割圆术

东芝杯·中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛
【总 结 提 炼 】 （四
）
归 内逼近
以直代曲
纳
割圆术 无限趋近
总
外逼近
结
内外夹逼
，
提
几何 微积分 概率
炼
升
华
总结 提炼 启发
回顾 体会
总结回顾 “割圆术” 的操作步骤 与算理，提 炼思想方 法，并指明 新方向，新 思路，引起 学生“再学 习”的欲望， 增强学习动 机.
2．有助于学生进一步体会算法思想的精髓.“割圆术”是计算圆周率 的一种方法，其内容充分的阐述了中国古代算法体系中的思想，而算法是 数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的重要基础，算法在科学技 术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入生活的方方面面，算 法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养.本节课将沿着我国古代著 名数学家刘徽的步伐和学生一起探讨了“割圆术”算法思想，在前面学习 基础上，进一步体会算法思想的核心以及算法的重要性与有效性.
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东芝杯·中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛 进性，思维严密性，将有助于增强学生学习动机，建立良好的情感体验， 对日常数学学习起到积极促进作用.
【教学对象分析】 本节课《割圆术》是普通高中课程标准实验教科书 · 数学必修 3（人 教 A 版）中第一章《算法初步》第三节《算法案例》“阅读与思考”部分 的内容.学生在学习本节课内容之前已经学习了三个算法案例，并且通过 之前关于程序框图、基本算法语句等内容的学习，学生已具备一定的算法 步骤、程序框图、阅读程序等基础知识，这对进一步体会“割圆术”的文 化价值以及学习其中的算法思想有积极促进作用. 数学是人类文化的组成部分.高中数学教学很长时间内对数学与实际、 数学的应用价值、文化价值予以的重视度不够，不利于学生形成正确的数 学观.学生在学习本节课之前，对于圆周率的求法没有直接经验，绝大多 数只是停留在感性认识上，而没有予以充分的思考.本节课致力于培养学 生的学习兴趣，以及正确的数学历史观，为形成正确的数学观打下基础. 另 一 方 面 ，“ 割 圆 术 ”作 为 一 个 新 的 算 法 案 例 ，因 其 思 想 性 超 前 、逻 辑 性 严 密不易于学生理解，学生对割圆术的原理会产生似懂非懂的现象.在义务 教育阶段，学生在小学学习过圆的周长面积公式，圆周率的定义方式；在 初中阶段，主要接触了圆心角、圆周角、正多边形和圆，弧长和扇形的面 积 ，主 要 采 用 了 思 辨 论 证 的 方 式 ；并 且 在 拓 展 性 材 料 中 ，讲 圆 周 率 ，刘 徽 、 祖冲之、祖暅求圆周率的方法，以及求得的圆周率这个事实，但是没有给 出具体的详细的过程.这些学习经验为该部分知识奠定了基础. 综上，学生正确的数学观的形成、数学文化价值的教学都是一个循序 渐进的过程.有学生义务教育阶段的学习经验以及前面算法案例的学习作 为 基 础 ，如 果 教 师 在 本 内 容 思 想 性 上 加 以 引 导 、启 发 ，学 生 对 于“ 割 圆 术 ” 的认识将有全面的提升，部分学生还能加以迁移、整合.
名的徽 率 .
【程 序 框 图 与 语 句 】
验证
观察 思考 计算
确立目标 （ 求 正 2n 边形的面 积），引导学 生由勾股定 理得出递推 关系，进而 计算圆周率 近似值，层 层递进，步 步为营，逻 辑严密，并 用计算机验 证刘徽得出 的结论，体 会用计算机 研究数学问 题带来的方 便.
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正多边形边数（设为 2n）;
介绍 演示 引导
理解 体会 感知
介绍刘徽关 于内逼近、 外逼近的论 述，学生体 会其中的奥 秘之处；用 几何画板将 原本抽象的 逼近过程通 过动态演示 转化为形象 的直观感 知，对其思 想形成整体 印象.
从具体操作 步骤中理解
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hn )
(n
≥
6)；
hn
=
1 − ( xn )2 2
引导
x2n =
( xn )2 2
+
(1 − hn )2
=
2 − 2hn (n ≥ 6)
分析
进而得出圆周率的近似值：
启发
S6 = 6 ×
3 4
S12 = 3
S24 ≈ 3.106
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
刘徽求出正一 百 九 十 二 边形的面积，得出圆周
率为 3.14 的结论，化成分数 157/50,这就是著
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n → ∞ , S → S2n 【分析算法】
设圆的半径为 1，弦心距为 hn ，正 n 边形的边
长为 xn ，面积为 Sn ；则正 2n 边形的边长为 x2n ，
面积为 S2n ；
引导，分析，设疑，得出递推关系：
问题 3：你能找到 hn 、 x2n 的表达式吗？
S2n
=
Sn
+
n
⋅
1 2
⋅
xn
⋅
(1 −
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二、教学设计： 【教学目标】 ◆知识与技能 （ 1 ） 能 根 据 “ 割 圆 术 ” 中 蕴 含 的 数 学 原 理 ， 理 解 其 中 的 “ 算 理 ”； （2）能找出算法的迭代关系； （3）体会“割圆术”中包含的数学思想方法，感知其中的奥妙. ◆过程与方法 （1）通过现代教育技术呈现“割圆术”内外逼近过程，感受算法的合
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一、教学分析： 【教学内容分析】 圆是数学基础教育阶段经常接触到的一种图形，与圆有关的知识在小
学，初中，高中均占有很大的比重.而与圆关系最为密切的是圆周率.从人 类数学历史发展来看，很多数学家为圆周率的计算付出了很多心血，甚至 一度认为一个国家所算得圆周率的准确程度，可以作为衡量国家当时数学 发展水平的指标.本节课内容《割圆术》就是一种求圆周率的方法.本内容 位于高中数学必修 3（人教 A 版）第一章的阅读与思考部分，而在人教 B 版教材中，将本内容置于《算法案例》的正文部分，可见该内容以其文化 价值和算法思想而表现出的地位与作用不容忽视.学习本内容的教育价值 体现在以下四个方面：
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归纳总结 提炼升华
深化认识
设计意图：回顾“割圆术”操作步骤，提炼 思想方法，并提供新思路，新方向，激发学 生“再学习”的欲望，体现新课标的理念.
【教学过程】
(按照竞赛要求，这里仅列出 15 分钟的教学过程，主要涉及“割圆术”
的算法和思想)
创设情境 激发兴趣
设计意图：以电影素材为背景，激发学生的 学习兴趣，有效地启发学生的思维，自然而 然地引出课题，顺理成章地进入教学下一环 节．
直观感知 体会思想
分析算法 得出结论
强化理解
设计意图：从刘徽的注解中体会思想，并通 过几何画板演示，直观感受，并形成整体认 识.
设计意图：根据“割圆术”具体操作步骤， 启发引导学生分析算法原理，找出迭代关系 式 ，并 通 过 程 序 验 证 刘 徽 算 法 的 准 确 性 . 层 层 递进，逻辑严密.
4.有助于激发学生的学习兴趣.兴趣是最好的老师，激发了学生的学 习兴趣，学生便能集中注意力，在有趣、有疑、有乐、有情、有劲的状态 下学习.数学史作为具有理性魅力的题材，对于开阔学生的眼界、启迪数 学思维和进一步奠定数学基础是十分重要的.而割圆术作为一段史实，记 载了人类揭开世界奥秘和令人兴奋的探索历程，以其内容丰富性，思想先
教学
教学
环节
师生
设计
教
学
内
容
活活
意图
动动
（一） 创Biblioteka 创设 【创设情境】
情
播放电影《少年派的奇幻漂流》中主人公自
境 我介绍片段，提出以下问题：
， 问题 1：提到圆周率π，你能想到什么？
激 设问：圆周率是怎么求出来的？
发 顺势引出本节课课题《割圆术》.
兴
趣
演示 设疑 启发
倾听 思考
视频取材于 学生熟悉的 电影片段， 吸引学生注 意力，激发 学生学习兴 趣和求知 欲，带着问 题进入下一 环节
（二 ） 直 观 感 知 ， 体 会 思 想
（三 ）
分 析
【内 逼 近 】 “割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可 割，则与圆和体，而无所失矣.” 【外 逼 近 】 “觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出弧 表。若夫觚之细者与圆合体，则表无余径，则幂 不外出矣.”
【具 体 操 作 步 骤 】 （1）从圆内接正六边形开始，逐步加 倍 圆内接
算 法
（2）依次计算正多边形面积， S6, S12, S24,⋅ ⋅ ⋅, S2n
陈述
思考
“割圆术” 的具体内
， （3）过正多边形的每条边向外做高为余径的矩
涵，体会无
得
形；
设疑 判断 限分割、内
出 问题 2：你能从图形中找出关于面积之间的不等
外夹逼、极
结
关系吗？
限等思想方
论 引导分析，得出结论：
法
S2n < S < S2n + (S2n − Sn )
【板书设计】
一、定义、原理 内逼近
割圆术 三、思想方法
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外逼近 二、 步骤
以直代曲 无限趋近 内外夹逼
附录：对应教材
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理性； （ 2 ）通 过 教 师 引 导 ，学 生 参 与 ，经 历“ 割 圆 术 ”操 作 步 骤 ，分 析 算 法 ， 感悟所蕴含的思想方法. ◆情感、态度和价值观 （1）认识中国古代数学对数学发展的贡献； （2）形成有条理、有逻辑的思考问题的习惯； 【 教 学 重 点 】“ 割 圆 术 ” 的 “ 算 理 ” 及 蕴 含 的 迭 代 思 想 . 【 教 学 难 点 】“ 割 圆 术 ” 中 内 外 逼 近 的 极 限 思 想 以 及 算 法 实 现 过 程 中 递 推关系的建立. 【教学方法】启发式教学. 【教学手段】PPT. 【教学流程】
1.有助于学生感受数学的文化价值.数学是人类文化的重要组成部分， 正如高中新课程标准提到的，数学课程应适当反应数学历史、应用和发展 趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发 展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精 神.数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正 确的数学观.刘徽的“割圆术”在人类历史上是一颗耀眼的明珠，为后人 研究数学提供了先进的思想方法，促进了数学的发展，这就是数学的文化 价值.所以，学生通过本节课的学习，学生将从刘徽的思想中体悟到数学 文化的价值与作用.
3.有助于培养学生的数学思维能力，促进数学基本素养的形成.高中 数学课程标准理念第四条提到，要注重提高学生的数学思维能力，而提高 学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用 数学解决问题时，不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、 抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思建构等思维 活动过程.这些过程正是数学思维能力的具体体现，本节课学生将从“割 圆术”的操作步骤中体会其中蕴含的数学思维模式，并进行思考和做出判 断，从而达到提高思维能力的目的.