2014中考数学动点最值问题归纳及解法

动点个数 问题背景
考查难点
“坐标几何题”（动点问题）分析
两个
一个
两个
特殊菱形两边上移动
特 殊 直 角 梯 形 三 抛物线中特殊直角梯形底
边上移动
边上移动
探究相似三角形
探 究 三 角 形 面 积 探究等腰三角形 函数关系式
①菱形性质
②特殊角三角函数
考
③求直线、抛物线解析式
④相似三角形
点
⑤不等式
①求直线解析式 ②四边形面积的 表示 ③动三角形面积 函数④矩形性质
CD OD OC 8 3 3 3 5 3 （千米）。
B
30 °
M
D
C
O
A
（1`）
B
N
30 °
D
PC
M O
BA' CA' ' A'' D 2 CD 2 121 75 14（千米）。
A'
此时 PA PB BA ' 14 （千米）
A' '
注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景
。利用一次
函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点 ----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与
特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊
位置。）
动点问题一直是中考热点， 近几年考查探究运动中的特殊性： 等腰三角形、 直角三角形、
相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
例 3 如图 4，河岸两侧有 、 两个村庄， 为了村民出行方便， 计划在河上修一座桥， 桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
解析：设桥端两动点为 直于河岸。
将 向上平移河宽长到
、 ，那么 点随 点而动，
等于河宽，且
垂
，线段
与河北岸线的交点即为桥端
点位置。四边形
为平行四边形，
，此时
值最小。那么
来往 、 两村最短路程为：
2
3x， 2
又，在 Rt CEG 中， CE 3 x,CG (3 x) cos60
3 x 11 x
DG DC CG 4
。
2
2
3x
。
2
1 S EF DG
2
3 x2
11 3 x, 中 0
x
3。
8
8
3
11
0, 对称轴 x
, 当0
x
3， S 随 x 的增大而增大。
8
2
当 x 3 ，即 E 与 C重合时， S 有最大值， S最大 3 3 。
A
D
时， S 有最大值，最大值为多少？
【观察与思考】 容易知道 S 是 x的函数，为利用函数的性质求 S 的最大值， 就应先把 S 关于 x 的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。
解：如图（ 1`），延长 FE 交 DC 的延长线于 G , 易知 FG DG 。
（1 （ 1）
1 S EF DG ，而 EF BE sin B
（3）如图 3， AOB 45°， P 是 AOB 内一点， PO 10 ， Q 、 R 分别是 OA、 OB 上
的动点，求 △ PQR 周长的最小值．
A
P A
B l
B E
AP
C
D 图1Βιβλιοθήκη Baidu
（第 1 题）
A
C
O P
B
O 图2
B
R
P
Q
A
图3
例 2 如图（ 1）所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A, B ，已知 AB 10 千
点
⑤利用 a、t 范围， 运用不等式
画图，再探究（按边相等
求出 a、t 的值。
分类讨论）
近几年共同点：
①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）
；
④求直线、抛物线解析式；
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
小类知识归纳：
例 6 （ 2009 年漳州中考 ）如图 8，
，是
内一点，
，
、 分别是 和 上的动点，求
周长的最小值。
解析：分别作 关于 、 的对称点 、 ，连接 ，则
，
当 、 在线段
上时，
周长最小，
∵
，
∴
。则
周长的最小值为
例 7 （ 2009 年恩施中考 ）恩施到张家界高速公路
与沪渝高速公路
垂直，如图 9
建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（
例 5 （ 2009 年陕西省中考 ）如图 6，在锐角
中，
，
，
的平分线交 小值为 4 。
于点 ， 、 分别是
和 上的动点，则
的最
解析：角平分线所在直线是角的对称轴，
，
作
于 ，交 于 ，
∵
，
上动点 关于 的对称点 在 上，
，当
时，
最小。
∴
作
交 于，
3.“ |定动 |+|动动 |+|动定 |”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。
连结
,在
中，
，
。 ，则
故
的最小值为
例 2 （ 2009 年济南市中考题 ）如图 3，已知：抛物线
称轴为
，与 轴交于 、 两点，与轴 交于点 ，其中
，
的对 。
（ 1）求这条抛物线的函数表达式；
（ 2）已知在对称轴上存在一点
，使得
的周长最小，请求出点 的坐标。
解析：（ 1）对称轴为
，
，由对称性可知：
。根据 、 、
P 的位置（不用证明，不写作法A，保留作图痕迹）
，
B
M
N
C
O
【观察与思考】 对于（ 1），直接归于几何计算。 对于（ 2），首先利用“轴对称”的性质， 把原题中的求“ PA PB ” 最短，转化成求“ 的对点。
PA ' PB ”最短（其中 A' 是 A 关于 MN
A
解：（ 1）先作 AD 垂直于 MN 于点 D 如图（ 1`）
【说明】 可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。
A
F
B
E
D
C G
三、利用几何模型求最值 （1）归入“两点之间的连线中，线段最短”
例 1、几何模型：
条件：如下左图， A 、 B 是直线 l 同旁的两个定点． 问题：在直线 l 上确定一点 P ，使 PA PB 的值最小． 方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A ，连结 A B 交 l 于点 P ，则 PA PB A B 的值最
中，
，
，
交 轴于 ，交 轴于 。
，而
∴ 四边形
的周长最小值为：
大类考题总结：
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：
Ⅰ、归于函数模型： 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，
确定某范围内
函数的最大或最小值
Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：
（ 1）归于“两点之间的连线中，线段最短” 。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”
，
。
（ 1）连接
交 轴于点 ，连接 ，此时
的周长最小。 由
可知
，那么
，则
。
（ 2）将 向左平移 2 个单位（
）到 点，定点 、 分别到动点 、 的距
离和等于为定点 、 到动点 的距离和，即 点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。
在 上截取
，连接
交 轴于 ，四边形
。从而把“两个定 为平行四边形，
①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积是定 值 ④探究等腰三角形存在性
①菱形是含 60°的特殊菱形； ① 观 察 图 形 构 造 ①直角梯形是特殊的（一
△AOB是底角为 30°的等腰三 特 征 适 当 割 补 表 底角是 45°）
角形。
示面积
②点动带动线动
②一个动点速度是参数字母。 ② 动 点 按 到 拐 点 ③线动中的特殊性（两个
。
例 4 (2010 年天津市中考 )在平面角坐标系中，矩形
的顶点 在坐标原点，顶
点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，
，
， 为边 的中点。
（ 1）若 为边 上的一个动点，当
的周长最小时，求点 的坐标；
（ 2）若 ， 为边 上的两个动点，且
，当四边形
的周长最小时，
求点 ， 的坐标。
解析：作点 关于 轴的对称点 ，则
一、问题原型：
如图 1-1，要在燃气管道 上修建一个泵站， 分别向 、 两镇供气，泵站修在管道的什 么地方，可使所用的输气管线最短？
这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法： 对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变）， 确定动点位置，计算线路最短长度。 三、一般结论：
时，大都应用这一模型。
（ 2）归于“三角形两边之差小于第三边” 凡属于求 “变动的两线段之差的最大值” 时，
大都应用这一模型。
二、 利用函数模型求最值
例 1 、如图（ 1），平行四边形 ABCD 中， AB 4, BC 3, BAD 120 ，E 为 BC 上一
动点（不与 B 重合），作 EF AB 于 F ，设 BE x, DEF 的面积为 S. 当 E 运动到何处
③探究相似三角形时， 按对应 时间分段分类
交点 D、E 是定点； 动线段
特
角不同分类讨论；先画图，再
③ 画 出 矩 形 必 备 PF长度是定值， PF=OA）
探究。
条 件 的 图 形 探 究 ④通过相似三角形过度，
④通过相似三角形过度， 转化 其存在性
转化相似比得出方程。
相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先
三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：
（ 2） 与 关于对称轴
对称，连结
， 与对称轴交点即为所求
点。
设直线
解析式为：
。把
、
代入得，
。
当
时，
，则
2.两个定点 +两个动点。 两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不 变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。
在 Rt OBC 中， OB 2BC 6 （千米）
N
在 Rt AOD 中， AO AB BO 16 （千米） AOD 30 1
AD AO 8（千米） 2
（2）作点 A 关于 MN 的对称点 A' ，连结 BA '交 MN 于点 P 。
结果如图（ 1``），点 P 即为所求。 如图（ 1``），作 CA' ' // BA' 交 AA' 的延长线于点 A' ' 。 在 Rt CA' ' D 中， A'' D AD BC 11 （千米），
( 在线段
上时取等号 )（如图 1-2 ）
线段和最小，常见有三种类型：
（一）“ |定动 |+|定动 |”型：两定点到一动点的距离和最小
通过轴对称， 将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个， 映射到直线的另一侧， 当
动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，
由“两点之间线段最短” 可知线段和的最
小值，最小值为定点线段的长。
小（不必证明） ． 模型应用：
（1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点． 连结 BD ， 由正方形对称性可知， B 与 D 关于直线 AC 对称．连结 ED 交 AC 于 P ，则 PB PE 的最
小值是 ___________；
（2）如图 2， ⊙O 的半径为 2，点 A、 B、C 在 ⊙O 上， OA OB ， AOC 60°， P 是 OB 上一动点，求 PA PC 的最小值；
米，直线 AB 与公路 MN 的夹角 AON 30 , 新开发区 B 到公路 MN 的距离 BC 3 千米。
（1）求新开发区 A 到公路 MN 的距离；
（2）现从 MN 上某点 P 处向新开发区 A, B 修两条公路 PA, PB ，使点 P 到新开发区 A, B 的
距离 之和最短，请用尺规作图在图中找出点 并求出此时 PA PB 的值。
1.两个定点 +一个动点。
如图 1-3，作一定点 关于动点 所在直线 的对称点 ，线段 （ 是另一定点）
与 的交点即为距离和最小时动点
位置，最小距离和
。
例 1（ 2006 年河南省中考题 ）如图 2，正方形
是对角线
上一动点，则
的最小值是
的边长为 ， 是 的中点， 。
解析： 与 关于直线
对称，连结
，则
中考数学动点最值问题归纳及解法
最值问题是初中数学的重要内容， 也是一类综合性较强的问题， 它贯穿初中数学的始终，
是中考的热点问题， 它主要考察学生对平时所学的内容综合运用， 无论是代数问题还是几何
问题都有最值问题， 在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论
（如两点之间
线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）
）和世界级自然保护区星斗山（
）位于两高速
公路同侧，
， 到直线 的距离为
， 到直线 和 的距离分别为
和
。请你在 旁和 旁各修建一服务区
边形的周长最小，并求出这个最小值。
、 ，使 、 、 、 组成的四
解析：作点 关于 轴的对称点
，点 关于 轴的对称点
，连接
，
。当
、
在线段
上时，
最小。 过 、 分别作 轴、 轴的平行线交于 。在
下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”
。此时
值最小，则四边形
的周长最小。
由
、
可求直线
解析式为
，当
时，
，即
，
则
。（也可以用（ 1）中相似的方法求 坐标）
（二）“ |动定 |+|动动 |”型： 两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。 利用轴对称变换， 使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上 （两点之间线段最短） ， 且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线 （连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。