}{x|1
x＜1}，
∴p是q的充分不必要条件．
10．已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，试问：(1)s是q的什么条件；(2)r是q的什么条件；(3)p是q的什么条件．
【解】p、q、r、s的关系可以用右图表示：
(1)∵s⇒r，r⇒q，
∴s⇒q，又q⇒s，
∴s是q的充要条件．
(2)∵q⇒s，s⇒r，
∴q⇒r，又r⇒q，
∴r是q的充要条件．
(3)∵q⇒s，s⇒r，r⇒p
∴q⇒p，
∴p是q的必要条件．
一、选择题
1．(2012·湖北高考)命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是()
A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q
B．∃x0∈∁R Q，x30∉Q
C．∀x∉∁R Q，x3∈Q
D．∀x∈∁R Q，x3∉Q
【解析】根据对命题的否定知，是把量词取否定，然后把结论否定，因此选D．
【答案】 D
2．下列命题中真命题是()
A．存在x∈Z，使1＜4x＜3
B．存在x∈Z，使2x－1＝0
C．对任意x∈R,2x＞x2
D．对任意x∈R，x2＋1＞0
【解析】当x∈R时，x2≥0，∴x2＋1≥1＞0.
【答案】 D
3．命题p：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则()
A．p是假命题，p的否定：存在x0∈[0，＋∞)，使(log32)x0＞1
B．p是假命题，p的否定：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1
C．p是真命题，p的否定：存在x0∈[0，＋∞)，使(log32)x0＞1
D．p是真命题，p的否定：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1
【解析】0＜log32＜1，∴y＝(log32)x在[0，＋∞)上单调递减，0＜y≤1，∴p是真命题；“对任意”的否定为“存在”，“≤”的否定为“＞”，故选C.
【答案】 C
4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】改变量词并否定判断词．
【答案】 D
5．非空集合A 、B 满足A B ，下面四个命题中正确的个数是( )
①对任意x ∈A ，都有x ∈B ；②存在x ∉A ，使x ∈B ；
③存在x ∉B ，使x ∈A ；④对任意x ∉B ，都有x ∉A .
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 根据A B 知，①②④正确，③错误．
【答案】 C
二、填空题
6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．
【解析】 改变量词并否定判断词．
【答案】 存在向量a ，使零向量与向量a 不共线
7．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 当a ＝0时，x ＜0，不合题意．
当a ≠0时，⎩⎨⎧
a ＜Δ＝4－4a 2＜0
，解得a ＜－1. 综上得，a ＜－1.
【答案】 (－∞，－1)
8．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当a ≤0时，取x 0＝－1，得ax 20＋2x 0＋a ＝2a －2≤－2＜0. 当a ＞0时，Δ＝4－4a 2＞0，即0＜a ＜1.
综上得，a ＜1.
【答案】 (－∞，1)
三、解答题
9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)所有的实数a 、b ，关于x 的方程ax ＋b ＝0恰有惟一解．
(2)存在实数x 0，使得1x 20－2x 0＋3＝34
. 【解】 (1)该命题是全称命题．
当a ＝0，b ≠0时方程无解，故该命题为假命题．
(2)该命题是特称命题．
∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，
∴1x 2－2x ＋3≤12＜34
. 故该命题是假命题．
10．写出下列各命题的否定，并判断其真假．
(1)不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根．
(2)存在一个实数x 0，使(12
)x 0＞1. 【解】 (1)命题的否定：存在一个实数m 0，使方程x 2＋m 0x －1＝0无实根．假命题．
(2)命题的否定：对任意实数x ，(12)x ≤1.假命题．
11．已知对任意x ∈(－∞，1]，不等式(a －a 2)4x ＋2x ＋1＞0恒成立．求a 的取值范围．
【解】 令2x ＝t ，∵x ∈(－∞，1]，∴t ∈(0,2]，∴a 2－a ＜t ＋1t 2.
要使上式在t ∈(0,2]上恒成立，
只需求出f (t )＝t ＋1t 2在t ∈(0,2]上的最小值即可．
∵f (t )＝t ＋1t 2＝(1t )2＋1t ＝(1t ＋12)2－14，
且1t ∈[12，＋∞)，∴f (t )min ＝f (2)＝34.
∴a 2－a ＜34.
∴－12＜a ＜32.
所以a 的取值范围是(－12，32).
一、选择题
1．已知原命题是“若r ，则p 或q ”，则这一命题的否命题是( )
A ．若綈r ，则p 且q
B ．若綈r ，则綈p 或綈q
C ．若綈r ，则綈p 且綈q
D ．若綈r ，则綈p 且q
【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”．根据否命题的定义知：选项C 正确．
【答案】 C
2．(2013·湖北八校联考)若p 是真命题，q 是假命题，则( )
A ．p 或q 是假命题
B ．p 且綈q 是假命题
C ．綈p 或綈q 是真命题
D ．綈p 且q 是真命题
【解析】 由真值表知：选项C 正确．
【答案】 C
3．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A ．(綈p )∨(綈q )
B ．p ∨(綈q )
C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨q
【解析】 依题意得綈p ：甲没有降落在指定范围，綈q ：乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．
【答案】 A
4．如果命题“綈(p 或q )”是假命题，则下列命题中正确的是( )
A ．p 、q 均为真命题
B ．p 、q 中至少有一个为真命题
C ．p 、q 均为假命题
D ．p 、q 中至多有一个为真命题
【解析】 由“綈(p 或q )”是假命题，知：命题“p 或q ”为真，所以p 、q 中至少有一个为真命题．
【答案】 B
5．已知命题p ：存在x 0∈(0，π2)，使sin x 0＋cos x 0＜1，命题q ：对任意x ∈
(－∞，0)，2x ＞3x .则下列命题为真的是( )
A ．p 且q
B ．p 或(綈q )
C ．p 且(綈q )
D ．(綈p )且q
【解析】 p 假，q 真，由真值表，易知(綈p )且q 为真．故应选D ．
【答案】 D
二、填空题
6．分别用“p且q”“p或q”“非p”填空
(1)命题“2既是偶数又是质数”是________的形式．
(2)命题“±1是方程x2－1＝0的解”是________的形式．
(3)命题“－1≠1”是________的形式．
【解析】用含逻辑联结词的定义求解．
【答案】p且q p或q非p
7．已知命题p：若x＞y，则x2＞y2，命题q：若x＞y，则x3＞y3.给出下列命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.
其中真命题是________．
【解析】命题p是假命题，命题q是真命题，由真值表可知②③为真命题．【答案】②③
8．已知命题p：对任意x＞1，x＋
1
x－1
≥a，若綈p是真命题，则实数a的
取值范围是________．
【解析】由题意，存在x＞1，使x＋
1
x－1
＜a，
又∵x＋
1
x－1
＝(x－1)＋
1
x－1
＋1≥2 (x－1)·
1
x－1
＋1＝3，∴a＞3.
【答案】(3，＋∞)
三、解答题
9．写出下列各命题的否定．
(1)平行四边形中至少有一组对边平行；
(2)若A∪B＝B，则A⊆B；
(3)若x2－x－2≠0，则x≠－1且x≠2；
(4)若a＜1，则方程x2－2x＋a＝0至多有一解．
【解】(1)命题的否定：平行四边形的两组对边都不平行；
(2)命题的否定：若A∪B＝B，则A B；
(3)命题的否定：若x2－x－2≠0，则x＝－1或x＝2；
(4)命题的否定：若a＜1，则方程x2－2x＋a＝0有两个不等的实数解．
10．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，且“p(1)且p(2)”是假命题，“綈p(2)”是假命题，求实数m的取值范围．
【解】p(1)：3－m＞0，即m＜3.
p(2)：8－m＞0，即m＜8.
由已知得：p(1)是假命题，p(2)是真命题，
∴3≤m＜8.
故m的取值范围是[3,8)
11．已知命题p：c2＜c和命题q：对任意x∈R，x2＋4cx＋1＞0恒成立，已知p或q为真，p且q为假，求实数c的取值范围．
【解】由不等式c2＜c，得0＜c＜1，
即命题p：0＜c＜1，
所以命题非p：c≤0或c≥1，
又由(4c)2－4＜0，得－1
2＜c＜
1
2，
所以命题q：－1
2＜c＜
1
2，
所以命题非q：c≤－1
2或c≥
1
2，
由题知：p和q必有一个为真，一个为假．
当p真q假时，1
2≤c＜1；当q真p假时，－
1
2＜c≤0，
故c的取值范围是(－1
2，0]∪[
1
2，1).。