直角坐标系求面积

解 : 点A1 (2, 2) 点B1 (3, 0) 点C1 (0. 0.5)
y 7 6 5 4 3 A D 1 2 E 1 B1 01 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 C x -2 1 -3 -4 -5 -6 -7
（2）求出三角形 A1B1C1 的面积。
分析:可把它补成一个梯形减去 两个三角形。
y
4 3
B2 (0,2) 2
1
A(2,1)
1 2 图（4） 3 4
O
x
SOAB2 2 2 2
1 2
二、有一边与坐标轴平行
• 例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角 形ABC的面积. 分析：由A（4，1），B（4，5）两点
1
2
3
4
5
-1 -2 -3
x
-4
问题2 如图（1）， △AOB的面积是多少？
y
4
3
B (0,3)
2
1
A (4,0)
O
1
2 图（1）
3
4
x
练习. １．已知A(1,4), B(-4,0),C(2,0). 12 △ABC的面积是＿＿＿． ２.若BC的坐标不变, △ABC的面积为6,点A 的横坐标为-1,那么 (-1,2)或(-1,-2) 点A的坐标为__ _.
求坐标系中图形的面积
四平六中 徐亚恒
问题1：求下列条件下线段AB的长度. 1）A(－6，0)，B(－2，0) 2）A(－3，0)，B(2，0) 3）A(1，0)，B(5，0). 4）A(x1，0)，B(x2，0). 5）A(0，y1)，B(0 ，y2 ).
-5 -4 -3 -2 -1
y
4 3
2
1
O
=
Y
4 3 2 1
B3 (2,3)
A(2,1)
1 2 3 4
O
X
图（5）
SOAB3 2 2 2
1 2
• 例3
三、三边均不与坐标轴平行
如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1）， B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积 吗？
分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另 想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形 （长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯 形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的 面积，即可求得原三角形的面积.
y 7 6 5 4 A1 3 2 1 B1 01 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1C1 A x -2 -3 B C -4 -5 -6 -7
（1）把三角形A1B1C1向 右平移4个单位，再向下 平移3个单位，恰好得到 三角形ABC，试写出三角 形A1B1C1三个顶点的坐标;
（2）点C需满足的条件 是横坐标恒为6或－6， 纵坐标任意．如图，点C 位于两条平行于y轴且与 y轴距离为6的条直线 上．
1.已知△ABC中，A(-1,-2),B(6,2),C(1,3),
求△ABC的面积.
6 5 4 3 2 1
y
C(1,3) B(6,2)
-2 -1 O -1 -2 A(-1,-2) -3
的横坐标相同，可知边AB与y轴平行， 因而AB的长度易求.作AB边上的高CD， 则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也 是4，这样就可求得线段CD的长，进而 可求得三角形ABC的面积.
解：因为A，B两点的横坐标相 同，所以边AB∥y轴，所以AB=51=4. 作AB边上的高CD，则D点的 横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5 ，所以
解 : 补成梯形DEC1 B1 S A1B1C1 S梯形DEC1B1 S A1B1D S A1C1E 1 (2.5 2) 3 2 1 1 1 2 2 2.5 2 2 6.75 1 2.5 3.25
已知四边形ABCD中，A(1,-2), B(4,0), C(6,8), D(1,4),求四边形ABCD的面积. y
×6×1＝14.
y
4
B4 (4,4)
3
2 1
A(2,1)
1 2 3 图（6） 4
x
O
y
4 3 2 1
N
B4 (4,4)
方 法 1
A(2,1)
1 2M 3 图（7） 4
x
O
SOAB4 SOAC
1 1 SACB 4 1 2 1 2 2 2 2
y
4 3 2 1E
B4 (4,4)
解：如图，过点A、C分别作平行于y轴 的直线，与过点B平行于x轴的直线交于 点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（ -3，-1），B（1，3），C（2，-3）， 所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝ 5.所以
（AD+CE）×DE- AD×DB×（4+6）×5－ ×4×4－ ＝ CE×BE=
y
A(1,4)
B (-4,0) O A
y
C
x (2,0)
(2,0) (-4,0) B
C
x
点 坐标
线段长度
距离 三角形面积
一、有一边在坐标轴上 例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点 坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1）， 你能求出三角形ABC的面积吗？
分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出， △ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点 A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是 A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面 积公式求解.
1 2 3B 4 5
分析(1)由点C在第二 象限，可知x和y的符 号，这样可化简绝对 值，从而求点C的坐 标，求三角形的面积， 关键求点C到AB所在 的直线即x轴的距离 |y|
（若不限定C 已知A(-2,0)，B（4，0），C（x,y) 的象限，求 C （2）若点C在第四象限上，且三角形 ABC的 面积=9，|x|=3,求点C的坐标 点的坐标又如 何？）
－ －
S三角形AFC
(2 5) 6 1 1 ＝ ― 2 4― 2 5 2 2 2
＝12．
已知点A（0，1），点B（0，－4）,点C在轴上，如果三角形 ABC的面积为15． （1）求点C的坐标． （2）若点C不在轴上，那么点C的坐标需满足什么样的条件 （画图并说明）？
（1）如图，AB＝︱1-（-4）︱＝5，设点C的坐标为C（x，0），则 1 S三角形ABC＝ AB×OC＝ 1 5 xC ＝15，即 xC ＝6， 2 2 xC ±6．所以点C的坐标为（6，0）或（－6，0）．
5 4 3 2 1 -4 -3A -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
1 2 3B 4 5
C
分析：由三角形的面 积可求出C到AB所在 的直线距离为3,而点 C在第四象限可知它 的坐标符号，从而可 知y=-3
y
4
3 2 1
A(2,1)
B1 (4,0)
O
1 2 3 4
x
图（3）
S OAB1
1 4 1 2 2
1 1 1 4 4 ( 2 4) 1 2 3 2 2 2 2
y
4 G(0,4) 3 2 1
B4 (4,4)
方 法 4
A(2,1)
1 2 3 图（10） 4
E(4,1) F(4,0)
O
x
SOAB4 S正方形OFB4G SOB4G S四边形OFB4 A
8 7 6 5 4 3 2 1
-2 -1 O -1 -2 -3 1
C(6,8)
B(4,0) 2 3 4 5 6 7 8
x
A(1,-2)
1
2 3 4
5 6 7 8
x
y
5
方法1
C(1,3)
E(6,3)
4 F(-1,3) 3 2 1
B(6,2)
A(-1,-2)
-2
D(6,-2)
x
-2
-1 O -1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
方法2
C(1,3)
E(6,3)
5
4 3
2
1
B(6,2)
A(-1,-2)
-2
D(6,-2)
x
-2
-1 O -1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
5
方法3
C(1,3)
E(6,3)
4 F(-1,3) 3 2 1
B(6,2)
A(-1,-2)
-2
x
-2
-1 O -1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
5 4 3 2 1
C`
C(1,3)
方法4
B`
B(6,2)
A(-1,-2)
-2
x
-2
-1 O -1
A` 1
2
3
4
5
6
7
8
.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2， -1），B（1，-3），C（4，-3.5）。
1 4 4 4 4 6 2 2
y
4 3 2 1
B4 (4,4)
Fra Baidu bibliotek
方 法 5
A(2,1)
F(4,0) 1 2 3 图（11） 4
x
O
在平面直角坐标系内，已知A（―5，4），B （―2，―2），C（0，2）．求三角形 ABC的面积．
S三角形ABC＝ S梯形ABEF S 三角形EBC
方 法 2
A(2,1)
1 2 3 图（8） 4
F
O
x
S OAB4 S OAD S ADB4
1 1 1 1 1 3 2 2 2
y
4 3 2 1
B4 (4,4)
方 法 3
A(2,1)
1 2 3 图（9） 4
E(4,1) F(4,0)
O
x
SOAB4 SOFB4 S梯形AEOF SAEB4
解：因为B(0,3),C(0,-1),所以 BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点 到y轴的距离，即BC边上的高为3，
已知A(-2,0)，B（4，0），C（x,y) (1)若点C在第二象限，且|x|=4,|y|=4, 求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；
5 4 C 3 2 1 -4 -3 A -2 -1 0 -1 -2 -3 -4