2016年浙江省数学高考模拟精彩题选—三角函数含答案

2016浙江精彩题选——三角函数

1.（2016宁波十校16）．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =- 与向量(cos ,cos )n C B = 共线.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若10,5b c a c ==<，，且2AD DC = ，求BD 的长度.

解：（Ⅰ）(45,5)m a c b =- 与(cos ,cos )n C B = 共线，

54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A C b B B --∴==4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B

∴+=4sin()4sin 5sin cos B C A A B

∴+== 在三角形ABC △中，sin 0A ≠4cos 5B ∴=……………………………………………………7分（Ⅱ）10,5b c a c ==<，且4cos B =2222cos a c ac B b ∴+-=即242525105

a a ∴+-⋅⋅=解得35a a ==或（舍）……………………………………………9分

2AD DC = 1233

BD BA BC ∴=+ 22222141214122c 2cos 99339933

BD BA BC BA BC a a c B ∴=++⋅⋅∙=++⋅⋅⋅⋅ 将3a =和5c =代入得：21099

BD = 109=3

BD ∴……………………………………………14分2.（2016嘉兴二模16）（本题满分14分）

在△ABC 中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-．（Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．

解：（Ⅰ）2

22

2222222)8(b a ac

b c a ac bc a c b bc -=-+⋅+-+⋅-

2

22

222222222

282b a b c a bc a c b a c b -=-++-+⋅--+08222222=-+⋅--+a c b a c b ，∵△ABC 不是直角三角形，∴0

4=-bc 故4=bc ，又∵5=+c b ，解得⎩⎨⎧==41c b 或⎩⎨⎧==1

4c b （Ⅱ）∵5=a ，由余弦定理可得

A A bc bc A bc c b cos 88cos 22cos 2522-=-≥-+=，所以83cos ≥A ，所以855sin ≤A ，所以4

55sin 21≤=∆A bc S ABC ．所以△ABC 面积的最大值是4

55，当83cos =A 时取到．3.（2016衢州二模16）（本题满分14

分）已知

2()cos cos f x x x x =⋅+.

（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()1f C =，求222

a b c ab

++的取值范围.解：

（I）2()cos cos f x x x x

=⋅+∴()2sin(2)6f x x π=+Q 222262k x k πππππ-≤+≤+∴36

k x k ππππ-≤≤+∴函数()f x 的单调递增区间,,36Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦（II）Q ()1f C =∴()2sin(216f C C π=+=∴2266C k πππ+=+或52266

C k πππ+=+k ∈Z ∴3C π=

由余弦定理得：222c a b ab

=+-∴222222()12()1a b c a b b a ab ab a b +++=-=+-Q △ABC 为锐角三角形∴022032{A A πππ<<

<

<∴62,A ππ<<

由正弦定理得：2sin()sin 113,2sin sin 2tan 22A b B a A A A π-⎛⎫===+∈ ⎪⎝⎭