模态分析基本理论

得到拉氏域的系统方程(假定初始位移和速度为0)：
2 0 4 - 1 6000 - 2000 [z (P)][x (P)] = (P + P + - 2000 6000 )[x (P)] = [F(P)] 1 5 0 2
2
第三节 多自由度振动系统举例 二 传递函数矩阵
λ *N {ψ}N {ψ}*N
*
第三节 多自由度振动系统举例 四 留数：定义与单自由度系统类似
[H(P)] = [z (P)]−1 = adj ([z (P)])
Q
∴
[H(P)] =
z (P) adj ([z (P)])
r
λ1 , λ *r (r = 1, L , N )是 z (P) 的根
& & & x M1& 1 (t) + (C1 + C 2 ) x 1 (t) - C 2 x 2 (t) + ( K 1 + K 2 ) x 1 (t) - K 2 x 2 (t) = f1 (t) & & & x 2 (t) + (C 2 + C 3 ) x 2 (t) - C 2 x 1 (t) + ( K 2 + K 3 ) x 2 (t) - K 2 x 1 (t) = f 2 (t) M 2 &
λ1{ψ}1 L [φ ] = {ψ}1 L λ N {ψ}N
{ψ}N
{ψ}1 L λ* 1 {ψ}*
1
L

L λ1{ψ}1 L {ψ} = L 1 L

L λ 2 {ψ}2 L {ψ} = L 2 L
adj ([z (λ r )]) = R r {ψ}r {ψ}r
N
T
∴
Q r {ψ}r {ψ}T Q* {ψ}* {ψ}*T r r r [H(P)] = ∑ + r * (P - λ r ) (P - λ r ) r =1
第三节 多自由度振动系统举例 五 模态参预因子：是各激励自由度对各阶模态激 励有效性的一种量度
[M ] − [ M ] [ 0] P{x} {Y} = [B] = { x } [ M ] [ C ] [ 0 ] [ K ]
{0} {F′} = {F}
系统极点=特征值=方程P值：
λ1 = -0.87501 + j44.7135rad/s
第三节 多自由度振动系统举例 三 系统极点、模态向量
由系统的拉氏域方程：
(P 2 [M] + P[C] + [K]){x(P)} = {F(P)} (1)
构造恒等式 得到
[0] 其中 [A] =
(P[M] − P[M]){x} = {0} (2)
(P[A] + [B]){Y} = {F′}
第三节 多自由度振动系统举例 四 留数：定义与单自由度系统类似
∴
{adj ([z (λ r )])}i 与{ψ}r 成比例
adj ([z (λ r )]) = {ψ}r L
r
即
Q
系统的质量、刚度、阻尼矩阵是对称的， 所以动刚度矩阵Z（P）也是对称。 所以 adj ([z (λ r )])的各行均与第r阶模态向量成比例。 即
∧
第三节 多自由度振动系统举例 六 频响函数矩阵：脉冲响应函数矩阵
经过拉氏反变换，得到时域的脉冲响应函数矩阵
[h ( t )] = ∑ (Q r {ψ}r {ψ}
N
T
r
\ [h ( t )] = [V]
r =1
e + Q r {ψ}r {ψ}r e
λr t * * *T
λ* t r
五 临界阻尼：系统极点为0时的阻尼值。
C C = 2M K / M = 200 N /(m / s)
六 阻尼比
ζ1 = C/C C = 0.02或2%
七 留数：将传递函数开成部分分式，分式的分子。
A* A1 1 H(P) = + P − λ1 P − λ * 1
A1 = 1/ M = − j5.001×10-3 s/kg j ⋅ 2ω1
第二节 单自由度系统的相关模态概念 一 传递函数图
传递函数的实部、虚部 传递函数的幅值、相位
二 频率响应函数(FRF)
沿频率轴算出的传递函数，表示在频域中 输入(力)与输出(位移)之间关系
A* A1 1 H(ω ) = + jω − λ 1 jω − λ * 1
第二节 单自由度系统的相关模态概念 三 脉冲响应函数
{ψ}N， {ψ}1 ， {ψ}N 设 模态向量矩阵[V ] = {ψ}1， L， L，
* *
[
]
\ P
I
\ − \
∧
是含有 1 和 1 项的矩阵 P - λ r P - λ *r \ \ − \ \
∏ E(P - λ )(P - λ
r =1
N
= )
adj ([z (P)])
*
r
∏ E(P - λ )
r r =1
2N
其中
E ：常数
N
λ N +S = λ * , S = 1,L , N S
∴
* [A ]r [ A ]r [H(P)] = ∑ + * (p - λ r ) r =1 (p - λ r )
三 系统极点：传递函数分母方程的根。物理意义？
λ1,2 = -C/M ± (C/2M) 2 − (K / M)
λ1,2 = -1 ± 1 − 2500 = −1 ± j49.9900rad/s
第一节 单自由度振动系统举例 四 无阻尼固有频率：C=0时的系统固有频率。
Ω1 = K / M = 50rad/s 或 f1 = Ω1 / 2π = 7.9577Hz
P[A] + [B] = 0 λ 2 = -1.3750 + j63.2296rad/s
第三节 多自由度振动系统举例 三 系统极点、模态向量
\ λ1 O = \ 0 0 λN λ1
*
对于N自由度系统，有2N个呈复共轭对出现的特征根：
第三节 多自由度振动系统举例 一 系统方程
写出矩阵形式：
M1 0 & 0 & x C1 + C 2 1 + & & M 2 x 2 - C2 & - C2 x K1 + K 2 1 + & C 2 + C3 x 2 - K 2 - K 2 x1 f1 = K 2 + K 3 x 2 f 2
[A]r , [A]*
r
：留数
[A]r = ([H(P)](P - λ r ) ) P=λ
r
第三节 多自由度振动系统举例 四 留数：定义与单自由度系统类似
或
[A r ] = Q r {ψ}r {ψ}T
r
Q
即 [z (λ r )]⋅ {adj ([z (λ r )])}i = {0} (1) 又Q在对应的极点 λ r 上，模态向量 {ψ} ，使得系统方程
−1
−1
∴
\ [H(P)] = [V] P
I
∧\ Q Nhomakorabea [V ]T \
模态参预因子矩阵
\ [L] =
Q
[V ]T \
第三节 多自由度振动系统举例 六 频响函数矩阵：脉冲响应函数矩阵
N
Q r {ψ}r {ψ}T Q* {ψ}* {ψ}*T r r r + r 频响函数矩阵 [H( jω)] = ∑ * (jω - λ r ) (jω - λ r ) r =1
考虑实验模态分析中各矩阵维数的限制
\ 或 [H( jω)] = [V ] jω
I
\ − \
∧
\
−1
[L]
[L]2 N m ×Ni \ N0×2 Nm
−1
[H( jω)]N ×N
r
\ [z (P)]⋅ adj ([z (P)]) = z (P) [z (λ r )]⋅ adj ([z (λ r )]) = [0]
I
\
及 λr 是
z (P)
的根
的力向量 {F} = {0} 2 即 (λ r [M] + λ r [C] + [K]){ψ r } = [z (λ r )]{ψ r } = {0} (2)
将时间域方程变换为拉氏域(复变量P)，假定初始 位移和速度为0，则拉氏域方程为
* (MP 2 + CP + K ) x(P) = F(P)
第一节 单自由度振动系统举例 二 传递函数：物理意义？
x(P) = H(P) ⋅ F(P)
* H(P) = 1/ M 1/2 = P 2 + (C / M ) P + K / M P 2 + 2 P + 2500
0
i
频响函数描述形式有3种： 以实部、虚部作为频响函数实频、虚频图 以幅值(常用对数刻度)和相位作为频响函数幅频、相频图(Bode图) 以频率作为参变量的实部对虚部图(奈奎斯特图或Argand图)
\ = [V ]N 0 ×2 N m jω
I
\ − \
σ 1 + jω1 O = 0 λ *N 0
λ
σ N + jω N σ 1 − jω1
O
O
σ1 ：阻尼因子
ω r ：阻尼固有频率
*
σ N − jω N
模态振型向量(模态位移向量和模态向量)=特征值对应的特征向量{Y}
对传递函数施行拉氏反变换，得到时域中的关系
h(t) = A1 e
λ1 t
+ A1 e
*
* λ1 t
-jω1t = eσ 1t (A1 e jω1t + A * e ) 1
σ1 ：衰减率
ω1 ：振荡频率
四 FRF影响因素
刚度 ↑ 共振频率 ↑ FRF在低频段幅值 ↓ 阻尼 ↑ 共振频率略 ↓ 共振点、幅值↓ 相位改变较平缓 质量 ↑ 共振频率 ↓ 高频段幅值↓
[H(P)] = [z (P)]
−1
2 0 4 - 1 6000 - 2000 −1 = (P + P - 1 5 + - 2000 6000 ) 0 2
2
或
2P 2 + 5P + 6000 P + 2000 2 P + 2000 2 P + 4 P + 6000 adj ([z (P)]) [H(P)] = = z (P) (2P 2 + 5P + 6000)(2P 2 + 4P + 6000) − (P + 2000) 2
第三节 多自由度振动系统举例 一 系统方程
f1(t) x1(t) K1 M1 K2 M2 f2(t) x2(t) K3
M1=M2=2kg C1=3N/(m/s) C2=1N/(m/s) C3=4N/(m/s) K1=4000N/m K2=2000N/m K3=4000N/m
C1
C2
C3
该系统的运动方程如下：
模态分析基本理论
同济大学 汽车学院
主要研究内容

单自由度振动系统举例 单自由度系统的相关模态概念 多自由度振动系统举例 多自由度系统相关模态概念
第一节 单自由度振动系统举例 一 系统方程
K f(t) C M x(t)
M=2kg C=4N/(m/s) K=5000N/m
& & M& x (t) + Cx (t) + Kx(t) = f(t)
)
e∧t
[L] \ 0 eλN t e
λ* t 1
\
e
∧t
e λ1 t O = \ 0
O
λ* Nt e
第四节 多自由度系统相关模态概念 一 无阻尼系统
阻尼矩阵[C]为零矩阵的系统 系统阻尼因子σ r = 0 ，全为纯虚数极点 λ1 = j ω,L , λ * N = − jω N 相对应的振型向量 {ψ}r 的各元素之间的相位差是0度或180度 可通过比例因子Qr的选取，可将模态振型向量换算成实模态向量