2014华杯赛决赛小学高年级组试题A答案详解

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题A （小学高年级组）

一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）

1. 如右图, 边长为12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A , B , C , D 处各有一根木桩, 且AB =BC =CD =3米. 现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上. 为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木桩上. 【考点】圆与扇形 【答案】B

【解析】拴在B 处活动区域最大，为4

3

圆。

2. 在所有是20的倍数的正整数中, 不超过2014并且是14的倍数的数之和是 . 【考点】最小公倍数，等差数列 【答案】14700

【解析】[]14014,20=，141402014=⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡，()1470014321140=+++⨯ .

3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有 种. 【考点】计数 【答案】20

【解析】解法一：枚举法

（1）三奇数：135、137、157、357，4个； （2）三偶数：246、248、268、468，4个；

（3）两奇一偶：136、138、158、147、358、257，6个； （4）两偶一奇：247、258、146、148、168、368，6个； 共4+4+6+6=20种.

解法二：排除法

1~8中任取三个数，有563

8 C 种不同的取法

其中三个连续数有6种（123~678）

两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种（如124、125、126、127、128等） 则满足题意的取法有56—6—30=20种.

4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为 平方厘米.

【考点】格点与面积 【答案】56.5

【解析】如图（见下页），通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米。

2.5 0.5

3

12

1.5

1

16

4

3

2

0.5

3

0.5

2

1

1.5

边上点数÷2＋内部点数—1 =4÷2+1—1=2

黑线圈中部分的面积也可用长方形（蓝框）减去两个三角形

5. 如果

成立, 则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 .

【考点】最值，分数比较大小 【答案】77

【解析】

547<□，通分，将分母统一为□×5，54535⨯⨯<⨯□□□，□≥9 □○711<，通分能得到□□□○⨯<⨯⨯117711，○×□＜77 乘积最大为76，要使和最大，应两数相差最多

76=1×76，当○=1，□=76时，两数之和最大，为1＋76=77.

6. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数0～6分别填到七个部分中, 使得每个圆内的四个数字的和都相等, 那么和的最大值是 . 【考点】数阵图，最值 【答案】15

【解析】要使圆内四个数字的和最大，则中间同时属于三个圆的区域填6， 同时属于两个圆的区域依次填入5、4、3 最后填入0、1、2即可，如下图。

7. 学校组织1511人去郊游, 租用42座大巴和25座中巴两种汽车. 如果要求恰好每人一座且每座一人, 则有 种租车方案. 【考点】不定方程 【答案】2

【解析】设大巴a 辆，中巴b 辆

根据题意列不定方程42a ＋25b =1511

1511÷25…11，则42a ÷25…11，42a 个位为6，经试验当a =8时，b =47 当a =8＋25=33时，b =5，共2组整数解。

8. 平面上的五个点A , B , C , D , E 满足: AB = 8厘米, BC = 4厘米, AD = 5厘米, DE = 1厘米, AC = 12厘米, AE = 6厘米. 如果三角形EAB 的面积为24平方厘米, 则点 A 到 CD 的距离等于 厘米

【考点】勾股定理 【答案】

13

60 【解析】（1）由题意AB = 8厘米, BC = 4厘米,AC = 12厘米,可知点A 、B 、C 在同一条直线上； （2）AD = 5厘米, DE = 1厘米, AE = 6厘米，可知点A 、D 、E 在同一条直线上； （3）三角形EAB 的面积为24平方厘米，242

1

=⨯

⨯AE AB ，可知AB 与AE 垂直。画出下图

6 5 4 1 0

3 2

A B

D

C

F

E

（4）问题转化为求直角三角形ACD 斜边CD 上的高，即AF 的长度

222CD AC AB =+，得出CD =13 2

1

21⨯⨯=⨯⨯AF CD AD AC ，解得AF =1360.

二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）

9. 把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上, 拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形, 并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上. 下图给出了n =6时所有的不同放置方法, 那么n =9时有多少种不同放置方法?

【考点】操作，计数 【答案】25

【解析】当层数为2时：

（1）8+1：7种；（2）7+2：5种；（3）6+3：3种；（4） 5+4：1种； 当层数为3时：

（1）6+2+1：4种；（2）5+3+1：4种；（3）4+3+2：1种； 层数为4时无法满足，

因此共有7+5+3+1+4+4+1=25种不同的放置方法。

10. 有一杯子装满了浓度为16%的盐水. 有大、中、小铁球各一个, 它们的体积比为10:4:3. 首先将小球沉入盐水杯中, 结果盐水溢出 10%, 取出小球; 其次把中球沉入盐水杯中, 又将它取出; 接着将大球沉入盐水杯中后取出; 最后在杯中倒入纯水至杯满为止. 此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数） 【考点】浓度，比例 【答案】10.7%

【解析】大、中、小球体积比为10:4:3，盐水的10%对应小球“3份”体积，