平新乔-微观十八讲答案

第七讲
18%9.一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品.每个工厂生产相同的产品且每个
工厂的生产函数都是q=(K i L i) 1/2（i=1,2）,但是K1=25，K2=100，K 与L的租金价格由w=r=1元给出。

（1）如果该企业家试图最小化短期生产总成本，产出应如何分配。

（5%）
min{STC}= min{125+L1 +L2}
S.T 5 L11/2+10L21/2≥Q
L(L1 ,L2)=125+ L1 +L2+λ[ Q-(5 L11/2+10L21/2 )]
F.O.C(一阶条件) :1=5/2*λ* L1-1/2
1=10/2*λ* L2-1/2
将两式相除得L2=4 L1再代入5 L11/2+10L21/2=Q得q1=5* L11/2=1/5Q ，q2=10* L21/2=4/5Q
（2）给定最优分配，计算短期总成本、平均成本、边际成本曲线。

产量为100、125、200时的边际成本是多少？（5%）
STC(Q)=125+5* L1=125+Q2/125
SAC(Q)=125/Q+Q/125
SMC(Q)=2/125*Q SMC(Q=100)=1.6, SMC(Q=125)=2, SMC(Q=200)=3.2
（3）长期应如何分配？计算长期总成本、平均成本、边际成本。

（5%）
min{LTC}= min{ K1+ K2+L1 +L2}
S.T (K1 L1) 1/2 +(K2 L2) 1/2≥Q
L(L1 ,L2,K1,K2)= K1+ K2+ L1 +L2+λ[ Q-(K1 L1) 1/2 -(K2 L2) 1/2 )]
F.O.C 1=1/2*λ*(K1/ L1 ) 1/2
1=1/2*λ*(K2/ L2 ) 1/2
1=1/2*λ*(L1/ K1 ) 1/2
1=1/2*λ*(L2/ K2 ) 1/2
从而有K1/ L1 =K2/ L2，K1=L1，K2= L2
所以L1+L2=Q,分配比例任意
LC(Q)=2(L1+L2)=2Q LAC=2 LMC=2
（4）如果两个厂商呈现规模报酬递减，则第三问会有什么变化？（3%）
如果两个厂商呈现规模报酬递减则长期总成本、平均成本、边际成本均是产量的增函数。

在规模报酬递减时利润最大化等价于成本最小化，所以有MR1= MR2=MR=MC1=MC2
因为MC1 与MC2是产量q1与q2的增函数，所以必有q1 =q2
10%17. 证明
第八讲
10%3.如果某行业典型企业的πj (p,k * )=1/16*P 2 k * - k * (k * 为资本规模)，市场需求为Q=294/P
（1）求典型企业的供给函数q j（3%）
由霍太林引理知q j =∂πj (p,k * )/∂P=1/8*P k *
注：本题中的利润函数时短期利润函数，长期利润函数仅是价格的函数，与资本规模无关。

（2）求长期均衡价（3%）
由完全竞争长期均衡的两个均衡条件之一：长期利润为零，知道πj (p,k * )=1/16*P 2 k * - k *=0，解得P=4 （3）求证k * 与J成反方向关系（4%）
由完全竞争长期均衡的两个均衡条件之一：总供给等于总需求，得294/P=J*q j=1/8*P k *,又P=4，所以J=147/ k * ,即证明了k * 与J成反方向关系
2 1
4%（1）现在考虑实施两部收费制且可在两地区区别定价，求A1,A2, P1 , P2.
要使两个市场的初装费与话费之和均达到最大，即1/2*（a- P1 ）2+( P1 –c)* Q1 +1/2*（b- P2）2+( P2–c)* Q2 (P1, P2 ≥c)最大，解得P1 = P2 =c, A1 =1/2*(a-c) 2 , A2 =1/2*(b-c) 2
5%(2)若不能实施地区差别定价，求A,P
本题中国电信面临两种营销战略：两地同时经营与放弃石家庄市场集中北京市场（放弃北京市场当然非明智之举，因为北京市场是大市场）。

两地经营：max{2A+(P-c)( Q1 + Q2 )}
s.t 1/2*(a-P) 2 ≥A , a>P, Q1=a-P1 , Q2=b-P2
L(A,P)=2A+(P-c)(a+b-2P)+λ 1 [1/2*(a-P) 2 -A] +λ 2 (a-P)
F.O.C（一阶条件）∂L/∂A=2-λ 1 =0 ∴λ 1 =2 （1）
∂L/∂P= a+b-2P-2*(P-c)- λ 1 (a-P)- λ 2 =0 (2)
S.O.C (松弛条件) λ 1 ≥0，1/2*(a-P) 2 ≥A，λ 1 *[1/2*(a-P) 2 -A]=０（1）
λ 2 ≥0 a>P, λ 2 (a-P)=0 （2）
因为λ 1 =2，由松弛条件（1）得1/2*(a-P) 2 =A
又a>P，由松弛条件（2）得λ 2 =0
所以将1/2*(a-P) 2 =A，λ 2 =0代入一阶条件（2）得P=c+(b-a)/2 ,A=1/8*(3a-2c-b) 2
π=1/4*(3a-2c-b) 2 +(b-a)(a-c)
检验松弛条件，发现要使a>P，必须c+(b-a)/2<a,即3a>2c+b;若3a≤2c+b则无内点解，角点解在P=a取得，也可说当P→a时，A→0,π→（a-c）(b-a)。

一地经营：由第一小题易得P=c,A=1/2*(b-c) 2 , π，=1/2*(b-c) 2
最后只需比较两种战略下，谁的利润大就可以了。

当3a≤2c+b时，π，=1/2*(b-c) 2>（a-c）(b-a)= π,(注：π，-π=1/2*(b-a) 2 +1/2*(c-a) 2>0)
当3a>2c+b时情况较复杂
1）若π，≥π即5a2 -b2 +2c2 -8ac-2ab+4ac≤0时P=c,A=1/2*(b-c) 2；
2) 若π，≤π即5a2 -b2 +2c2 -8ac-2ab+4ac≥0时, P=c+(b-a)/2 ,A=1/8*(3a-2c-b) 2
4% (3) 若A=0，且P1 与P2 可不同，求P1 ，P2 ，Q1 ，Q2
该问题等价于在两个市场上各有一个垄断厂商，只要根据MR=MC解就可以了。

MR1 =a-2 Q1=c=MC 1 ∴ Q1=1/2*(a-c),P1=1/2*(a+c)
MR2 =b-2 Q2=c=MC 2 ∴ Q2=1/2*(b-c),P2=1/2*(b+c)
5% (4) 若A=0，但是P1 =P2求P与Q
这里同样也有一个地区经营策略选择的问题。

两地经营：max{(P-c)( Q1 + Q2 )}
s.t Q1=a-P1 , Q2=b-P2, a>P
解得当3a>2c+b 时P=1/4*(a+b+2c),Q=1/2*(a+b-2c), Q1=1/4*(3a-2c-b), Q2=1/4*(3b-2c-a)，
π=1/8*（a+b-2c）(a+b+2c)
当3a≤2c+b时无内点解，角点解在P=a取得，也可说当P→a时，π→（a-c）(b-a)
一地经营：由第三问知P=1/2*(b+c),Q=1/2*(b-c),π，=1/4*（b-c）2
最后只需比较两种战略下，谁的利润大就可以了。

当3a≤2c+b时，π，=1/4*(b-c) 2>（a-c）(b-a)= π,(注：π，-π=1/4*(b+c-2a) 2 >0)
∴ P=1/2*(b+c),Q=1/2*(b-c);
当3a>2c+b时情况较复杂
1)若π，≥π即a2 -b2 -6c2 +4bc+2ab≤0时,=1/2*(b+c),Q=1/2*(b-c)；
2)若π，≤π即a2 -b2 -6c2 +4bc+2ab≥0时, P=1/4*(a+b+2c),Q=1/2*(a+b-2c)
24%13.一个歧视性垄断厂商在两个市场上销售，假设不存在套利机会，市场1的需求曲线为P1=100-1/2*q1，市场2的需求曲线为P2=100-q2，垄断厂商的总产量用Q= q1+ q2表示，成本函数依赖于TC(Q)=Q2
(1)垄断厂商的利润函数（5%）
严格意义上来说垄断厂商没有利润函数，因为给定需求函数与成本函数，最大化的利润值就可求出来，换句话说垄断厂商由于可以操纵价格利润不再像完全竞争厂商那样表现为外生给定的某一个价格水平，这里恐怕要求的是垄断厂商的利润表达式以便第二三问的求解。

π=π1+π2= P1（q1）*q1 +P2（q2）*q2 -TC(q1+ q2)=（100-1/2*q1）*q1+（100-q2）*q2 -(q1+ q2) 2 =100 q1+100 q2-3/2*q12-2*q22-2* q1*q2
（2）计算垄断厂商分别在两个市场上的利润最大化销售量。

（6%）
对第一问中的利润表达式求q1与q2的偏导得到：
100-3 q1 -2q2=0与100-4 q2 -2q1=0,解得q1=25，q2=12.5，P1= P2=87.5
（3）计算歧视性垄断的利润水平。

(3%)
π=87.5*(25+12.5)-37.5 2=1875
（4）假设有一新的管理者接管这一企业，他决定将这一工厂分成两个工厂。

工厂1的产品只在市场1销售，工厂2的产品只在市场2销售。

分别计算两个工厂的利润最大化的产出水平。

（3%）
这里相当于每个市场都有一个垄断厂商，要注意的是成本函数中相对应的产量现在变为分厂的产量，而不是总产量
市场1：由MR1= MC1得100- q1=2 q1
市场2：由MR2= MC2得100- 2q2=2 q2
所以q1=100/3，q2=25
（5）计算两个工厂的利润之合。

（3%）
π=π1+π2=100/3*500/5+25*75-25*25-100/3*100/3≈2917
（6）将一个工厂分成两个是增加还是减少了利润？利用规模报酬递增或递减理论来解释你对上述问题的回答。

（3%）
显然分成两个工厂来生产利润增加了，又因为C(q1+ q2 )= (q1+ q2 ) 2> C(q1)+ C( q2 )= q12 +q2 2
所以是成本的非次可加性，即规模报酬递减，说明将同样的产量分成几个工厂来生产比单独一个工厂来生产成本要小，在价格不变的情况下，显然前者利润要高，即小规模生产更有效率。

10%16考虑一个完全竞争的小麦市场。

单个的小麦生产者都具有U型的长期平均成本曲线，并且在产量为1000蒲式耳时达到最低平均成本，每蒲式耳3美元
（1）如果对小麦的需求曲线为Q D=2600000-200000P,求在长期均衡时小麦的P, Q D,及小麦市场的生产者个数（J）(3%)
由长期竞争均衡的特性知道均衡价格等于边际成本等于平均成本，即价格等于最低的平均成本3美元，Q D=2600000-200000*3=2*10 6, J= Q S/q j= Q D/q j=2*10 6/10 3=2000
(2)如果需求向外移动至Q D=3200000-200000P,短期内小麦生产者不能调整产出，那么此时的市场价
格时多少？典型厂商的利润又是多少？新的长期均衡结果怎样？（求P,Q,J）(7%)
短期：Q D= Q S=2*10 6=3200000-200000P所以P=6, π=(6-3)*1000=3000
长期：价格仍为3美元，Q D= Q S=2*10 6=3200000-200000P=2.6*10 6 ,J= Q S/q j= Q D/q j=2.6*10 6/10 3=2600
第九讲作业答案
4 (1)
TC
果园 1 2 3 4
产量1 25 28 19 26
产量2 40 37 31 44
产量3 65 52 51 74
产量4 100 73 79 116
产量5 145 100 115 170
AC
果园 1 2 3 4
产量1 25 28 19 26
产量2 20 37/2 31/2 22
产量3 65/3 52/3 51/3 74/3
产量4 25 73/4 79/4 29
产量5 29 20 23 34
MC
果园 1 2 3 4
产量1 5 3 4 6
产量2 15 9 12 18
产量3 25 15 20 30
产量4 35 21 28 42
产量5 45 27 36 54
(2) 产品应交给边际成本最低的果园来生产。

由MC 表可看出： q1=2; q2=3; q3=3; q4=2. (3)
10 解：
16 （1）
（2）
（3） 如果允许竞争，价格短期内可能会下降，但因为是自然垄断，长期将会排挤出竞争者。

18 （1）错。

均衡条件：市场供求相等；每个企业都达到利润最大化。

（2）错。

现实中的寡头市场不一定满足Bertrand 均衡的条件。

如解释：Edgeworth 解；博弈时序解；产品差异解。

（3）对。

（4）错。

只要存在超额利润，就会有新的厂商加入，使长期均衡中超额利润消失。

有欺诈冲动。

果园而此时只有2,
2521)4(,252∴<==MC p 400
202702020205.0902090
203
/38040320 (4200)
270405.102.021500...270205.0)02
.0150(max 2
322
2
101
12
3101
1=⨯-⨯+⨯-⨯======∴>⇒<+--⇒<==⇒=-+---⇒=-+---=∑∑
≠=≠=i k i k i k k k k
i k k k k
i i i k k
k
k k k i k
i i k k p p q q q q dq d c o s q q q q q q dq d c o f q q q q q q πππππ
或自然垄断成本次可加递减⇒⇒∴-=MC Q MC 20
1.050
6
.3340)201.0ln(5004501111
50
1000250(4500)
201.0(5
25
1)
201.0ln(50050120450,250045025070025120501205010002
22
2
212
2
≈--⨯==-=
==⇒<-+
-
=∴---=-===⇒=⨯+-⇒=-=∴-=⨯-=Q Q
p Q Q Q dQ
d Q Q Q TC TR Q Q Q Q MC MR Q MR Q Q Q Q TR πππ舍去）
由令 应满足。

要条件，任何情况下都是厂商利润最大化的必得：由MC MR MC
MR c o f TC TR =∴=-=...,π
第十讲作业答案
3 （1）
为零和博弈，无纳什均衡。

（2）Smith 选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时，John 选1的效用为：
John 选2的效用为：
John 选3的效用为：
同理：John 选（1/3，1/3，1/3）的混合概率时，Smith 选1的效用为：
Smith 选2的效用为
Smith 选3的效用为
10 (1) 两个纳什均衡：（U ，L ，A ）与（D ，R ，B ）。

(2) 若1，2结盟：
John
1 2 3
1 2 3
Smith
3
1131131)3(3
11-
=⨯+
⨯+
-⨯=
U 3
1131)3(3
11312-
=⨯+
-⨯+
⨯=
U 3
1)3(3
11311313-
=-⨯+
⨯+
⨯=
U 3
1)1(3
1)1(3
133
1'
1=
-⨯+
-⨯+
⨯=
U 31)1(3
1331)1(31'
2=
-⨯+
⨯+
-⨯=
U 3
133
1)1(3
1)1(3
1'
3=
⨯+
-⨯+
-⨯=
U .
31
':,31
:,))3
1
,31,31(),31,31,31((
,'
3
'2'
1321=-
=∴====U Smith U John U U U U U U 策略值分别为是纳什均衡 3
A B
纳什均衡为（DR ，B ）。

若1，3结盟：
纳什均衡为（UA ，L ）和（DB ，R ）。

2，3结盟收益矩阵同1，3结盟，纳什均衡为(U ，LA)，(D ，RB)。

所以，在（U ，L ，A ）中，1，2有结盟动机。

12 （1）对。

占优解必为纳什均衡。

（2）错。

（坦白，坦白）为占优解，在他相信对方抵赖时，坦白会使自己效用提高。

（3）错。

混合策略指的是概率。

第十一讲
（1）策略型表示：
B 厂商
(开发，不开发) (开发，开发) (不开发，不开发) (不开发，开发)
开发
A 厂商
不开发
( 2 )纯策略纳什均衡（NE ）为{开发，(不开发，不开发)} ，{开发，(不开发，开发)}，{不开发，(开发，开发)}
（3）但SPNE 只有一个即{开发，(不开发，开发)}，可以用反向归纳法求得。

要注意的是求NE 指的是求出局中人的策略组合，而非最后的得益结果，又因为B 厂商有两个决策节，故而它的策略要分别讨论在每个决策节上的行动。

UL UR DL DR
1,2
2
L R
UA UB DA DB
1,3
( 1）策略型表示：
进入者
进入 不进入
P=
1000
在位者
P=
600
NE 是{ P=1000，进入}
（2）扩大生产能力后
进入者
进入 不进入
P=
1000
在位者
P=
600
NE 是{ P=1000，进入}，可见在位者不仅不能制止进入，反而使自身的利润降低
（注意：本题计算在位者的收益是没有减去他已经支付的固定成本的结果，因为滞留成本与定价决策无关，但是对进入者来说就不同了，他的收益必须是减去建厂初期的固定成本后得到的数）
(1) 策略型表示：
2
(L ’， L ’) (L ’， R ’) (R ’， L ’) (R ’， R ’)
1
R
( 2 )纯策略纳什均衡NE 为{L ，(R ’， R ’) } ， {R ，(R ’， L ’) },此题没有混合策略NE ，因
为2的(R’，L’) 弱占优于其他纯策略。

第十二讲
垄断价格为使该行业总利润最大的价格P*,由MR=MC得a-2Q=C,所以Q*=1/2*(a-c),p*=1/2*(a+c)
●如果某个企业违反行业协议将价格降低一点点，则它可以获得整个市场,π0=（p-c）*Q=1/4*(a-c)2,
但是从此后其他企业实行冷酷战略将价格降到c，(题目中说“一旦某个企业选择垄断价格，
则……”.,我怀疑这其中少了一个不字，即“一旦某个企业不选择垄断价格，则……”)换句话说，从此后所有的企业利润都为零。

该企业各期利润和即为π0
●如果该企业坚持垄断价格p*则每期获得利润1/n*1/4*(a-c)2,各期加总后总利润为
1/n*1/4*(a-c)2/1-σ
所以要使垄断价格能维持下去只有1/n*1/4*(a-c)2/1-σ≥1/4*(a-c)2，即n*(1-σ)≤1,经济含义是行业中企业个数越多则对贴现因子的要求就越高，一旦现实的贴现因子达不到这个要求则企业就有背离和约的冲动。

q*=1/n*Q*,由MR=MC得a-2Q=C,所以
Q*=1/2*(a-c),p*=1/2*(a+c)
●如果每个企业坚持额度q*则每期获得利润1/n*1/4*(a-c)2,各期加总后总利润为
1/n*1/4*(a-c)2/(1-δ)
●如果某个企业违反协议提高产量q则它有可能获得比额度下更高的利润：固定其他企业的产量
q= q*=1/2*1/n*(a-c)该企业要实现利润最大就必须使MR=MC,即a-1/2*(n-1)/n*(a-c)-2q=c,解得
q,=1/4*(a-c)*(n+1)/n> q*=1/2*1/n*(a-c) ,
π0=(p’-c)*q’=[a-1/2*(n-1)/n*(a-c )- 1/4*(a-c)*(n+1)/n-c ]*1/4*(a-c)*(n+1)/n=[(n+1)/4n*(a-c)]2,但是从此以后就再也不可能达到这样的利润了，因为其他企业实行冷酷战略，以后按古诺解生产
π1=π2=π3=π4=π5=π6=………=[(a-c)/(n+1)]2。

所以违约的总利润为π0+δπ1+δ2π2+δ3π3+………=δ/(1-δ)*[(a-c)/(n+1)]2+[(n+1)/4n*(a-c)]2
最后要使卡特尔联盟维持下去则必须有不违约的利润大于违约的利润,即
1/n*1/4*(a-c)2/(1-δ)≥δ/(1-δ)*[(a-c)/(n+1)]2+[(n+1)/4n*(a-c)]2,化简得
δ≥[(n+1)4-4n*(n+1)2]/[(n+1)4-16n2]
第十三讲
(1)
●当e≥1时，max e(2-e)推出e*=1 ●当0≤e<1时，max e(0-e)推出e*=0
所以e**=1才最优，此时
Π=10e-e2-2=10-1-2=7
(2)max
e (w-e)= max
e
(5e-0.5e2-e)
推出e*=4 Π=0.5*(10e-e2)=12
(3) max
e
(10e-e2-12.5-e) 推出e*=4.5 Π=12.5
(1)→(2) →(3)相当于给代理人的b越来越大，故而努力程度也变大。

(1)E(R)=125
(2)不能。

对于银行和企业家整体来讲，项目的期望回报率为25%，而利率也为25%，因此期望利润为0，
而还要花费监督成本和支付企业家的部分，因此肯定是不划算的。

(3)银行要得到100+10+5=115 ，所以要115/125=92% 才行。

(4)
有两个纳什均衡：（银行贷款，企业家借钱）和（银行不贷款，企业家不借钱）。

(1)代理人的问题是
max
a
E(W-C(a))
= max
a
E(s+b(a+ε)-ma2)
= max
a
(s+ba-ma2)
推出a*=b/2m
d a*/db=1/2m>0
d a*/dm=-b/am2<0
(2)问题是
max
s,b
[(1-b)a*(b)-s]┈┈┈┈┈┈┈①
s.t. max
a
[s+ba(b)-C(a)-0.5rb2σ2] ┈┈┈┈┈┈┈②
s+ba(b)-C(a)-0.5rb2σ2≥CE┈┈┈┈┈┈┈③
②的解由(1)知是a*=b/2m，而对于委托人，无论b如何选择，s必然选择可以选择的最小值，因为a的选择只与b相关，而与s无关。

因此，在满足③式的条件下，必然有
s=-ba(b)+C(a)+0.5rb2σ2+CE 是s的最优选择。

而此时问题变为
max
b
[(1-b)a*(b)-s]
= max
b
[(1-b)b/2m+b2/2m-b2/4m-0.5rb2σ2-CE]
对b求导得：
1/2m-b/2m-rbσ2=0
推出
b*=1/（1+2mrσ2）
第十四讲
U2=y2+（1.5q-p）n
E(U2)=y2+（1.5μ-p）n
当p≤1.5μ时，买主就会买。

U1=y1+（q-p）n
E(U1)=y1+（μ-p）n
当p≥μ时，卖主就会卖。

而当q服从[0，2]上均匀分布时，μ=1。

只要1≤p≤1.5时，就有市场均衡，无逆向选择。

期末考试注意事项：
（1）时间为1月6日下午2：00到4：00，地点为三教201、203、205、301、303，考试座位安排按当天教室门上的通知。

（2）考试章节为第一讲到十四讲，重点在期中考以后。

题型为判断说明题，计算题，证明题。

（3）复习范围是课本、笔记、作业。

建议大家以课本为主，笔记为辅，作业为补。

要及格起码要把这三项看一至两遍，得高分最保险的办法是把课后习题都做一遍，然后把这三项看三至四
遍。

一定要灵活掌握各个定理与性质的详细表述。

（4）答疑时间为1月5日上午9：00到12：00，下午2:00到5:00,地点为平老师办公室（503）。

（5）大家千万要好好复习啊！
（6）祝大家好运！。