0057数学课件：不等式的性质及比较法证明不等式

【解题回顾】函数f(x)＝x+a/x(a＞0)是一个重要的函数，应 了解它的变化.f(x)＝x+a/x(a＞0)在(0，√a]上是减函数，在[a， +∞)上是增函数.在研究此函数的过程中，应先确定它的定义 域，若x＝a/x成立，则可由极值定理求极值；若x＝a/x不成 立，则应在定义域内研究f(x)的单调性.
能力·思维·方法
1. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn(n∈N，x，y∈R+)的大小. 【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因 式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号，一般四项 式的分解常用分组分解法.
1 1 a 2 b2 2. 设a＞0，b＞0，求证： a 2 b2 b a
4 3.若n＞0，用不等号连接式子 2 ___ 3-n． ≥ n
4.若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是( A ) (A)(1-a)(1/3)＞(1-a)(1/2) (B)log(1-a)(1+a)＞0 (C)(1-a)3＞(1+a)2 (D)(1-a)1+a＞1 5.已知三个不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中 3 两个作条件，余下一个作结论，则可组成___个正确的命题.
误解分析
(1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、 易错. (2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错.
第4节 不等式的解法
要点·疑点·考点
1.解一元二次不等式是解整式、分式不等式的基础.求解 时应首先调整不等式中二次项系数a ，使a＞0.在熟练掌 握一元一次不等式(组)和一元二次不等式解法的基础上， 掌握分式不等 式、简单的高次不等式的解法.
第6章 不等式
第1节 不等式的性质及比较法证 明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性) 3.a＞b a+c＞b+c.(平移性) 4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性) 5.a＞b≥0 => n a n b ，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
【解题回顾】用不等式解决有关实际 应用问题，一般先要将实际问题数学 化，建立所求问题的代数式，然后再 据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最 值.
延伸·拓展
5.设a、b为正数，求证：不等式√a+1＞b ①成立的充要条 件是：对于任意实数x＞1，有ax+x/(x-1)＞b.② 【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A 是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”.
5 2 4.已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. 2 x y
5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1 与仓库到车站的 距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成 正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和 y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小， 仓库应建在离车站( ) C
4 证：1＜a+b＜ 3
【解题回顾】本题证明a+b＞1采用了综合法，而证
4 明a+b＜ 是采用了分析法.在证题时，从已知条件 3
出发，实行降幂变换，证出了a+b＞1；而从结论出
4 发，实行升幂变换，导出a+b＜ ．这是两种不同的 3
思维程序.
2.(1)设a，b，c都是正数，求证：
1-a 1-b 1-c 6 a b c (2)已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求证： bc ca ab abc a b c
1 1 1 4.设a、b、c∈R+，则三个数 a ，b ，c b c a
的值( D ) (A)都大于2 (C)都小于2 (B)至少有一个不大于2 (D)至少有一个不小于2
5.设a＞b＞c且a+b+c =0，求证： (1)b2-ac＞0； (2)√b2-ac＜√3a.
能力·思维·方法
1.已知a，b，c都是正数，且a≠b，a3-b3=a2-b2，求
求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一 元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字 母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.
1 1 1 1 2 2， 2 4 2 错误的原因在两次运用 x y xy xy
3.已知正数a、b满足a+b＝1.
1 (1)求ab的取值范围；(2)求 ab 的最小值. ab
2.掌握利用图形、数轴讨论不等式组解集的方法.
2
【解题回顾】有趣的是，这个双边不等式，我们能够 同时进行证明.
延伸·拓展
5.设a1，a2∈R+，a1+a2＝1，λ1，λ2∈R+，求证：
a1 a2 λ1 λ2 2 λ1a1 λ2a2 λ λ 4 λ1 λ2 2 1
【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a1、 a2，因此设法产生a1+a2是变形的目标.
1 2
1 2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、 因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的 积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比 较大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：
2 2 2
b a (3) 2 (ab＞0)； a b
a b ab (4) (a，b∈R). 2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取 值要求. 2ab +，则 ab 2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R ab 2 2 ab a b ．其中当且仅当a＝b时取等号.
a b - ab 2 ab - ab 1 ab ab
3. 已知x≥0，y≥0，求证： 1 1 2 x y x y x y y x 2 4 【解题回顾】在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持 一致.
延伸·拓展
4. 设0＜a＜1，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+
1 logxa在 1， 上是增函数. a 【解题回顾】用定义法证明函数的单调性，多用到比较法， 特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理 的严密性.
误解分析
(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错.
(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性 质的应用是解决本题的关键.
2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用 比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中 的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数； 有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变 形——与1比较大小.
课前热身
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为 a＜ab2＜ab ____________. 2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系 为A____B. ＞
第2节 用综合法、分析法证明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等 式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻 找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一 个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、 运算，导出欲证的不等式.
2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确， 因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法 表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”. 要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的 不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.
误解分析
1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错 的主要原因.
2.把握不住证题方向，会导致证题出现混乱.
第3节 算术平均数与几何平均数
要点·疑点·考点
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式： (1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；
ab ab (2) (a，b∈R+)； 2
1 1 2.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 的最小值； x y (2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法： x ห้องสมุดไป่ตู้2 y 2 2 xy， 1
平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x＝2y，第二 次须x＝y).
课前热身
1.当a＞1，0＜b＜1时，log a b+log b a的取值范围是 (-∞，-2] ______________.
8 1 2.设 x ，则函数 y x 2x -1 2 5
此时x=_______. 2
9 2 的最小值是____，
x2 5x 7 x 2 恒成立.则常数a的取值范 3.若 a x2 a 3 围是_________.
课前热身
ab 1.“a＞0且b＞0”是“ ab 2
(A)充分而非必要条件 A ”成立的( ) (B)必要而非充分条件
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( ) A
(A)甲车先到达B地 (C)同时到达 (B)乙车先到达B地 (D)不能判定
3．下列函数中，最小值为4的是(
C )
4 (A) y x x 4 0 x (B) y sinx sinx (C)y 4e x e -x
(D)y log3 x logx 30 x 1
【解题回顾】利用|a|2＝a2(a∈R)是证有关绝对值问题的好 方法，证一就是利用这一方法，证二采用的是有理化分子， 证三、证四是将数量关系的问题转化为图形的性质问题， 充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化. 4.已知a＞b＞0，求证：
a - b
8a
2
a - b ab ab 2 8b
4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米 的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流 出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该 杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平 方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂 质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).
(A)5公里
(B)4公里
(C)3公里
(D)2公里
能力·思维·方法
1.设a，b，c都是正数，求证：
1 1 1 1 1 1 2a 2b 2c b c c a a b
【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是 利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a， b，c不全相等，则等号不成立.
2
2
3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有 最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三 相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.
4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值. (1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 2 p； 1 2 (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 s. 4
【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式，再利用不等 式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的 不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也 是证明不等式时的一种常用方法. (2)注意条件中1的代换与使用.
3.证明：若f(x)＝√1+x2，a≠b，则|f(a)-f(b)|＜|a-b|.