结构力学 极限荷载

3、平衡条件 当荷载达到极限值时，作用在结构整体上或任意局部上的所有的力
都必须保持平衡。
第15章
三、三个定义
1、可破坏荷载（p+) 对任意单向破坏机构，根据平衡条件求得的荷载。它满足机构条件
和平衡条件。
2、可接受荷载屈服条件（p-) 根据静力可能而又安全的内力分布求得的荷载。它满平衡条件和屈
服条件。
p1M u
p2
B
Mu2
不可能出现，为什么？
Mu
p1
p2
B
Mu
机构（一）M 图情况
Mu
p1
p2
B
Mu
机构（二）M 图情况
第15章
15.3 确定极限荷载的几个定理
一、几点假设 1、比例加载 a) p1 1 p, p2 2 p, , pn n p b) q1 1q, q2 2q , , qn nq 2、小变形假设（几何线形），变形后仍用变形前的几何尺寸。 3、略去弹性变形（弹塑性材料，刚塑性变形。）
q
ql2/8
h b
应力

s
s
s
应变

s
塑性区
三、基本假设 1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、拉压时，应力、应变关系相同。 3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。
y
卸载时有残余变形

第15章
15.2 极限弯矩、塑性铰、破坏机构
一、屈服弯矩与极限弯矩
1、屈服弯矩（Ms): 截面最外侧纤维的应力达到流动极限时对应的弯矩。
（4）极限状态
qu2 qu1
Mu
Mu
第15章
2、确定单跨梁极限荷载的机动法
q
l
A

Mu
x
qu
x l 2 2
dx C Mu

B
Mu
临界状态时，由虚功方程：
l
2
2 0
x
qudx

Mu


Mu


Mu
2
1 4
l 2

qu

4 M u

qu

16M u l2
第15章
3、确定单跨梁极限荷载的静力法
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
天津城市建设学院力学教研室
第15章 梁和刚架的极限荷载
一、弹性分析
15.1 概述
材料在比例极限内的结构分析（利用弹性分析计算内力），以许 用应力为依据确定截面或进行验算的方法。 q

A
pe s
h
A
B
b
l ql2/8
o

s———流动极限（屈服极限）

s
Mu
A1 s
A1 s
A1 s
A1 s
y1 y2
•
h
•
•
•



A
C
b A2 s
A2 s
A2 s
A2 s
第15章
二、塑性铰 1、塑性铰的概念
qu
B
A
C
Mu
C
2、塑性铰的特点（与机械铰的区别） （1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩； （2）普通铰双向转动，塑性铰单向转动； （3）卸载时机械铰不消失；当q＜qu，塑性铰消失。
机构（4）
Mu
结论：机构（1）、（2）不会出现，各跨可单独考虑。
q
x
q
q
第15章
弯矩（M）、剪力（Q）与荷载集度 (q) 关系:
q
0A
B
ql x dx
ql
2
l
2
q( x)
M N
M+dM N+dN
Q Q+dQ
dx
q( x) q
q
q
x
y0
ql 2
ql
x
M 0
Q( x) ql qx 2
或：“极限荷载是唯一的”
15.4 超静定梁的极限荷载
一、确定极限荷载的三种方法
1、机动法
2、静力法
3、试算法 二、机动法
1、依据：机动法是以上限定理为依据的。 2、步骤：先假设出所有的破坏机构，而后利用虚位移原理计算出 各机构相应的极限荷载。依据上限定理，这些可破坏荷载中的最小者 即为极限荷载。 二、试算法 1、依据：试算法是以单值定理为依据的。
3、极限荷载（pu) 同时满足机构条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既是可破坏荷
载，又是可接受荷载。
第15章
四、确定极限荷载三个定理
1、上限定理（亦称“机动定理”、或“极小定理”)
对于比例加载作用下的给定结构，按任意可能的破坏
机构，由平衡条件求得的荷载将大于或等于极限荷载。
或：“可破坏荷载的最小值是极限荷载的上限”。 p
矩形截面： Ms
h
2 h
(
)

bdy

y

2
h
2 h
2

y h
2


s


bydy
h

2b s h

y3 3
2 h

bh2 6
s
圆形截面：
Ms

d3
32

s
2
s

y
dy
s
b
h 2
hx
2
y
2、极限弯矩（Mu): 整个截面达到塑性流动状态时，对应的弯矩。
C
D
机构1 机构2 机构3 机构4
a a a 2a a a
p
p Mu
q 2pa
1.2 p
2

Mu 3
p
p
2
Mu
q 2pa
1.2 p

Mu 3
pp
Mu
q 2pa
1.2 p
Mu

2
Mu
pp
q 2pa
1.2 p
Mu
2
Mu
解：
机 构 （1）
p1 2a p1 a Mu Mu 3
2a
aa a
(b)当M为 负 值 时 ， 曲 率 为 正 值。
x
1.1 p
p
Mu
M
M
y
Mu
(2)分析弯矩与荷载集度 (q)关系:
机构（3）
d2M
dx2 q
1.1 p
Mu
p
(a )当q为 正 值(向 下 ） 时 ， 曲 率 为 负 值；
(b)当q为 负 值(向 上 ） 时 ， 曲 率 为 正 值。
qu2
Mu
Mu
Mu
4、不计剪力、轴力对极限荷载的影响
5、正负极限弯矩值相等
Mu Mu
第15章
二、结构极限状态时应满足的三个条件
1、机构条件 当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性铰，而使结构变
成机构。
2、屈服条件 当荷载达到极限值时，结构上各截面的弯矩都不能超过其极限值。
Mu M Mu
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
qu1
qu2
Mu1
Mu1 Mu2 qu1 qu2
Mu2
Mu2
第15章
四、如何确定单跨梁的极限荷载
1、机理
q
qu1
ql 2
12
ql 2
24
（1）弹性阶段
qs
ql 2
Mu
12
qu1l 2 12

Mu
qu1l 2 Mu 24 2
Mu
qu1l 2 12
16 3
工 字 形 截 面 ： 1.15
4、截面达到极限弯矩时的特点
极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依
据这一特点可确定极限弯矩。
p
矩形截面：
A
C
Mu A1 s y1 A2 s y2
B

2 (b
h 2

h )
4
s

bh2 4
Q
2
x
ql 2
M
8 M( x) ql x q 1 x2
2
2
dQ q( x) dx
dM Q( x) dx d2M dx2 q( x)
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。
1.1 p
p
解法1：
A
B
C 试 取 机 构 （1）
D
E
1.1p1 2a Mu 3 Mu 2
Mu a
解：试算法
试 取 机 构 （1）
p1 2a p1 a Mu Mu 3
p1

1.33
Mu a
绘出与机构（1）相应的M图，
验算屈服条件：
MG

1 ( 2 p1 )(2a)2 8a

1 2
Mu

1 8

2 1.33 a
Mu a
(2a)2
2a
aa a
1.1 p
p
Mu
p1

2.27
Mu a
绘出与机构（1）相应的M图，
验算屈服条件：

2
3
Mu
机构（1）
1
1
M EC 4 p1 2a 2 Mu

1 4
(2.27
Mu a
)
2a

1 2
Mu
1.1 p Mu
p
0.635Mu Mu
经验算各截面弯矩值满足屈服条件，
Mu M图
M EC

pu

2.27
Mu a
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。
1.1 p
p
解 法2：
A
B
C
试 取 机 构 （2）
D
E
p2 a Mu Mu 2
2a
aa a
1.1 p
p
Mu
p2

3
Mu a
绘出与机构（2）相应的M图，
验算屈服条件：
机构（2）

2
Mu
M DA
M u1
C
p
D
B
机构（三）A Mu1 C
Mu2
p
D
B
Mu2
不可能出现，为什么？
A
M u1 A
Mu2
p
D C
Mu2
情况（1）
p
C
D
Mu2 情况（2）
B B
M u1 A
C Mu2
p
D
B
情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
p1
p2
B
Mu
Mu
p1
机构（一）
p2
B
Mu
Mu
p1
机构（二）
p2
B
Mu
机构（三）
q
A
C
B
l
Mu
Mu
Mu
极限状态弯矩图
qu
Mu
Mu
C
l
2
vA 0
B
vB

qul 2
极限状态受力图
y0 MB 0
VB

qul 2
Mu

Mu

qu

l 2

l 4

0

qu

16Mu l2
第15章
4、确定复杂结构极限荷载面临的问题
p
A
C
D
B
M u1
Mu2
p
机构（一）A
C Mu2
D
B
Mu2
机构（二）A

Mu
（3）梁两端出现塑性铰
qsl 2
qsl 2
12
12
qsl 2
24
（2）弹性阶段末
令
Mu 2

qu2l 2 8

Mu
可得：qu2

4Mu l2
由 情 况 （3） ， 可 知 ：
qu1

12Mu l2
于是
qu
ห้องสมุดไป่ตู้
qu1
qu2

12Mu l2

4Mu l2

16Mu l2
Mu
Mu
Mu
Mu qu2l 2 28
p1

1.33
Mu a
机 构 （2）
p2 a p2 2a Mu 2 Mu 3
p1

1.67
Mu a
机 构 （3）
2
a 0
2 p3 a
dx
x

Mu

Mu


Mu 2
p3

2
Mu a
机 构 （4）
1.2p4 a Mu Mu 2
或：“极限荷载是可破坏荷载的最小值” 2、下限定理（亦称“静力定理”、或“极大定理”) pu
或：“可接受荷载的最大值是极限荷载的下限”。
或：“极限荷载是可接受荷载的最大值”
p
3、单值定理（亦称“唯一定理”)
…… ……
一系列 可破坏 荷载的 最小值
极限荷载
一系列 可接受 荷载的 最大值
“ 既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则此荷载是极限荷载”。

1 3
(1.1 p2 )
2a

2 3
Mu

1 3
(1.1
3Mu a
)
2a

2 3
Mu
1.1 p Mu
p
1.53Mu Mu
经验算各截面弯矩值不满足屈服条件，
MDA M 图
Mu

p2

3
Mu a
不是极限荷载。
第15章
例题3 求图示结构的极限荷载。
pp
q 2pa
1.2 p
A
EF B
2、步骤：先试算出相应于某一破坏机构的可破坏荷载，而后验算 该荷载是否满足屈服条件，若满足，该荷载即为极限荷载。
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。
1.1 p
p
2a
aa a
1.1 p
p
Mu

2
3
Mu
机构（1）
1.1 p
Mu
机构（2）
p
2
Mu
解：
机 构 （1）
1.1p1 2a Mu 3 Mu 2
p1

2.5
Mu a
依上限定理：
pu

1.33
Mu a
第15章
例题3 求图示结构的极限荷载。
pp
q 2pa
1.2 p
A
EF B
C
D
a a a 2a
p
p Mu
q 2pa
2

Mu 3
机构1
p
Mu
p
q 2pa
aa
1.2 p
1.2 p
Mu
MG
MH
经验算各截面弯矩值满足屈服条件，

pu

2.27
h
矩形截面： Mu
h
2 h
(
s
)bdy

2
y
sb
y2 2
2 h

bh2 4
s
s
b
h
圆形截面：
Mu
d3 6

s
2
s
y
dy
s
2
hx
2
y
第15章
3、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比
Mu Wu Ms Ws
矩形截面： 1.5

圆
形
截
面
：

第15章
三、破坏机构
由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系）， 失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构”。
1、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
qu1
qu2
Mu
Mu
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
Mu Wu s
p1

2.27
Mu a
机 构 （2）
p2 a Mu Mu 2
p2

3
Mu a
依上限定理：
pu

2.27
Mu a
第15章
例题1 试用机动法求图示结构的极限荷载。
A
1.1 p
B
p
(1)分析弯矩与曲率的关系:
1 y M
C

EI
D
E
(a)当M为 正 值 时 ， 曲 率 为 负 值；
e———弹性极限
p———比例极限
1、设计：
W≥
Mmax []
2、验算：
＝
Mmax W
＝
Mmaxy I
≤[]
3、弹性分析缺陷：
（1）最大应力达到屈服极限时，截面并未全 部进入流动状态； （2）超静定结构某一局部应力达到屈服状态 时，结构并不破坏。
二、塑性分析
按照极限状态进行结构设计的方法。结构破坏瞬时对应的荷载称 为“极限荷载”；相应的状态称为“极限状态”。