(完整版)线段的垂直平分线与角平分线讲义

线段的垂直平分线与角平分线(1)
知识要点详解
1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：
定理的数学表示：
定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
经典例题：
例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm
针对性练习：
已知：1、如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交
AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=
2、如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点
，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是
3、如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，
如果∠A=28度，那么∠EBC 是
m
图1
D
A
B
C
E B
D A
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：
定理的数学表示：
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分上.
例2.如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D .求证：D 在AB 的垂直平分线上.
针对性练习：
已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线
例3、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ， 求证：BD ＝AC ＋CD.
证明：
例4．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。

求证：CAF B ∠=∠。

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图2
D
A
B
C
C
D A
A C
O
N
3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：
定理的数学表示：
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
课堂练习：
1.如图，AC =AD ，BC =BD ，则（ ） A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CD
C.CD 平分∠ACB
D.以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
3.下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等； ②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等； ③经过线段中点的直线只有一条；
④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ， 求证：AO ⊥B C.
5.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线
MN 分别交BC 、AB 于点M 、N . 求证：CM =2BM .
j
i
k
图3
O B C
A
线段的垂直平分线与角平分线（2）
知识要点详解
4
、角平分线的性质定理：
定理的数学表示：
定理的作用：
①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：
定理的数学表示：
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.
经典例题：例1：
已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。

求证：PE=PF
针对性练习：
已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。

例2、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB
图4
E
⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.
例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，
求证：AD＝CD.
课堂练习：
1. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。

2. 如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于
E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。

6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
定理的数学表示：
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；
②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
F
D
I
P
R
Q
A
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
课后作业：
1、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。

2、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。

3、如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.
4、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.
求证：AD平分∠BAC.
5、如图所示，直线l l l
123
，，表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中图7E
D
A
C
B
转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
l3l1
l2。