随机信号分析基础图文 (5)

第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-2 线性时不变系统输入输出示意图
第五章 随机信号通过线性系统分析
5.1.2
根据线性系统理论， 可以用许多方法来描述一个线性 时不变系统。 对于连续时间系统， 主要的描述方法有：
（1） 输入输出关系法， 即用单位冲激响应h(t)或传递 函数H(ω)来描述；
（2） 常微分方程法； （3） 状态变量法。
输入输出联合平稳。
输入信号与输出信号的相关函数之间的关系， 其归纳
的子功能方框图， 如图5-7所示。
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-7 随机信号通过线性时不变系统相关函数示意图
第五章 随机信号通过线性系统分析
例5.2 已知理想白噪声N(t)的自相关函数RN(τ)=N0／2 δ(τ)， 若N(t)通过一个冲激响应为h(t)的线性函数。 求系统 冲激响应与互相关函数RNY(τ)的关系。
第五章 随机信号通过线性系统分析
2.
一个线性时不变系统， 可以完整地由它的冲激响应来
表征。 冲激响应是一种瞬时特性， 通过系统输出y(t)的傅里
叶变换， 可以导出其频域的相应特性。
如果x(t)和h(t)绝对可积， 即
x t dt
ht dt
(5-7)
则x(t)和h(t)的傅里叶变换存在， 有
X
1. 连续线性时不变系统的输出响应（时域分析方法） 对于线性时不变系统， 若系统激励x(t)是确知信号， 系 统的零状态响应y(t)可以由x(t)和系统所对应的单位冲激响应 h(t)的卷积得到
y
t
x
t
h
t
h
x
t
d
x
h
t
d
(5-4) 如果系统是因果系统， 当t<0时， 有h(t)=0， 式（5-4） 的积分限可修正为
功率谱乘以系统的功率谱传输函数。 这个公式在工程计算
中很有用。
第五章 随机信号通过线性系统分析
由前面推导出的结论可知， 当随机信号X(t)， Y(t)满足
广义平稳条件时， 它们的功率谱密度函数与相应的相关函
数分别构成傅里叶变换对。 此时， h(τ)与h(－τ)的傅里叶变 换关系也存在， 分别为H(ω)与H＊(ω)。 于是由式（5-18）
（1） 输出信号Y(t)的功率谱与自相关函数； （2） Y(t)的一维概率密度函数； （3） P［Y(t)≥0］。 解 （1） 输入X(t)是平稳信号， 采用如下的频域分析
(5-21)
若输入信号X(t)广义平稳， 且τ=|t2－t1|， 则式（5-20）
变为
RXY
h
RX
d
RX
h
(5-22)
第五章 随机信号通过线性系统分析
类似地， 式（5-21）变为
RYX(τ)=RX(τ)＊h(－τ)
(5-23)
根据以上分析， 我们可以得到重要的结论： 若输入信号
X(t)是平稳的， 则线性时不变系统输出Y(t)也是平稳的， 且
N0b2 eb 2
e2b d N0b eb
0
4
第五章 随机信号通过线性系统分析
由自相关函数的偶对称性， 则当τ<0
RY
RY
N0b 4
eb
合并τ≥0和τ<0时的结果，
RY
N0b 4
eb
,
（2） 由式（5-22
第五章 随机信号通过线性系统分析
RXY RX h
N0 h d N0 bebU
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-5 随机信号通过线性时不变系统均值分析示意图
第五章 随机信号通过线性系统分析
例5.1 对于如图5-6所示的低通RC电路， 已知输入信号 X(t)为宽平稳信号， 其均值为mX， 求其输出均值。
解 由电路知识可得系统的冲激响应为h(t)=be－btU(t)， 其中b=1/RC。
RX
N0 2
， 则由式（5-
18
RY
h
h
RX
d
d
0
h
0
N0 2
h
d
d
N0 2
0
h
h
d
第五章 随机信号通过线性系统分析
由h(t)=be－btU(t)， 其中b=1/RC，
RY
N0 2
beb
0
U beb U d
上式分别按照τ≥0和τ<0两种情况进行求解。 当τ≥0时，
RY
(5-17)
RY t1,t2
h
h
RX
d
d
h h RX RY
即
RY(τ)=RX(τ)＊h(τ)＊h(－τ)
（5-18）
第五章 随机信号通过线性系统分析
3. 输入信号X(t)与输出信号Y(t)之间的互相关函数 由于系统的输出是系统输入的作用结果， 因此， 系统 输入输出之间是相关的。 根据互相关函数的定义， 可以得 出系统输入X(t)与输出Y(t)之间的互相关函数RXY(t1, t2)与 RYX(t1, t2)
2.
对于传输函数为H(ω)的线性时不变系统， 若输入广义
平稳随机信号X(t)的功率谱密度为PX(ω)， 则系统输出信号 Y(t)的功率谱密度为
PY(ω)=PX(ω)|H(ω)|2
(5-25)
我们称|H(ω)|2为系统的功率谱传输函数或功率增益。
式（5-25）表明， 线性时不变系统的输出功率谱等于输入
（1） 若已知输入信号X(t)的统计特性， 如何确定输出 信号Y(t)的统计特性？
（2） 若输入信号X(t)平稳， 那么输出信号Y(t)是否也 平稳？
（3） 输入与输出之间的联合统计特性如何？
第五章 随机信号通过线性系统分析
5.2.1
1. 输出信号Y(t) 已知输入随机信号X(t)的均值E［X(t)］， 则
E
Y
t
E
h
X
t
d
h
E
X
t
d
ht E X t
(5-13)
第五章 随机信号通过线性系统分析
若X(t) 为平稳随机信号， 则有
因此
E［X(t－α)］=E［X(t)］=mX（常数）
（5-14）
E
Y
t
h
E
X
t
d
mX
h
d
mX
H 0
(5-15)
随机信号通过线性时不变系统的均值如图5-5所示。
yt
xt
ht
h
x t
d
x
h t
d
第五章 随机信号通过线性系统分析
显然， y(t)也是一个确定的时间函数。 对于随机信号
X(t)中的所有样本函数{xi(t)}(i=1, 2, …)， 通过线性系统后可 得到另一个随机信号Y(t)所有的样本函数{yi(t)}(i=1, 2, …)。 其中
yi
t
y
t
L
n k 1
ak
xk
t
n k 1
ak
L
xk
t
n k 1
ak
yk
t
(5-2)
第五章 随机信号通过线性系统分析
2.
对于线性系统， 若输入信号x(t)有任意时移t0， 会使输
出信号y(t)也有一个相同的时移t0， 即
y(t－t0)=L［x(t－t0)
（5-3）
则称这个系统为线性时不变系统， 如图5-2所示。
解 由式（5-22
RNY
N0
2
h
d
N0 2
h
h
2 N0
RNY
第五章 随机信号通过线性系统分析
例5.3 X(t)是自相关函数为 N0 的平稳随机信号，
2 通过如图5-6所示的系统，
（1） 输出的自相关函数RY(τ)；
（2） 输入输出的互相关函数RXY(τ)和RYX(τ)。
解
（1） 由题意知
根据式（5-15），
E Y t mX
h
0
d mX ebu |0 mX
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-6 低通RC电路
第五章 随机信号通过线性系统分析
2. 输出信号Y(t)的自相关函数
已知系统输入随机信号X(t)的自相关函数RX(t1, t2)， 可 以求出输出信号Y(t)的自相关函数RY(t1, t2)。 根据定义， 输 出随机信号Y(t)的自相关函数RY(t1, t2) 可表示为
与傅里叶变换的性质，
PY(ω)=PX(ω)H(ω)H＊(ω)=PX(ω)|H(ω)|2 若用PY表示系统输出总平均功率， 则有
PY
RY
0
1 2π
PX
H
2
d
(5-26)
第五章 随机信号通过线性系统分析
例5.4 某线性时不变系统的冲激响应h(t)=e－btu(t), b>0， 输入X(t)是零均值平稳高斯信号， 自相关函数为RX(τ)=σ2Xe－ a|τ|, a>0, a≠b。 求：
RY
t1,
t2
E
Y
t1
Y
t2
E
h
X
t1
d
h
X
t2
d
h
h
E
X
t1
X
t2
d源自文库
d
h
h
RX
t1
,t2
d d
ht1 ht2 RX t1,t2
(5-16)
第五章 随机信号通过线性系统分析
若输入信号X(t)广义平稳， 则上式中 E［X(t1－α)X(t2－β)］=RX(τ+α－β)，τ=|t2－t1| 式（5-16
第五章 随机信号通过线性系统分析
分析系统输出响应也有相应的三种方法： （1） 卷积积分或卷积相乘法， 用此方法可得到系统的 零状态响应； （2） 微分方程法， 用此方法可得到系统的全响应； （3） 状态变量法， 解状态方程可得全响应。 这里我 们主要回顾输入输出关系法对线性系统的分析方法。
第五章 随机信号通过线性系统分析
02
2
同理， 由式（5-23）得
RYX
RX
h
0
N0
2
h
d
N0 2
bebU
第五章 随机信号通过线性系统分析
5.2.2 随机信号通过线性系统的频域分析
1.
由于 ht FFTT1 H 关系存在， 可得
mY mX
h
d
mX
H
|0
mX
H 0
(5-24)
第五章 随机信号通过线性系统分析
x t e jtdt
H
h t e jtdt
(5-8)
第五章 随机信号通过线性系统分析
H(ω)称为连续时不变线性系统的传输函数， 也可称为 系统函数或频率响应。 设Y(ω)是输出y(t)的傅里叶变换， 则 有
Y(ω)=H(ω)X(ω)
(5-9)
式（5-9）表明： 任何线性时不变系统响应的傅里叶变换，
yt
0
h
x t
d
t
x
h t
d
(5-5)
第五章 随机信号通过线性系统分析
若输入信号x(t)也是因果信号， 即当t<0时， 有x(t)=0， 上式可以写为
y
t
t
0
h
x
t
d
t
0
x
h
t
d
(5-6)
图5-3给出了线性时不变系统时域输入输出关系。
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-3 时域输入输出关系
RXY
t1 , t2
E
X
t1
Y
t2
E
X
t1
h
X
t2
d
h
E
X
t1
X
t2
d
h
RX
t1 , t2
d
RX
t1 , t2
h t2
(5-19)
第五章 随机信号通过线性系统分析
即
RXY(t1, t2)=RX(t1, t2)＊h(t2) 同理可得
（5-20）
RYX(t1, t2)=RX(t1, t2)＊h(t1)
1. 在无线电系统中， 通常把具有叠加性和齐次性的系统 称为线性系统。
第五章 随机信号通过线性系统分析
假设线性系统输入为确知信号x(t)， 输出为确知信号y(t)，
则y(t)可以看成是线性系统对x(t)经过一定算法运算所得到的
响应结果。 这种算法属于线性运算， 例如， 加法、 乘法、
微分、 积分等。 如果利用线性算子符号L［·］表示， 则
等于输入信号傅里叶变换与系统函数的乘积， 或者说线性
时不变系统的传输函数等于输出与输入信号频谱的比。
H
Y X
(5-10)
图5-4给出了线性时不变系统频域输入输出关系。
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-4 频域输入输出关系
第五章 随机信号通过线性系统分析
5.2 随机信号通过线性系统分析
前一节我们已经复习了线性系统与确知信号输入输出的 关系， 本节将重点讨论随机信号通过线性时不变系统的情 况。 假定随机信号X(t)通过某个确知的线性时不变系统 h(t)， 取其一个样本函数x(t)。 由于x(t)是一个确定的时间函数， 当它输入系统h(t)时，
xi
t
ht
h
xi
t
d
xi
h
t
d
(5-11)
所以， 随机信号X(t)通过线性时不变系统的响应信号Y(t)
也是随机信号。 它们之间的关系为
Y
t
X
tht
h
X
t
d
X
h t
d
(5-12)
第五章 随机信号通过线性系统分析
在研究随机信号时， 通常并不需要根据式（5-12）来 求出具体的Y(t)， 实际上也很难求出Y（t）， 我们只需根据 研究随机信号的方法求得输出随机信号Y(t)的统计特性即可。 因此随机信号通过线性系统的分析主要从下面几方面考虑：
第五章 随机信号通过线性系统分析
第五章 随机信号通过线性系统分析
5.1 线性系统的基第四章本理论 5.2 随机信号通过线性系统分析 5.3 白噪声通过线性系统分析 5.4 线性系统输出端随机信号的概率分布 5.5 最佳线性滤波器＊
第五章 随机信号通过线性系统分析
5.1 线性系统的基本理论
5.1.1
一般的线性系统变换可用图5-1或式（5-1）表示。
y(t)=L［x(t)］
(5-1)
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-1 线性系统示意图
第五章 随机信号通过线性系统分析
如果系统输入xk(t)(k=1, 2, …, n)的线性组合的响应等于 各自响应的线性组合， 则称此系统为线性系统， 即满足