高等数学 极限的运算法则与性质
高等数学极限求法总结
04 极限求法之洛必达法则
洛必达法则基本思想
利用导数求解极限
在一定条件下，通过分子分母分别求导的方式，简化极限运 算。
转化无穷大比无穷大型
对于0/0型或∞/∞型的极限，通过洛必达法则可转化为其他 类型进行求解。
适用条件及典型例题
适用条件
适用于0/0型和∞/∞型的极限，且分子分母 在求导后极限存在或为无穷大。
05 极限求法之泰勒公式法
泰勒公式基本概念及展开式
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个在闭区间上可导的函数展开成多项式 的形式。
泰勒展开式
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! * (x-a)^2 + ... + f^n(a)/n! * (x-a)^n + Rn(x)，其 中Rn(x)为余项。
适用于连续函数情况
连续函数定义
若函数在某点的极限值等于该点的函 数值，则称函数在该点连续。对于连 续函数，我们可以直接将其自变量代 入函数表达式来求解极限。
适用范围
直接代入法适用于一元和多元函数的 极限求解，但要求函数在求极限的点 是连续的。
注意事项及典型例题
注意事项：在使用直接代入 法求极限时，需要注意以下
该方法不需要复杂的数学变换和技巧，易于掌握。
缺点
直接代入法仅适用于连续函数的极限问题，对于非连续函 数或复杂函数可能无法求解。
在某些情况下，即使函数在求极限的点连续，直接代入也 可能导致分母为零等无法计算的情况，需要结合其他方法 进行处理。
03 极限求法之因式分解法
适用于多项式函数情况
0/0型极限
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。
下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。
同济大学《高等数学》(第四版)1-6节 极限的运算法则
3
x→2
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + ⋯ + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + ⋯ + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
n −1
+ ⋯ + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
1 2 n 1+ 2 +⋯+ n lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
sin x 例6 求 lim . x→∞ x
高等数学1-4极限的运算法则
说明：此公式形式多样；有时需区分正负 例题 计算
(1) lim arctan e x , lim arctan e x , lim arctan e x
x x x
1 1 1 (2) lim arc cot , lim arc cot , lim arc cot x 0 x x 0 x x 0 x
问答：P45-1（4，6，14） 作业：P45-1（1，2，3，15）
讨论：如果两个函数极限都不存在，那么 二者和差积商的结果如何呢？ 例 P46-5（ B）
三． 复合函数极限法则P47
定理2. 设 lim g ( x) u，则 0
x x0
x x0
lim f ( g ( x)) lim f (u )
小结 一、确定型 1.代入 2.四则运算、复合运算 3.无穷小、无穷大小关系 二、未定型 1.0/0 消零因子 2. ∞/∞ 同除∞ 3. ∞-∞ 通分、有理化
讨论：下列运算错在何处 ？
1 1 1 (1) lim sin x cos lim sin x lim cos 0 lim cos 0; x0 x0 x0 x x0 x x
第四节 极限的运算法则
一 、无穷小与无穷大 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
一、无穷小与无穷大P37
定义1：在自变量x的某一变化过程中，如
果函数f(x)的极限是0，那么就称f(x)是x的这 一变化过程中的无穷小
定义2：在自变量x的某一变化过程中，如
果函数f(x)的绝对值无限增大，那么就称f(x) 是x的这一变化过程中的无穷大，记为 lim f ( x)
高等数学极限方法总结_2
一、 极限定义、运算法则和一些结果1. 定义: （各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述）。
说明: （1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明, 例如: ； ； ；等等（2）在后面求极限时, （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。
2. 极限运算法则定理1 已知 , 都存在, 极限值分别为A, B, 则下面极限都存在, 且有 （1）（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B BA x g x f 说明: 极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。
3. 两个重要极限（1） 1sin lim 0=→xx x （2） e x x x =+→1)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明: ( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。
一定注意两个重要极限 成立的条件。
例如: , , ；等等。
4. 洛比达法则定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当 时, 下列函数都是无穷小（即极限是0）, 且相互等价, 即有:x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。
说明: 当上面每个函数中的自变量x 换成 时（ ）, 仍有上面的等价关系成立, 例如: 当 时, ～ ； ～ 。
定理4 如果函数 都是 时的无穷小, 且 ～ , ～ , 则当 存在时, 也存在且等于 , 即 = 。
5. 洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时, 函数 和 满足: （1） 和 的极限都是0或都是无穷大；（2） 和 都可导, 且 的导数不为0；（3）)()(lim x g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限 也一定存在, 且等于 , 即 = 。
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
高等数学教案(极限部分)3 函数极限的性质与计算
2
12
于是对 0, 只要取 min{ 1 , 2 } 0, 则当 0 | x x0 | , 恒有
| B g( x ) | | B g( x ) | 1 1 g( x ) B | g( x ) | | B | (| B | / 2) | B |
22
例
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
解 当 n 时，这是无穷个无穷小的和，
不能直接用 “和的运算法则 ”，
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim (1 ) . lim 2 n 2 n 2 n n
3
x2
17
例
4x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0, 除法法则不能用, x 1
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 3 4x 1
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
23 1 7 x 1 x2 lim 2 x2 2 . x2 x 3 x 5 3 lim( x 3 x 5) 3
3
lim x lim1
23
例 解
sin x 求 lim . x x
y
sin x x
当 x 时，
1 0, x
而 sin x是有界函数.
sin x lim 0. x x
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。
以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：1. 极限的四则运算性质：lim(a+b) = lim a + lim blim(a-b) = lim a - lim blim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)2. 极限的常数性质：lim a = a (当a是一个常数)3. 极限的单调性：lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)4. 连续函数的性质：如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x05. 无穷小量与无穷大量：当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
9. 无穷大与无穷小的关系：lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）10. 极限的唯一性：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - A < ε。
《应用高等数学》极限的四则运算法则
《应用高等数学》极限的四则运算法则应用高等数学中的极限的四则运算法则是指在计算数列或函数极限时，可以利用四则运算的运算规则进行运算，以便更方便地求出极限值。
四则运算法则主要包括极限和、极限差、极限积和极限商四种情况。
1.极限和法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的和函数[f(x)+g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的和，即：lim (x→a) [f(x) + g(x)] = lim (x→a) f(x) + lim (x→a) g(x) 2.极限差法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的差函数[f(x)-g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的差，即：lim (x→a) [f(x) - g(x)] = lim (x→a) f(x) - lim (x→a) g(x) 3.极限积法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，则它们的积函数[f(x)*g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的积，即：lim (x→a) [f(x) * g(x)] = (lim (x→a) f(x)) * (lim (x→a)g(x))4.极限商法则：若函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且g(x)≠0，则它们的商函数[f(x)/g(x)]在点x=a处也存在极限，且极限等于两个函数在点x=a处极限的商，即：lim (x→a) [f(x) / g(x)] = (lim (x→a) f(x)) / (lim (x→a) g(x))需要注意的是，上述四则运算法则只适用于函数在点x=a处极限存在的情况，且在使用这些法则时应保持合理性，并且注意避免除以零等错误操作。
这些四则运算法则在高等数学中被广泛应用于求解各种极限问题，通过利用这些法则，可以更简洁、方便地求出函数的极限值，从而帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
高等数学 第二章 极限和导数25极限的运算法则PPT课件
x2
x 2
x 2 x 2
幂的极限 等于极限
的幂
2(lim x)225
x 2
22235
li( m a 0x n a 1x n 1 a n )
结论： x x 0
a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n
例2 xl im2x2x33x15.
解 lim (x23x5)lim x2lim 3xlim 5
结论xl ：imx0xRli(mxx0)R(xxxli)mxx 00 R Q((xx0)) (QPQ (( xx(00x))0)R0(x)0)
注 若 Q(x0)0, 不能直接用商的运算法则 . 请看下例:
例3
求x l im 1x2 x2 x13.
（
0 0
型）
解lim (x22x3) 0, 商的极限法则不能直接用
x x 0
x x 0
lim [f(x)g(x) ]AB
x x0
lim f(x ) lig m (x )
x x 0
x x 0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
lim [f(x)n ][lim f(x)n ]
x x0
x x0
—— 幂的极限等于极限的幂
思考题 在某个过程中，若 f (x有)极限， g(x无) 极限，
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限.
解
xl im 27xx3334xx2215
lim (2
x
lim (7
x
3 x 4 x
5
x3 1
x3
) )
2. 7
lim
x
2 7
3
x 4
x
5
x3 1
高等数学重要极限公式
高等数学重要极限公式高等数学中有许多重要的极限公式，它们在研究函数的性质、计算数列的极限以及求解微分方程等方面起着重要的作用。
下面将介绍一些常见的重要极限公式。
1.基本极限在高等数学中，有几个基本的极限公式是最为重要和基础的，它们分别是：-极限的唯一性：若函数f(x)当x趋近于实数a时有极限L，那么这个极限是唯一确定的。
-无穷小的运算法则：若x趋于0时，x和y的和、差、积都趋于0，则称y为x的一个无穷小，记作y=o(x)。
-乘积的极限法则：若f(x)、g(x)分别当x趋于实数a时有极限L1、L2，那么f(x)g(x)当x趋于实数a时有极限L1L2-分积的极限法则：若f(x)、g(x)分别当x趋于实数a时有极限L1、L2，并且L2≠0，那么f(x)/g(x)当x趋于实数a时有极限L1/L22.三角函数的极限- 当x趋于0时，有sin(x)/x=1- 当x趋于0时，有tan(x)/x=1- 当x趋于正无穷时，有lim{(1+1/x)^x}=e。
- 当x趋于0时，有1-cos(x)/x^2=1/23.自然对数函数的极限- 当x趋于0时，有ln(1+x)/x=1- 当x趋于正无穷时，有lim{(1+1/n)^n}=e。
4.指数函数的极限- 当x趋于正无穷时，有lim{(1+1/x)^x}=e。
- 当x趋于0时，有lim{(1+x)^1/x}=e。
5.常用无穷大函数的极限- 当x趋于正无穷时，有lim{ln(x)/x}=0。
- 当x趋于正无穷时，有lim{x^a/e^x}=0，其中a为常数。
6. 函数的Taylor展开式Taylor展开式为复杂函数在其中一点附近用多项式逼近的展开式。
当x接近a时，函数f(x)的n阶Taylor展开式可表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，以此类推。
高数1-3-1极限的四则运算法则
1 1 1 2 lim[(1 2 )(1 2 ) (1 2n )] n 2 2 2
2 lim[(1
n
=
1 2
2n
)(1
1 2
=
2n
)]
=
2 lim(1
n
1 2
2
n 1
)
2
高 等 数 学
Higher mathematics
8.利用左右极限求分段函数极限
证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 有
f ( x) A , g ( x) B , 其中 , 为无穷小
设
A A 1 ( B A ) B B B ( B ) 无穷小
有界
f ( x) A 因此 为无穷小, g ( x) 1 B 1 2 由极限与无穷小关系定理 B , 得 g ( x) B
x 2 5 x 4 12 5 1 4 lim 2 1 3 0 x1 2 x 3
解: (4)x = 3 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
32 5 3 6 2 0 3 3 3 10
高 等 数 学
Higher mathematics
0 , 0 , 当 0 u a 时, 有 f (u) A 对上述 2 0 , 当 0 x x0 2 时, 有 ( x) a
高 等 数 学
Higher mathematics
定理5. 设
且 x 满足 则有
时,
( x) a , 又
x,
无穷小分出法:以分母中自变 量的最高次幂除分子、分母, 以分出无穷小,然后再求极限.
高等数学极限的运算法则与性质
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
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例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
13
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3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
14
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问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
知识点总结高数一
知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。
数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。
函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。
极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。
2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。
3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。
无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。
在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。
4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。
连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。
二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。
求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。
2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。
微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。
4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。
三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。
极限的运算法则
C
f
x
C
lim xx0
f
x
C
A
，C为常数
;
(3)
lim
xx0
f g
x x
lim
xx0
lim
f g
x x
A Bபைடு நூலகம்
， B
0 。
xx0
说明:
(1)使用这些运算法则的前提是自变量的同一变化过程中f x 和 g x
的极限都存在；
(2) 上述运算法则对于 x 等其他变化过程也同样成立;
(3)法则1,2可推广到有限个函数的情况，于是有
x1 x 1 x1
x 1
x1
例1.4 求
x4
。
x 5 3
解 当 x 4 时， x 5 3 0 ，不能直接用商的极限运算法则，
但可采用分母有理化消去分母中的零因子。
lim x 4 lim x 4 x 5 3 x4 x 5 3 x4 x 5 3 x 5 3
lim
n
2
3 n
4 n2
1 2
。
例1.6 求
lim
x
x2 2x3
3x x2
1 5
。
解 仿照例1.5 ，分子、分母同除以分子、分母中自变量的最高次幂，得
x2 3x 1
lim
x
2x3
x2
5
lim x
1 x
3 x2
1 x3
2
1 x
5 x3
0 2
0
。
例1.7 求
lim
x1
1 x 1
2 x2
1,
2n2
3n 4 n2
2
3 n
4 n2
高等数学(第2版)课件：极限运算
无穷小与基无本穷大信息
定理1.3.2 设 ~ ', ~ ',且lim ' 存在，则 '
lim
lim(
'
' '
')
lim
'
lim
' '
lim
'
lim
' '
.
注: 1、在求无穷小之比的极限时，分子和分母可以用等价无穷小替代.
x
x
("1 "型)
注：1、"1 "型.
2、推广：lim (1 ( x)
) 1 ( x)
(x)
e
1
lim (1 z) z e.
z 0
3、应用公式求"1 "型函数的极限的方法：凑幂法.
例2
lim(1 t
)1 t
t
lim t
1 (1 1)t
t
一、无穷小 定义1.3.1
无穷小与基无本穷大信息
如 : n : 1 , qn (| q | 1); n
定理1.3.1 在自变量同一变化过程中,
(1) 若 f (x) 是无穷小，且 f (x) 0, 则 1 是无穷大; f (x)
(2) 若 f (x) 是无穷大，则 1 是无穷小. f (x)
如 : x : lim x , lim 1 0.
x
x x
无穷小与基无本穷大信息
例
:
求极限
lim
x1
x0 x
t0
t ln(1 t)
例：
sin x
高等数学极限知识点总结
高等数学极限知识点总结
以下是高等数学极限知识点总结：
1. 极限的定义：极限是描述函数在某一点的行为的数学工具。
它包括数列的极限和函数的极限。
2. 极限的性质：包括唯一性，有界性，和收敛性。
3. 极限的四则运算法则：如果lim f(x)，lim g(x)存在，那么对于加减乘除四种运算，极限都存在。
4. 极限的夹逼定理：如果一个数列被两个已知极限的数列夹在中间，那么这个数列的极限就是这两个数列的极限。
5. 函数极限的运算法则：如果lim f(x)存在，那么lim [f(x) + c] = lim f(x) + lim c，lim [f(x) c] = lim f(x) lim c，其中c是一个常数。
6. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是一个趋于0的变量，无穷大是一个趋于无穷的变量。
7. 洛必达法则：当分子和分母的极限都存在时，可以求出函数的极限。
8. 泰勒级数：将一个函数表示为其各阶导数的无限和的方法。
9. 单侧极限和双侧极限：函数在某一点的单侧极限是指函数在该点的左侧或右侧的极限；双侧极限是指函数在这一点左侧和右侧的极限。
10. 连续性和可微性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续；如果一个函数在某一点的导数存在，则称该函数在该点可微。
以上就是高等数学极限的基本知识点，希望对你有所帮助。
1_2_3 极限的性质与运算 高等数学 微积分 考研数学
再利用后一极限式 , 得
可见
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
故
Page 18
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
Page 15
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
Page 6
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有
f x A , gx B Bf x Ag x Bg x
Bf x AB AB Ag x
x1
2
Page 14
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
(1) 函数极限法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
0 (x) a u a
故
f (u) A , 因此①式成立Page. 12
定理6. 设
且 x 满足
时,
(x) a , 又 lim f (u) A, 则有 ua
大学高等数学 极限部分复习
∴ y = x − 2为曲线的斜渐近线 .
七、方程的根的存在性与根的个数
例1 证明方程 x5 − 5x + 1 = 0 有且仅有一个小于
1的正实根.
证 设 f ( x ) = x 5 − 5 x + 1,
f ( x ) = e x − (ax 2 + bx + c )
直接证明有困难， 直接证明有困难，采用反证法 设 f ( x ) = 0 有四个实根 x1 < x2 < x3 < x4
记
连续、 f ( x ) = e x − (ax 2 + bx + c ) 连续、可导
对 f ( x ) 在[ x1 , x2 ],[ x2 , x3 ],[ x3 , x4 ] 用罗尔定理得
2
1 sin x 1 ( + x cos ) = 1 = lim x → 0 1 + cos x x x 2
四、洛必达法则
洛必达法则
∞ − ∞型
f −g= 1 g −1 f 1 g⋅1 f
0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
0 型 0 ∞ 型 ∞
令y = f g 取对数
0⋅ ∞ 型
f ⋅g= f 1g
1 = 6
练习2. 练习2. 求
1 解: 令 t = , 则 x
原式 = lim
t→0
1+ 2t − 2 1+ t +1 t
2
= l1 2
− (1+ t) 2t
−1 2
= lim
高等数学(第二版)上册课件：极限的运算法则
lim(2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 x
1 x2
)
.
lim(5
x
4 x
3 x2
)
=2 5
例1.4.7 解
求 lim x 2 x x3 4x
x2
lim
x
x3
4x
lim x
1 x2
2 x3
1
4 x2
0 0 1
一般地，设a0 0，b0 0, m，n为正整数，则
lim a0xm a1xm1 x b0 xn b1xn1
f x A ，即 x 0 .
由极限的定义可知，lim x 0，即 x x x0
是x x0时的无穷小量，且f x A x
充分性 若当x x0时， x是无穷小量，则极限为0，
对于 0， 0，当x U x0 , 时，有
x 0 ，即 f x A .
由极限定义可知，lim f x A. x x0
AB A x B x x x.
由无穷小的性质及其推论可得
lim[B x] 0，lim[A x] 0，lim［ x x］ 0.
故由无穷小量与函数极限的关系定理可知
lim f x g x A B lim f x lim g x
（上述定理1.4.2中第1，2可推广到有限项）.不难推得下面的结论.
如果 lim x xx0
u,
且在x0的一个去心领域内，
x
u0 ,
又 lim f u A, 则 lim f x A
u u0
x x0
即
例1.4.10 求 lim esin 2x x0
． 解 因为 lim sin 2 x 0 , limeu 1
x0
u0
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16
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思考题解答
没有极限．
假设 f ( x ) g ( x ) 有极限， f ( x ) 有极限，
由极限运算法则可知：
g( x)
f (x)
g ( x ) f ( x )
必有极限，
与已知矛盾，
故假设错误．
17
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内容小结
一、极限的运算法则
使得当 0 x x 0 时， 有 f ( x ) M .
2. 函数极限的唯一性
定理
14
若 lim f ( x ) 存在, 则极限唯一.
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3. 函数极限的局部保号性
如果 lim f ( x ) A , 且 A 0 ( 或 A 0 ), 那么
x x0
f [ ( x )] 当 x x 0 时的极限也存在，且
u a
lim f [ ( x )] lim f ( u ) A .
意义：
x x0
lim f [ ( x )]
令 u ( x)
a lim ( x )
x x0
lim f ( u )
u a
11
第一章
第三节
函数与极限
极限的运算法则与性质
主要内容：
一、极限的运算法则
二、极限的性质
1
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一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) ( 2) ( 3) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; lim[ f ( x ) g ( x )] A B; lim f ( x) g( x ) A B , 其中B 0.
1
x1
2x 3
.
.
x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
(
0 0
型)
先约去零因子
lim x x
2 2
x 1后再求极限
( x 1 )( x 1 ) ( x 3 )( x 1 )
.
1
x1
2x 3
lim
x1
lim
x 1 x 3
x1
1 2
x 0
解
lim
x 0
x 0 是函数的分段点
f ( x ) lim ( 1 x ) 1 ,
x 0
, 两个单侧极限为
y
y 1 x
lim
x 0
f ( x ) lim ( x
x 0
2
1 ) 1,
1
y x 1
2
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x ) 1 .
22
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lim
a0 x
m n
a1 x
m 1 n 1
am bn
x
b 0 x b1 x
8
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例4
求 lim (
n
1 n
2
2 n
2
n n
2
).
．
解
n 时 , 是无限多个无穷小之和
先变形再求极限.
lim (
n
1 n
2
1
2 n
e
1
x 1;
(2)
lim arcsin x ;
x 1 2
2
( 3 ) lim e
n
n
2
;
( 4 ) lim ln cos x ;
x
4
( 5 ) lim
x1 x1
3 x
x1
; ( 6 ) lim
x a
x
a
xa
.
21
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课后练习 P49. 1、2、5.
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例6
求 lim ln sin x .
x
2
解
令 u sin x
因为 lim sin x ＝1
x
2
故原式
lim ln u
u 1
＝ ln 1
0．
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12
求极限类型小结
1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极
2
n n
2
) lim
1 2 n n
2
n
n(n 1) n
2
lim 2
n
lim
1 2
n
(1
1 n
)
1 2
.
9
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1 x, 例5 设 f ( x ) 2 x 1,
x 0 x 0
, 求 lim f ( x ).
x 2 x 2 x 2
2 2 3 2 5 3 0,
lim
x x
2
3
1
lim ( x 1 )
3
x 2
3x 5
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x 2
lim ( x 3 x 5 )
2 x 2
2 1
3
7 3
.
3
结束
4
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小结:
x x0
1. 设 f ( x ) a 0 x
, 且 Q ( x 0 ) 0,
则有
x x0
lim
f (x)
x x0
lim P ( x )
P ( x0 ) Q( x0 )
x x0
lim Q ( x )
f ( x 0 ).
若 Q ( x 0 ) 0,
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则商的法则不能应用
.
5
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解
x x
2
2
n n
3
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二、求极限方法举例
例1 求 lim 解
lim ( x
x 2
x x
2
3
1
x 2
3x 5
.
2
2
3 x 5 ) lim x
x 2 2
lim 3 x lim 5
x 2 x 2
( lim x ) 3 lim x lim 5
x x0
n
n
a1 x
n1
a n , 则有
n1
lim
f ( x ) a 0 ( lim x ) a 1 ( lim x )
n x x0
an
a0 x0
a1 x0
n1
a n f ( x 0 ).
2. 设 f ( x )
P(x) Q(x)
1、极限的四则运算法则；
2、复合函数的极限运算法则。
二、极限的性质
1、唯一性；
2、局部有界性；
3、局部保号性。
18
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习题演练
1、 设 f ( x ) [ x ], 求 f ( 1 ) 和 f ( 1 )。
2 、求函数
f (x)
x x
, g( x)
x x
当 x 0 时的左右极限，
2
x
x x1
4
;
( 5 ) lim
( x h) x h
2
h 0
;
1 1 1 . ( 6 ) lim n 1 2 2 3 n n 1
20
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4、 算 列 限 计 下 极 ：
x
( 1 ) lim
x 0
并说明它们在
x 0 时的极限是否存在。
19
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3、 下 极 ： 求 列 限
x 2x 2
2
( 1 ) lim
x 1
x 1
2
;
( 2 ) lim
x 2x 1
2
x1
x 1
2
;
( 3 ) lim
x 1
2
x
2x x
2 2
;
( 4 ) lim
x x
3x 4x
2 2
5 1
x
lim
x
2 7
.
7
3
7
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小结:当 a 0 0 , b 0 0 , m 和 n 为非负整数时有
a0 ,当 n m , b 0 0,当 n m , ,当 n m ,
限;
b.消去零因子法求极限;
c.同除最大者法求极限;
d.利用左右极限求分段函数极限. e.利用无穷小运算性质求极限;